算法思想在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)中的應(yīng)用研究

趙慧

摘要：依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對算法提出的基本要求，分析算法思想在財經(jīng)類院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)中應(yīng)用的可行性。以《經(jīng)濟管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》為指導(dǎo)，結(jié)合財經(jīng)類院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)現(xiàn)狀，設(shè)計《線性代數(shù)》課程中算法思想的應(yīng)用案例。

關(guān)鍵詞：算法思想；財經(jīng)類院校；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

在我國教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）[1]的指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)課程從模式到內(nèi)容有了重大改變。首先，數(shù)學(xué)課程的設(shè)置轉(zhuǎn)變?yōu)椤氨匦?選修”模式。其次，課程內(nèi)容增加了數(shù)據(jù)處理、矩陣變換、數(shù)學(xué)建模、算法、框圖等模塊。而這些模塊實際上是高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中的重要內(nèi)容。其中的算法、框圖模塊可以作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)的輔助手段，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識的知識體系和掌握特定知識點的方法步驟。

通過面向貴州財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟管理類專業(yè)630名學(xué)生分批分期的集中訪談，發(fā)現(xiàn)：學(xué)生普遍認(rèn)同數(shù)學(xué)課程在專業(yè)發(fā)展（如會計學(xué)、投資學(xué)、工商管理等專業(yè)）中的重要性，近一半的學(xué)生還是表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣。但大部分學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中存在一定的困難。學(xué)生認(rèn)為：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科的知識內(nèi)容多，難以構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科的知識體系。（2）數(shù)學(xué)題目的類型繁多，解決技巧方法多樣且巧妙，難以歸納總結(jié)分類掌握。因此，部分學(xué)生提出：希望教師能夠在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，將知識步驟化程序化，輔助學(xué)生掌握、識記與應(yīng)用。學(xué)生的這種步驟化程序化的愿望恰與算法思想的本質(zhì)不謀而合。

因此，高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教師了解高中新課程算法、框圖的知識基礎(chǔ)，挖掘算法思想的內(nèi)涵，開展算法思想在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中應(yīng)用的探索研究，是十分必要的。

一、高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程應(yīng)用算法思想的必要性和可行性

眾所周知，公理化思想和算法化思想是數(shù)學(xué)發(fā)展中的兩種基本思想，這兩種思想都在數(shù)學(xué)進(jìn)程史中發(fā)揮著不可忽視的作用。公理化思想起源于古代希臘，以歐幾里得的《幾何原本》為代表。算法化思想則以中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》為代表，并貫穿于我國整個古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。以解決問題為主旨的發(fā)展過程中建立了以構(gòu)造性與機械化為特色的算法體系，為人們提供了認(rèn)識世界的算法構(gòu)造思維模式。我國吳文俊院士認(rèn)為：算法化思想——這種最古老的的數(shù)學(xué)，實際上是最現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)，它是計算機時代最適合的數(shù)學(xué)。相對以古希臘的公理化思想的演繹特點，我國古代數(shù)學(xué)不過于考究命題的形式推導(dǎo)，更看重問題解決的算法化思想呈現(xiàn)。廣義意義上的算法就是針對某一類問題的解決辦法或者策略。算法基本知識的學(xué)習(xí)和運用，能夠輔助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)運算的理解。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展的背景下，算法對學(xué)生精確數(shù)學(xué)概念和有條理地進(jìn)行思維的提出了挑戰(zhàn)[2]。從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面看，算法思想可以發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性、條理性和精確性。從學(xué)生的后繼發(fā)展方面看，算法思想在為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下基礎(chǔ)的同時，將程序化思考融入學(xué)生日常生活和工作中，成為一種算法化思考的習(xí)慣。

針對經(jīng)濟管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)，我國教育部數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員頒布的《基本要求》對學(xué)生的算法化思想的培養(yǎng)提出了新的高度：運用數(shù)學(xué)的思想模式進(jìn)行定量思維和定性分析是衡量民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個重要標(biāo)志[3]。

作為高等學(xué)校經(jīng)濟類和管理類專業(yè)本科生的重要必修數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程——微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，在其知識傳授的過程中，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理的思維能力是十分必要的。而算法化思考方式的養(yǎng)成能夠培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力，以及較強的自主學(xué)習(xí)能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力[4]。

在高等財經(jīng)院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)中廣泛應(yīng)用算法知識，體現(xiàn)算法思想，既適應(yīng)我國高中數(shù)學(xué)課程的改革，也為進(jìn)一步增強經(jīng)濟管理類專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了一種有效的輔助手段。

