多軸聯(lián)動木工雕刻機加工速度銜接的研究與仿真1)

王發(fā)利 邊繼龍 張俸銘 葛林 馬輝 陳廣俊

(東北林業(yè)大學，哈爾濱，150040) (哈爾濱雅智科技有限公司)

隨著精雕市場需求的日益增長、科技的發(fā)展和制造技術的進步，傳統(tǒng)的手工雕刻已經(jīng)被自動化雕刻系統(tǒng)取代，木工雕刻機已成為木工雕刻行業(yè)的首選工具。而傳統(tǒng)的三軸數(shù)控系統(tǒng)雕刻機，工件加工需多次裝夾完成，存在精度差、效率低、速度慢等缺點。多軸數(shù)控加工中心集先進的結構設計技術、計算機控制、高性能伺服驅動和精密加工技術于一身，廣泛應用于木工雕刻、金屬切削、模具等行業(yè)，制造水平顯著提高[1]。筆者闡述的新型多軸聯(lián)動木工數(shù)控雕刻機主要用于工藝扇窗等材料的加工，能夠高質量地完成雕刻、切割、鏤空、打孔等工藝要求。木工數(shù)控雕刻機運動控制系統(tǒng)的核心功能是根據(jù)數(shù)控指令，驅動伺服系統(tǒng)按指定規(guī)律運動。在數(shù)控加工領域，數(shù)控系統(tǒng)多工作在位置控制模式。此時數(shù)控指令由大量小段直線和圓弧確定，運動控制系統(tǒng)依照指令中給定的坐標，驅動刀具沿指定軌跡運動，近似擬合出形貌。根據(jù)微積分原理，任意連續(xù)可微曲線可通過線段逼近，所以研究線段的執(zhí)行運動是控制系統(tǒng)的核心問題。

在處理多段直線軌跡過程中，由于運動速度無法突變，就需要考慮當前段與前后段的銜接，這項工作被稱為速度銜接，也稱作前瞻速度規(guī)劃或速度控制等。銜接的目標是在前后相鄰兩段末速度與初速度差異不超過機構設計指標的情況下，盡可能提高運動速度。很顯然，速度銜接算法的優(yōu)劣對加工質量與效率有著很大影響。

對速度銜接問題，國內學者進行了不少研究。早期曹荃[2]等將無拐點的相鄰路徑段作為整體合并處理，但無法推廣到一般情況。葉佩青[3]、王宇晗[4]等人在國內較早提出了小段銜接的數(shù)學模型，前者在建立拐角模型的時候采用了圓弧近似的方法，后者用幾何法給出了小線段過渡時初末速度的約束條件，建立了銜進給速度的遞歸不等式模型。任錕[5-6]等采用三次樣條曲線擬合離散加工路徑，發(fā)現(xiàn)高曲率點，根據(jù)加減速特性預估拐點處的最優(yōu)速度。此后的不少研究[7-16]都是對前述幾種方法的實現(xiàn)與細節(jié)優(yōu)化。這些算法的共同特點：①適應性低。這些算法均將加工設備各軸的加速度視為統(tǒng)一定值，不隨時間變化。而在多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)中，各軸允許的加速度可能有很大差別，現(xiàn)有算法并未深入探討這一問題。此外，由于伺服電機具有一定的瞬時加速能力，在段間銜接時，可以采用較高的加速度以提高運動效率并減少速度波動。這種能力在快速成型[13]等高速、輕載且對運動速度平穩(wěn)性要求較高的應用中有著重要意義。②計算量大?，F(xiàn)有算法都以前后兩條線段夾角作為加減速銜接參數(shù)，這就需要三角函數(shù)和較多的開方運算。文獻[3]、[6]、[17]采用二階或高階曲線擬合刀軌時需要解非線性方程或方程組，致使低端嵌入式處理器難以實現(xiàn)實時多軸控制，極大地限制了算法的應用范圍。

