具有高聚類系數(shù)的加權(quán)分層組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

陸肜肜

摘 要：現(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)都體現(xiàn)層次性。本文通過迭代的方式構(gòu)建加權(quán)分層網(wǎng)絡(luò)以模擬組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)每條邊都被賦予了權(quán)重以更好地描述個(gè)體之間關(guān)系的緊密程度。通過計(jì)算，根節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪律分布，表明該模型具有無標(biāo)度性質(zhì)。同時(shí)該網(wǎng)絡(luò)具有極高平均聚類系數(shù)0.7624?？梢?，層次化結(jié)構(gòu)有利于促進(jìn)整體的凝聚力，組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)具有層次性是合理且必然的。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用數(shù)學(xué) 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò) 聚類系數(shù) 組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號(hào)：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）12（a）-0-02

在自然界里許多網(wǎng)絡(luò)上下層之間都遵循一個(gè)固定的組織原則，因此所抽象出來的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)里廣泛出現(xiàn)層次結(jié)構(gòu)。以部隊(duì)的三三制編制原則為例，即3個(gè)班編為1個(gè)排，3個(gè)排又編入1個(gè)連，依此類推。

分層網(wǎng)絡(luò)首次被Barabási等人提出[1，2]，其網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是具有層次結(jié)構(gòu)，其生成方式是復(fù)制迭代?，F(xiàn)實(shí)中很多的網(wǎng)絡(luò)都具有層次性的，例如社交網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)人的朋友圈、科學(xué)家論文合作網(wǎng)、企業(yè)的組織機(jī)構(gòu)網(wǎng)中都存在層次結(jié)構(gòu)。在全國的教育網(wǎng)中，一班級(jí)由幾十人組成，一個(gè)年級(jí)由十幾個(gè)班級(jí)組成，一個(gè)學(xué)校由幾個(gè)年級(jí)組成，由此往上類推到一個(gè)市、一個(gè)省乃至全國。下面通過觀察部隊(duì)的班、排、連、營、團(tuán)、旅、師、軍的分層組織結(jié)構(gòu)，來構(gòu)建分層網(wǎng)絡(luò)的模型。不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)班內(nèi)的班長和自己士兵聯(lián)系緊密，同一班的士兵之間聯(lián)系緊密。排長與每個(gè)班的士兵聯(lián)系緊密。然而某班士兵與其他班士兵聯(lián)系并不緊密。根據(jù)這些特征，本文的分層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下，初始網(wǎng)絡(luò)G（1）是由1個(gè)根節(jié)點(diǎn)及6個(gè)邊節(jié)點(diǎn)組成，根節(jié)點(diǎn)和邊節(jié)點(diǎn)之間有連邊，邊節(jié)點(diǎn)們之間互相有連邊。第二步，復(fù)制6個(gè)G（1）放在G（1）周圍，并且令復(fù)制的6個(gè)G（1）中的邊節(jié)點(diǎn)與初始網(wǎng)絡(luò)G（1）的根節(jié)點(diǎn)相連。接下來一直重復(fù)第二步直到形成滿意的模型，見圖1。因此，分層網(wǎng)絡(luò)可以很好的模擬組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)的層次性。

為了更好地描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的思想隨之產(chǎn)生。近年來復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究也是普遍圍繞加權(quán)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行的。加權(quán)網(wǎng)絡(luò)是指每條連邊上都被賦予權(quán)重ω的網(wǎng)絡(luò)，權(quán)重ω表示連邊的意義或容量[3]。由于互聯(lián)網(wǎng)中每個(gè)路由器所接受的數(shù)據(jù)流量是不相等的，科學(xué)家合作網(wǎng)中學(xué)者之間合作的次數(shù)與深度也不盡相同，社會(huì)關(guān)系網(wǎng)中個(gè)體與個(gè)體的聯(lián)系緊密程度是不同的以及航空網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)機(jī)場間的客流量也是參差不齊的。因此，這些差異都可以用權(quán)重 來描述。本文將把加權(quán)思想加入分層網(wǎng)絡(luò)模型中，建立了一個(gè)加權(quán)分層網(wǎng)絡(luò)模型，以模擬組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)中的層次性。為了描述真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中每條連邊的重要性且相應(yīng)于組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)的層次結(jié)構(gòu)，新網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重分配也是具有層次性的，如ω=at（t=1，2，3…）。

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是小部分節(jié)點(diǎn)的度很大，而大部分的節(jié)點(diǎn)的度很小[4]。網(wǎng)絡(luò)具有無標(biāo)度性，這意味著節(jié)點(diǎn)的度具有如下性質(zhì)：p（k）～k-γ，其中γ是度指數(shù)。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有兩個(gè)互相矛盾的屬性：魯棒性、脆弱性。該類網(wǎng)絡(luò)的既具有魯棒性，即當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受到隨機(jī)性攻擊，網(wǎng)絡(luò)的破壞程度很低。其又具有脆弱性，即當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的大節(jié)點(diǎn)受到蓄意攻擊，網(wǎng)絡(luò)極容易癱瘓。

