基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)最優(yōu)數(shù)目確定新方法

張楠，彭珍瑞，殷紅，董海棠，董小圓

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

設(shè)計(jì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)特性的分析以及振動(dòng)故障診斷提供依據(jù)。模態(tài)分析時(shí)提取目標(biāo)模態(tài)數(shù)目的確定往往對(duì)結(jié)構(gòu)后續(xù)研究起著至關(guān)重要的作用，同時(shí)對(duì)基于模態(tài)分析的傳感器優(yōu)化布置中傳感器布設(shè)數(shù)目也有很大影響，不同的目標(biāo)模態(tài)數(shù)目將導(dǎo)致傳感器不同的布置結(jié)果，同時(shí)也將影響布置方案的成本。然而在以往研究中對(duì)于確定目標(biāo)模態(tài)數(shù)目的研究很少，主要依靠研究者的經(jīng)驗(yàn)來選取目標(biāo)模態(tài)數(shù)目。Kammer[1]提取了結(jié)構(gòu)的前15階振型和模態(tài)數(shù)據(jù)，用以驗(yàn)證有效獨(dú)立法的有效性；鄭榮躍等[2]對(duì)招寶山斜拉橋提取了50階和100階振型數(shù)據(jù)用以進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置研究；Kim和Park提取了結(jié)構(gòu)的前10階振型，驗(yàn)證了 QR分解；孫小猛[3]提出基于Fisher信息矩陣2-范數(shù)的變化率曲線來確定目標(biāo)模態(tài)數(shù)目。為了了解結(jié)構(gòu)在第幾階模態(tài)發(fā)生全局振動(dòng)或局部振動(dòng)，提出了基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)最優(yōu)數(shù)目確定新方法，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析提取模態(tài)數(shù)目及后續(xù)研究提供依據(jù)，并將該理論應(yīng)用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)CRH3型動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行驗(yàn)證與應(yīng)用。

1 模態(tài)分析原理

模態(tài)分析研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的重要方法，通過模態(tài)分析可以獲得結(jié)構(gòu)固有頻率及振型等信息，成為分析結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和其它動(dòng)力學(xué)特性的基礎(chǔ)[4]。對(duì)于一個(gè)n自由度的線性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

式中：[M]，[C]和[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x為系統(tǒng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)；F為系統(tǒng)各點(diǎn)的激振力向量。當(dāng)系統(tǒng)不受外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于自由振動(dòng)狀態(tài)。在實(shí)際工程的復(fù)雜結(jié)構(gòu)中，系統(tǒng)整體的固有頻率及振型受結(jié)構(gòu)阻尼影響較小，可忽略阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響[5]。簡化系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到系統(tǒng)在無阻尼狀態(tài)下的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。

假設(shè)系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動(dòng)，求解系統(tǒng)在無阻尼自由振動(dòng)情況下的固有頻率及振型。

式中：[]φ為位移振幅矩陣；ω表示固有頻率。將式(3)代入式(2)得

當(dāng)系統(tǒng)做無阻尼自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)各點(diǎn)的振動(dòng)位移不可能同時(shí)為0，由式(4)得：

對(duì)式(5)的特征方程進(jìn)行求解得到 ω1,…, ωn個(gè)特征值，并將其分別代入式(4)，可以得n個(gè)特征值及特征向量，即系統(tǒng)的固有頻率及振型。

2 Fisher信息矩陣原理

Kammer在有效獨(dú)立法研究中采用基于模態(tài)振型的Fisher信息矩陣并將其應(yīng)用到模態(tài)測試中布設(shè)傳感器。當(dāng)進(jìn)行僅需對(duì)模態(tài)振型觀測的模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，在確保模態(tài)可以被充分激勵(lì)出來的前提下，傳感器的輸出可以表示為：

式中：s表示候選測點(diǎn)的數(shù)目；q表示振型廣義坐標(biāo)的待識(shí)別參數(shù)；Us表示傳感器的輸出信息；sΦ表示模態(tài)振型矩陣。