二、算法思想的應(yīng)用案例

高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程有諸多知識內(nèi)容和解題思路是可以采用算法化思想和算法化步驟呈現(xiàn)的。需要強調(diào)的是，這些數(shù)學(xué)學(xué)科知識重要考慮與算法思想的結(jié)合與應(yīng)用，而不要求用計算機語言將算法思想程序化處理。例如，《線性代數(shù)》課程中的主體知識模塊之一——線性方程組解的結(jié)構(gòu)就可采用算法化展現(xiàn)。實際上，《線性代數(shù)》的數(shù)學(xué)教師在線性方程組解的結(jié)構(gòu)教學(xué)中，通常從最簡單的二元一次線性方程組的消元法過程出發(fā)，將消元法的過程再展現(xiàn)在增廣矩陣的初等變換過程中。而二元一次線性方程組的求解問題正是高中數(shù)學(xué)算法知識教學(xué)的引例。

對于任意的線性方程組，采用自然語言來描述該線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)。

S1：輸入系數(shù)矩陣A；

S2：輸入未知量個數(shù)n；

S3：輸入常數(shù)項矩陣b=（b1，b2，…，bm）T，

S4：利用矩陣的初等行變換，將增廣矩陣A=（A b）化為簡化行階梯形矩陣；

S5：如果b=（b1，b2，…，bm）T≠0，輸出“該線性方程組為非齊次線性方程組”，進(jìn)行S6；如果b=（b1，b2，…，bm）T=0，輸出“該線性方程組為齊次線性方程組”，進(jìn)行S7；

S6：當(dāng)R（A）=R（A）=r

S7：利用矩陣的初等行變換，將系數(shù)矩陣A化為簡化行階梯形矩陣；

S8：當(dāng)R（A）=r

S9：寫出簡化行階梯形矩陣A1對應(yīng)的線性方程組；

S10：確定自由未知量；

S11：令自由未知量全為零，得到非齊次線性方程組的特解γ0；

S12：令自由未知量取線性無關(guān)組，得到對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系η1， η2， …， ηn-r；

S13：輸出非齊次線性方程組有無窮多組解，通解為γ0+c1η1+c2η2+…+cn-r ηn-r，進(jìn)行S11；

S14：輸出該非齊次線性方程組有唯一解η，進(jìn)行S11；

S15：輸出該非齊次線性方程組無解；

S16：輸出該齊次線性方程組有唯一解，即零解，進(jìn)行S17；

S17：結(jié)束。

雖然這一程序化過程較為繁雜并且計算量也較大，但學(xué)生每做一步都確切得知道下一步應(yīng)該做些什么，這就是算法思想的體現(xiàn)。這一步驟化整理便于學(xué)生理解線性方程組的判定條件，掌握不同選擇條件下解的情況。在掌握非齊次線性方程組與齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知識的同時，對比兩者的不同。

再如，《線性代數(shù)》課程中的向量組的線性關(guān)系問題，實際上在高中階段向量部分已有展現(xiàn)，但更多地局限在平面向量或空間向量。運用向量性質(zhì)或坐標(biāo)運算判定向量是否平行。該問題實際就是判定所給向量是否線性相關(guān)。以向量組的秩的角度判定的思路和方法也可采用算法形式展現(xiàn)。同時，向量組的線性關(guān)系問題也可以轉(zhuǎn)換為齊次線性方程組是否有非零解的問題。這一角度也恰可用上一算法思路中的齊次線性方程組的部分來解決。

三、總結(jié)

問題解決方法的算法的步驟化呈現(xiàn)，首先便于學(xué)生的問題解決方法的理解與識記。在熟練運用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步增進(jìn)學(xué)生的步驟化程序化思考問題的意識。將算法思想應(yīng)用于財經(jīng)類院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)中，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。為了凸顯算法思想在《線性代數(shù)》知識的實用性，教師還需結(jié)合經(jīng)濟管理類學(xué)生的專業(yè)特點以及學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，選用典型的案例。通過實際案例的深入挖掘，同學(xué)生一同經(jīng)歷思考分析、算法思想呈現(xiàn)、問題應(yīng)用推廣的過程，深入提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民 教育出版社，2003.4：25.

[2]項昭主編.普通高中數(shù)學(xué)選修課程的設(shè)置與教師培訓(xùn)實驗研究[M].貴州人民出版社，2008.

[3]中華人民共和國教育部數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會.經(jīng)濟管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求.中國教育和科研計算機網(wǎng)www.edu.cn[W].

[4]伍建華.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀調(diào)查和分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007.8 16（3）：36.

（作者單位：貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院）endprint