本研究基于矢量分析和最優(yōu)化方法，提出了一種速度銜接算法，可高效靈活地實現(xiàn)任意多軸速度銜接。與現(xiàn)有算法相比，具有以下特色與優(yōu)勢：①在理論上，作為文獻[4]算法的推廣，支持任意多個加速度上限不同的運動軸，并支持段內和銜接時設置不同的加速度，使得算法具備了極大的靈活性。②在求解方法上，本研究算法直觀性強，計算簡單，僅需要四則運算和一次開方運算即可完成，不需要三角函數(shù)運算，五軸控制也可以在低端嵌入式處理器中實時完成。

1 任意多軸聯(lián)動速度銜接算法

1.1 速度銜接的基本原理

速度銜接問題本質上是一個最優(yōu)化問題，是在當前段和前后若干段速度、加速度、位移等條件的約束下，求解每一段的初速度(入口速度)和末速度(出口速度)，令各段運動速度最高。對于步進和伺服電機而言，都有一定瞬間改變運動速度的能力(下文稱為瞬時換向，簡稱換向)，這種能力最常體現(xiàn)在電機啟動時，在負載合適的情況下，電機可以以一定轉速(對步進電機而言是步進頻率)直接瞬時啟動，例如本研究中步進電機允許啟動速度約為1rad/s。同樣，電機在運動過程中也可以瞬時改變速度，此時瞬時加速度是正常加(減)速過程中加速度的幾十倍至上百倍。對負載輕，且對速度穩(wěn)定和效率要求較高的應用，應當充分利用瞬時換向能力，使相鄰兩段都能以較高速度運動。根據(jù)上述分析，速度銜接時的約束條件主要包括：①初速度、末速度大于0且小于等于數(shù)控指令規(guī)定的該段運動速度(簡稱標稱速度)；②以初速度開始，通過加(減)速，在該段位移內能加(減)速到末速度；③前一段末速度矢量與當前段初速度矢量各分量差的絕對值不超過對應軸的換向速度上限。

從上述約束條件可以看出，初速度主要受到上段和本段標稱速度，本段末速度和加速度的約束，而本段末速度又受下段速度的約束。很顯然在初次進行一段速度銜接時，只能暫不考慮下段，僅根據(jù)本段情況做出最保守的銜接，是不可能做到最優(yōu)的，所以速度銜接必然是一個迭代過程。

1.2 初次速度銜接處理

初次速度銜接處理是指在沒有后段信息的情況下，求解上段出口速度和當前段入口速度。初次速度銜接處理的已知條件是：①本段和上段基準軸標稱速度，速度以步進頻率表示，基準軸是指頻率最高的軸。在多軸聯(lián)動的情況下，求出基準軸初、末速度，自然可以按比例求出其他軸速度；②系統(tǒng)加速度，即單位時間步進頻率的變化率；③本段和上段位移，以步為單位；④各軸換向速度上限。

根據(jù)上述條件還可以推出本段初速度上限和上段末速度上限，都是針對各自基準軸而言的。初速度上限Vmax由基準軸最大換向速度(V0)、加速度(a)、位移(s)和標稱速度(V)決定：

(1)

圖1 兩段均無需減速

1.2.1 同向銜接處理

同向銜接是指前后兩段速度矢量各分量方向均相同(含速度分量為0的情況)時，進行銜接計算的過程。此時對速度銜接的約束條件為：

(2)

同向銜接的任務就是在約束條件下，求出最大的α和β。從幾何角度看，對于n軸聯(lián)動的系統(tǒng)來說，相當于以2Ji為邊長，在n維空間構造一個長方體，若將其中心置于向量V頂點處時，與向量V′沒有接觸，則將其中心沿向量V滑動，直至與向量V′接觸。通過幾何關系可以看出，2個向量間的關系有3種情況。第1種情況如圖1所示，兩個速度向量距離較小，都不需要減速即可完成銜接；第2種情況如圖2所示，前后兩段中V′需要減速，V不需要減速；第3種情況如圖3所示，是兩段都需要減速。第1種情況要求各軸速度分量差的絕對值都小于最大換向速度，初速度就是初速度上限，末速度就是上段末速度上限。第2種情況，其中一個向量穿過了長方體。此時應當存在一個軸i，使得兩個向量滿足式(3)的條件：