如果候選測點(diǎn)數(shù)布置位置有 s個(gè)，有 m(m

式中：H(q)=Φsq，其中向量 N表示高斯白噪聲(方差為Ψ02)。作為無偏估計(jì)，由式(8)表示估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣。

式中：E表示數(shù)學(xué)期望；?q代表q的估計(jì)值。

由于將測試噪音假設(shè)為靜態(tài)高斯白噪聲，則量測過程中是恒值。所以Fisher信息矩陣可以表示為：

式中：ΦQ表示基于振型的Fisher信息矩陣，結(jié)構(gòu)模態(tài)振型反映的敏感性可以通過基于振型的 Fisher信息矩陣得到體現(xiàn)[6]。

3 熵值法原理

熵值法中原始指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣為 X =(xij)m×n，其中m表示待評(píng)方案數(shù)，n表示評(píng)價(jià)指標(biāo)。在信息論中，信息熵是系統(tǒng)有序程度的度量，信息熵值越大表示系統(tǒng)的有序程度越高，則系統(tǒng)的不確定度越低，系統(tǒng)的信息量越小，因此熵值法是衡量系統(tǒng)包含信息量的工具[7]。

熵值法計(jì)算的步驟是：

1) 同度量化各指標(biāo)并對(duì)第i方案在第j項(xiàng)指標(biāo)下所占比重Pij進(jìn)行計(jì)算。

2) 計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的信息熵ej。

如果xij對(duì)于給定的j全部相等，那么

此時(shí)ej取極大值，即

4 基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)數(shù)目確定方法

基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)數(shù)目確定方法是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行模態(tài)分析，提取模態(tài)參數(shù)(固有頻率及振型)，并通過計(jì)算得到基于振型的結(jié)構(gòu)Fisher信息矩陣，將Fisher信息矩陣作為熵值法計(jì)算的原始數(shù)據(jù)矩陣，計(jì)算出提取不同階模態(tài)時(shí)的信息熵。由信息熵的定義可知信息熵越小，原始數(shù)據(jù)矩陣的不確定度越小，信息量越大；反之信息熵越大，原始數(shù)據(jù)矩陣的不確定度越大，信息量越小[7]。所以，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中突變特征函數(shù)的定義求出Fisher信息矩陣信息熵變化的曲線的突變點(diǎn)[8]，即求出結(jié)構(gòu)發(fā)生全局振動(dòng)和局部振動(dòng)的轉(zhuǎn)變點(diǎn)。

4.1 算例模型參數(shù)

采用鐵路車輛格柵型行李架結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，行李架長1 m，寬0.5 m，材料為6063鋁合金，材料參數(shù)如表1所示。

表1 6063鋁合金參數(shù)Table 1 Parameters of 6063 aluminum alloy

4.2 格柵型行李架的模態(tài)分析及信息熵計(jì)算

利用ANSYS Workbench對(duì)格柵型行李架進(jìn)行自由模態(tài)分析，確定格柵型行李架的振動(dòng)特性(固有頻率和振型)。因?yàn)樽杂赡B(tài)分析的前6階為剛體自由度，固有頻率為0或接近為0，真正意義上第1階固有頻率從第7階開始提取[9]。所以提取格柵型行李架的26階自由模態(tài)中第7階到第26階的振型并計(jì)算其Fisher信息矩陣，然后計(jì)算在提取不同階數(shù)模態(tài)時(shí)Fisher信息矩陣的信息熵，并得到格柵型行李架Fisher信息矩陣的信息熵變化曲線如圖1所示。根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中對(duì)突變點(diǎn)和突變特征函數(shù)的定義，設(shè)xt為提取第t階模態(tài)時(shí)的間斷點(diǎn)，其前鄰接點(diǎn)為xt-1，其后鄰接點(diǎn)為xt+1，et為提取第t階模態(tài)時(shí)的信息熵值即間斷點(diǎn) xt所對(duì)應(yīng)的信息熵值，之比Qt滿足：