聚類系數(shù)是用于衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的凝聚程度的系數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)則是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的所有結(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)的均值。由此可知，如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)越大，那么整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的凝聚程度越高。

為了研究該類具有層次性的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，本文構(gòu)建了一個(gè)全新的加權(quán)分層網(wǎng)絡(luò)。通過計(jì)算其度分布和平均聚類系數(shù)，判斷其無標(biāo)度性和內(nèi)部凝聚力。從而對該類網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行客觀合理的分析和評估。

1 加權(quán)分層模型的建立

1.1 初始網(wǎng)絡(luò)

G（1）表示第1代的模型。G（1）有7個(gè)節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)與6個(gè)邊節(jié)點(diǎn)連線的權(quán)重為a（a>1），兩邊節(jié)點(diǎn)之間連線的權(quán)重為1（見圖1）。

1.2 網(wǎng)絡(luò)的復(fù)制生成

G（t）表示第t代的模型。復(fù)制6個(gè)G（t-1），將復(fù)制結(jié)構(gòu)的各自的邊節(jié)點(diǎn)與原網(wǎng)絡(luò)G（t-1）的最中心的根節(jié)點(diǎn)相連接，且連線的權(quán)重都為at，見圖1。

1.3 網(wǎng)絡(luò)的迭代

一直重復(fù)第二步驟，直到生成了符合研究現(xiàn)象的模型為止。

2 網(wǎng)絡(luò)無標(biāo)度性質(zhì)的分析

接下來，研究該網(wǎng)絡(luò)模型的度分布。

當(dāng)根節(jié)點(diǎn)度為時(shí)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)目為6·7t-i-1。則

有：

同理，當(dāng)邊節(jié)點(diǎn)度為k=i+5時(shí)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)目為6i7t-i-1。則有：

由此，得到了根節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪律分布（見圖2）。

由此可見，該網(wǎng)絡(luò)具有無標(biāo)度性質(zhì)，也就具有魯棒性和脆弱性。這一結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情況相符，具有層次性的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)受損對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)影響不大。但若攻擊者針對度相對較大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)將受到致命的打擊。從組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)的無標(biāo)度性質(zhì)來看，層次性是把雙刃劍，即網(wǎng)絡(luò)既穩(wěn)固堅(jiān)韌同時(shí)又不堪一擊。

3 聚類系數(shù)

節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù)為，其中Ei表示節(jié)點(diǎn)i的

所有鄰點(diǎn)之間的連邊數(shù)，而Ki是節(jié)點(diǎn)i的度。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平

均聚類系數(shù)為，其中N是網(wǎng)絡(luò)的大小。平均聚類

系數(shù)C體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)全局的凝聚力。

由網(wǎng)絡(luò)迭代過程可知，度為k的根節(jié)點(diǎn)的鄰點(diǎn)有

條邊。則度為k的根節(jié)點(diǎn)聚類系數(shù)是

。同理，度為k的邊節(jié)點(diǎn)的鄰點(diǎn)有

條邊。則度為k的邊節(jié)點(diǎn)聚類系數(shù)是

。

因此，第t代整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)是：

當(dāng)t→∞時(shí)，

可見，該網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)很高。聚類系數(shù)體現(xiàn)了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的凝聚程度和緊密性。因此，具有層次性的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)內(nèi)的各個(gè)個(gè)體聯(lián)系得相當(dāng)緊密。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一個(gè)通過迭代的方式生成的加權(quán)的層次結(jié)構(gòu)的模型，用來模擬研究具有層次性的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)。相應(yīng)于其層次結(jié)構(gòu)，在網(wǎng)絡(luò)的連邊上賦予具有層次性的權(quán)重。

通過研究得到新模型的根節(jié)點(diǎn)度分布是服從冪律分布的，即該網(wǎng)絡(luò)具有無標(biāo)度性質(zhì)。無標(biāo)度性質(zhì)是一把雙刃劍，其具有魯棒性與脆弱性。在網(wǎng)絡(luò)受到隨機(jī)攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)安全。但是其遇到針對大節(jié)點(diǎn)的攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)危險(xiǎn)。針對該結(jié)論，今后我們研究方向?yàn)楸３謱哟涡跃W(wǎng)絡(luò)的魯棒性同時(shí)削弱脆弱性，優(yōu)化組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)。

同時(shí)，研究表明該組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)還具有高聚類系數(shù)0.7624，即該網(wǎng)絡(luò)的凝聚力很強(qiáng)。這就進(jìn)一步表明層次性的組織結(jié)構(gòu)網(wǎng)具有合理性，可以提高工作效率，增強(qiáng)集體的凝聚力。

參考文獻(xiàn)

[1] Albert-László Barabási， Erzsébet Ravasz，Tamás Vicsek.Deterministic scale-free networks[J].Physica A， 2001（299）：559-564.

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[3] Barrat.The architecture of the complex weighted networks[J].Proc Natl Acad Sci U S A，2004，101（11）： 3747-52.

[4] Barabási，Albert-László，Albert，Réka.Emergence of scaling in random networks[J].Science，1999， 286（5439）：509-512.