(3)

式中:i≠j。實現(xiàn)時可按公式(3)的條件對所有i進行窮舉，如不存在這樣的軸，則將V與V′互換，再窮舉一次。第3種情況下應存在兩個軸，使得兩個向量滿足公式(4)的條件：

(4)

在實現(xiàn)時，可對i、j進行窮舉，對滿足條件的α和β還應進行校驗，條件如公式(5)所示：

(5)

式中:k≠i,j。這個條件表示向量與長方體的邊直接接觸，而不是和長方體邊的延長線接觸。

圖2 一段減速，另一段不減速

圖3 兩段均需減速

1.2.2 反向銜接處理

(6)

式中：i表示枚舉所有運動方向相同的分量；j表示枚舉所有運動方向相反的分量。若以α為橫軸，β為縱軸，可以看出，對于同向運動的分量而言，約束條件對應兩條斜率為正的平行線所夾區(qū)域，而對于反向運動的分量而言，約束條件對應一條斜率為負的直線的左側區(qū)域。綜上，目標函數(shù)的定義域是公式(6)定義的區(qū)域和正方形區(qū)域α、β∈(0,1]的交集。顯然這一區(qū)域非空，因為當α、β都取足夠接近于0的值時，必然能夠滿足約束條件。

根據(jù)上述分析，反向銜接處理問題實質上是一個有限區(qū)域內二元函數(shù)f(α,β)=αβ的極大值問題。根據(jù)初等微積分原理，極值或出現(xiàn)在駐點上，或出現(xiàn)在區(qū)域邊界上。通過求偏導數(shù)可知，函數(shù)f(α,β)在整個二維平面上只有一個駐點(0,0)，這個駐點顯然不是函數(shù)極大值，不符合要求。所以函數(shù)的極大值必然存在于區(qū)域邊界，這樣反向銜接處理問題轉換為根據(jù)約束條件求定義域邊界線段，以及求各線段上目標函數(shù)最大值的問題。第一步是反向銜接處理算法的核心，為保存區(qū)域各頂點，需要定義一個雙向鏈表，各頂點在鏈表中按順時針順序存儲。求解邊界線段具體步驟如下：

①初始化。鏈表初始節(jié)點為A、B、C和D，它們的坐標分別為(0,0)、(0,1)、(1,1)、(1,0)。②如圖4所示，遍歷各個速度分量，對同向運動的分量逐個進行處理，即求兩條平行線與原有區(qū)域的交點。③處理截距為正的直線，即圖4中的L1，由點A開始，沿順時針方向遍歷所有邊，求L1與各邊的交點E和F；④將第一條與L1相交的邊的起點A和第二條與L1相交的邊的終點C間的所有鏈表節(jié)點(圖4中的B)，刪除。⑤將L1的兩個交點E和F插入鏈表中。⑥處理截距為負的直線L2，由點A開始，沿逆時針方向遍歷所有邊，求L2與各邊的交點。⑦將第一條與L2相交的邊的起點A和第二條與L1相交的邊的終點F間的所有鏈表節(jié)點(圖4中的D)，刪除。⑧將L2的兩個交點(圖中G和H)插入鏈表中。⑨如圖5所示，遍歷各個速度分量，對反向運動的分量逐個進行處理。⑩由點A開始，沿順時針方向遍歷所有邊，求L3與各邊的交點。將第一條與L3相交的邊的起點B和第二條與L3相交的邊的終點E間的所有鏈表節(jié)點(圖4中的C，D)刪除。將L3的兩個交點(圖5中F，G)插入鏈表中。在求交點時，區(qū)域的邊可根據(jù)其兩個頂點，用直線方程的兩點式表示。但需要注意對水平和垂直兩種特殊情況的處理，當兩點α值相等時，直線退化為α=α0；當兩點β值相等時，直線退化為β=β0。