或

稱 xt為突變點(diǎn)，Qt為突變特征函數(shù)，當(dāng) Qt值滿足大于等于2時(shí)第t到t+1階模態(tài)發(fā)生全局振動(dòng)與局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換；當(dāng)Qt值滿足大于0且小于等于時(shí)第t-1到t階模態(tài)發(fā)生全局振動(dòng)與局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換。通過對(duì)格柵型行李架提取不同階模態(tài)振型的Fisher信息矩陣信息熵的突變特征函數(shù)的計(jì)算可得：

則可以判斷8和10為突變點(diǎn)即格柵型行李架在第7階到第8階以及第10階到第11階自由振動(dòng)發(fā)生全局振動(dòng)和局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)變，由圖1看出，信息熵在第7階自由模態(tài)到第8階自由模態(tài)Fisher信息矩陣信息熵的減小，可以判斷出格柵型行李架發(fā)生了局部振動(dòng)到全局振動(dòng)的轉(zhuǎn)變，在第7階自由模態(tài)時(shí)格柵型行李架發(fā)生外邊框扭動(dòng)的局部振動(dòng)；在第10階自由模態(tài)到第11階自由模態(tài)發(fā)生Fisher信息矩陣信息熵的增大，可以判斷出格柵型行李架發(fā)生了由全局振動(dòng)向局部振動(dòng)的轉(zhuǎn)變，在第 11階自由模態(tài)時(shí)格柵式行李架發(fā)生外邊框扭動(dòng)的局部振動(dòng)。第7階自由模態(tài)和第8階自由模態(tài)的應(yīng)變云圖如圖2所示，第10階自由模態(tài)和第11階自由模態(tài)的應(yīng)變云圖如圖3所示。

圖1 格柵型行李架信息熵變化曲線Fig. 1 Entropy change curves of grille rack

對(duì)比圖2和圖3，可以看出格柵型行李架在全局振動(dòng)和局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)變。結(jié)果表明基于Fisher信息矩陣計(jì)算出的格柵型行李架各階模態(tài)信息熵變化曲線可以反映格柵型行李架模態(tài)全局振動(dòng)和局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)變情況。

圖2 第7階自由模態(tài)到第8階自由模態(tài)的應(yīng)變云圖Fig. 2 Strain diagram of modal vibration between 7th mode and 8th mode

圖3 第10階自由模態(tài)到第11階自由模態(tài)的應(yīng)變云圖Fig. 3 Strain diagram of modal vibration between 10th mode and 11th mode

5 工程算例

CRH3型動(dòng)車組采用SF500型轉(zhuǎn)向架，轉(zhuǎn)向架是高速動(dòng)車組的主要承載結(jié)構(gòu)而構(gòu)架作為轉(zhuǎn)向架的骨架，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在高速動(dòng)車組中起到了使轉(zhuǎn)向架各部分準(zhǔn)確連接并傳遞各方向力的作用[10]。在CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架的自由模態(tài)分析中，通常在低階模態(tài)中表征結(jié)構(gòu)的整體特性，在高階模態(tài)中表征局部特性。高速動(dòng)車組在實(shí)際線路運(yùn)行時(shí)，只有低階固有頻率是危險(xiǎn)的，是高速動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)分析的重點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)，所以準(zhǔn)確區(qū)分高速動(dòng)車組由全局振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植空駝?dòng)的模態(tài)階數(shù)也成為了重要的關(guān)注點(diǎn)[11]，所以求得構(gòu)架全局振動(dòng)階數(shù)即得到構(gòu)架研究的最優(yōu)模態(tài)數(shù)目。

5.1 構(gòu)架模型建立及驗(yàn)證

參照CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架圖紙建立構(gòu)架實(shí)體模型并導(dǎo)入 ANSYS Workbench，基于歐洲標(biāo)準(zhǔn)UIC615—4[12]對(duì)構(gòu)架模型進(jìn)行靜強(qiáng)度校核，校核結(jié)果最大應(yīng)力值為 204.28 MPa，小于構(gòu)架材料S355J2G的屈服極限355 MPa，模型滿足強(qiáng)度要求。

5.2 CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架的模態(tài)數(shù)目確定

5.2.1 CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架材料參數(shù)

根據(jù)機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊查詢構(gòu)架材料S355J2G屬性如表2所示。

表2 S355J2G參數(shù)Table 2 Parameters of S355J2G

5.2.2 CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架模態(tài)分析

利用ANSYS Workbench進(jìn)行自由模態(tài)分析，確定構(gòu)架的振動(dòng)特性(固有頻率和振型)，因是剛體自由度，前6階構(gòu)架自由模態(tài)的固有頻率為0或接近0值，因此提取構(gòu)架16階自由模態(tài)中第7階到第16階的振型并計(jì)算其Fisher信息矩陣，并計(jì)算不同階模態(tài) Fisher信息矩陣的信息熵，得到構(gòu)架Fisher信息矩陣的信息熵變化曲線如圖4所示。通過突變特征函數(shù)的計(jì)算得：

則可以判斷13為突變點(diǎn)即構(gòu)架在第13階到第14階自由振動(dòng)發(fā)生全局振動(dòng)和局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)變。由圖4看出，信息熵在第13階自由模態(tài)到第14階自由模態(tài)發(fā)生Fisher信息矩陣信息熵的增大，可以判斷出構(gòu)架發(fā)生了由全局振動(dòng)向局部振動(dòng)的轉(zhuǎn)變，構(gòu)架第13階自由模態(tài)應(yīng)力云圖如圖5所示，第14階自由模態(tài)應(yīng)力云圖如圖6所示。

圖4 CRH3型動(dòng)車組構(gòu)架信息熵變化曲線Fig. 4 Entropy change curves of CRH3 bogie frame

通過提取構(gòu)架前 16階自由模態(tài)振型圖分析發(fā)現(xiàn)，第13階自由模態(tài)的全局振動(dòng)在第14階自由模態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植空駝?dòng)，結(jié)果表明對(duì)CRH3型動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行自由模態(tài)分析時(shí)，前 13階為全局振動(dòng)，故提取第7到第13階振型進(jìn)行研究即可，同時(shí)證明基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)數(shù)目確定方法可以準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)全局振動(dòng)和局部振動(dòng)轉(zhuǎn)變的模態(tài)階數(shù)。

圖5 第13階自由模態(tài)振型圖Fig. 5 13th vibration mode diagram of free mode

圖6 第14階自由模態(tài)振型圖Fig. 6 14th vibration mode diagram of free mode

6 結(jié)論

1) 提取結(jié)構(gòu)不同模態(tài)階數(shù)振型所得到的Fisher信息矩陣的信息熵突變與結(jié)構(gòu)全局振動(dòng)和局部振動(dòng)之間的轉(zhuǎn)變存在聯(lián)系。當(dāng)信息熵滿足突變特征函數(shù)且Fisher信息矩陣的信息熵增大時(shí)，結(jié)構(gòu)由全局振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植空駝?dòng)；當(dāng)信息熵滿足突變特征函數(shù)且Fisher信息矩陣的信息熵減小時(shí)，結(jié)構(gòu)由局部振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)槿终駝?dòng)。

2) 在 CRH3型動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的工程算例中，構(gòu)架在低階模態(tài)中表征結(jié)構(gòu)的整體特性，在高階模態(tài)中表征局部特性，而高速動(dòng)車組在實(shí)際線路運(yùn)行時(shí)，只有低階固有頻率是危險(xiǎn)的，是高速動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)分析的重點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)，所以基于熵值法的目標(biāo)模態(tài)數(shù)目確定方法可以準(zhǔn)確反映構(gòu)架全局振動(dòng)和局部振動(dòng)轉(zhuǎn)變的模態(tài)階數(shù)，得到構(gòu)架進(jìn)行全局振動(dòng)準(zhǔn)確且最優(yōu)的模態(tài)階數(shù)。

3) 研究人員可以根據(jù)具體的研究目的以及需要，有針對(duì)性的提取結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)目，實(shí)現(xiàn)模態(tài)數(shù)目的最優(yōu)化。

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