圖4 同向運動分量的約束特性

在求出約束條件定義的區(qū)域后，求目標函數(shù)最大值可分為以下幾步：①設區(qū)域某條邊為α(α0,β0)、β(α1,β1)，根據(jù)邊界直線方程，將α用β表示(反之亦可)，代入目標函數(shù)，可得到一個二次函數(shù)f(β)。②根據(jù)二次函數(shù)極值定理，若二次函數(shù)極值落在(β0,β1)范圍內，則求該極值m0。③求線段端點β0和β1對應的函數(shù)值m1和m2。④比較m1和m2，若m0存在，則同時比較m0，以其最大值m為本段最大值，并記錄該最大值對應的點(α,β)。⑤按上述步驟遍歷區(qū)域所有邊，求出最大的m值所對應的點(α,β)。

圖5 反向運動分量的約束特性

1.3 迭代處理

當一條運動指令與下一條運動指令銜接后，由于出口速度可能提高，其能夠達到的最高速度也可能提高，就有可能以更高入口速度與上段進行銜接。因此進行初次銜接處理后，應回溯前幾段運動，根據(jù)改變后的約束條件進行修正，這就是迭代處理。當前段銜接處理后，前一段進行迭代處理需要滿足以下條件：①當前段最大允許初速度(Vmax)提高。由于銜接處理只依賴前后兩條速度矢量和最高換向速度，如果速度矢量沒有改變，就不影響前一條。②兩段屬于反向銜接，或兩段屬于同向銜接，但原來的關系為兩段均不需減速或前一段需要減速而后一段不需要減速。

迭代處理的過程就是根據(jù)上述條件，在本段修正后檢查前段是否需要修正，若需要修正則繼續(xù)回溯，直至滿足以下情況：①不需修正；②達到最大回溯閾值；③前段已經(jīng)開始執(zhí)行。為提高系統(tǒng)執(zhí)行效率，沒有必要無限向前迭代，回溯閾值可取運動指令緩存隊列長度1/4和1/6之間較小的值。

2 實驗驗證

本實驗驗證是在五軸木工雕刻機上進行花型圖案雕刻。如圖6所示，通過線段逼近得到大量小段直線確定出運動控制指令，雕刻機運動控制系統(tǒng)依照指令中的坐標驅動道具沿指定軌跡運動擬合出花型形貌，如圖7所示。

實證方面，已有文獻對金融開放與經(jīng)濟增長之間的關系并沒有統(tǒng)一的定論，對于金融開放與經(jīng)濟增長關系的實證研究既存在正相關關系的結論，又存在負相關關系的結論。還有部分學者給出了混合的研究結果：金融開放帶來的正向增長效應只在特定發(fā)展階段或收入水平的國家顯著可見[11]。就此本文猜測金融開放對經(jīng)濟增長不僅僅是簡單的線性影響，從而提出研究假設1：

仿真實驗為多個連續(xù)線段相接，如圖8所示，是加工某木材輪廓的加工路徑。該路徑具有典型的尖銳拐角，根據(jù)本方法依據(jù)尖銳拐角對加工路徑進行分段控制，實現(xiàn)拐角前后的速度光滑平穩(wěn)的減速和加速，實際加工初始參數(shù)如下：

①各段目標速度(Vi)=2 000 mm/min；②X、Y軸最大啟動速度(J)=120 mm/min；③加速度(a)=600 mm/s2。

圖6 五軸木工雕刻機

圖7 木工雕刻機雕刻花型圖案

圖8 實際加工路徑

根據(jù)本算法，將加工路徑分成7段，具體步驟為：

圖9 上限速度Vmax分解圖

圖10 有限區(qū)域圖

由以上數(shù)據(jù)可得出這兩段同向銜接屬于第三種情況，即兩個方向速度都需要減小，所以將以上數(shù)據(jù)帶入公式(2)解方程組得出α=0.06,β=0.13。

③迭代處理。在本段修正后確定前段的速度，進行回溯修正，直到前段速度無需修正時，最后對于這條加工路徑在相同的初始加速度(a)下，分別給出傳統(tǒng)控制和本研究速度銜接算法的速度曲線，在加工時間和速度銜接方面的對比如圖11、圖12所示。

在相鄰曲線段銜接處，通過動力學參數(shù)以及幾何誤差約束限制了銜接點處的速度大小。在傳統(tǒng)速度銜接下，銜接點處由于存在方向突變，允許的速度非常小，每次都需要在段內進行加減速，段間銜接速度為0，速度平滑性差，加工時間較長。

圖11 傳統(tǒng)速度銜接算法速度曲線

本研究提供的任意多軸速度銜接算法不存在以上缺點，如圖12所示。該方法在段間平滑連接處能避免加減速，在尖銳拐角處能根據(jù)機床動力學約束盡量以較高的速度通過，速度平滑性好，盡可能使速度波動控制在較小范圍內，保證高效率、高連續(xù)性。

圖12 本研究的速度銜接算法速度曲線

在實驗驗證時，已知條件入口速度值的設定是比較保守的，在本段與下一段銜接后，由于下一段的實際出口速度可能提高，其能夠達到的最高速度也可能提高，就有可能以更高的入口速度與上段進行銜接。因此利用迭代的思想，求出出口速度后，可根據(jù)出口速度重新計算出提高后的最高速度，再將最高速度與前段的最高速度在不同軸上進行分解，求出所對應的α和β，進而求出最高速度提高后本段的入口速度和上一段的末速度；再重復以上迭代過程，直至達到最大回溯閾值或前段已經(jīng)開始執(zhí)行時。迭代前后的數(shù)據(jù)對比如表1所示，本研究速度銜接算法經(jīng)過迭代后的速度曲線如圖13所示。

④實驗驗證總結。由圖11、圖12、圖13速度變化曲線對比，可以看出傳統(tǒng)的速度變化銜接需要從0開始加速且每段的拐點處末速度也為0。而本研究的速度變化策略則不需要從0開始加速且可以在每段拐點處以較大速度通過。同時還可以看出，通過迭代使相同的運動軌跡所需的時間更少，在拐點處可以以更大的速度通過以及每段的最大速度上限得到了提高。

圖13 迭代后速度變化曲線

迭代前VmaxV'maxVoutVin迭代后VmaxV'maxVoutVin2000.002000.0060.6464.402000.002000.0060.6464.401582.522000.00177.77162.601583.202000.00148.80162.541397.001585.50184.68182.051396.261584.66177.50179.781765.001396.00105.90181.481765.861397.10222.50249.591883.001764.0030.13126.681885.561767.3066.15112.222000.001883.0032.0099.882000.001882.4265.1566.15

3 結束語

通過將段間加速度由定值推廣到變量，建立了基于多軸聯(lián)動數(shù)控技術的木工雕刻機加工過程中速度銜接的通用數(shù)學模型。在此基礎上給出了簡明高效的段間銜接算法，并以線性加減速銜接為例，給出了實驗結果，證明了算法的有效性。同時本研究提出的算法特別適于低成本控制器和步進電機組成的數(shù)控系統(tǒng)，目前已在哈爾濱康遠多維科技有限公司生產的K100型五軸數(shù)控雕刻機中投入應用，與基于傳統(tǒng)算法的開源數(shù)控系統(tǒng)GRBL相比，速度效率提高20%以上。未來將在本研究基礎上，將銜接算法與S型加減速等加減速銜接算法結合，進一步提高運動平穩(wěn)性。

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