建模思想在概率論教學(xué)中的應(yīng)用意義研究

丁海峰

摘要：概率論是高等數(shù)學(xué)課程的基本組分之一，應(yīng)用價(jià)值極大。在學(xué)習(xí)過程中，這門課的抽象性和理論性給廣大學(xué)生帶來(lái)了一定的困擾。文章在傳統(tǒng)的概率論教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，將這門課的基本理論借助具體的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行演繹，揭示建模思想在概率論教學(xué)中的重要應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：建模思想;概率論;應(yīng)用意義

概率論是一門重要的基礎(chǔ)課程，旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)分析問題、解決問題的能力，教學(xué)目標(biāo)就是引導(dǎo)學(xué)生掌握概率統(tǒng)計(jì)方法的基本概念，能夠用這一數(shù)學(xué)方法解決隨機(jī)問題。一方面，概率論的思想方法能為學(xué)生解決實(shí)際問題提供有效的數(shù)學(xué)工具、方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力以及分析問題、解決問題的能力;另一方面，概率論作為一門基礎(chǔ)課程，是許多專業(yè)學(xué)科的基礎(chǔ)思想方法，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，概率論知識(shí)的掌握與儲(chǔ)備情況將會(huì)極大地影響到學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效果。

盡管如此，在實(shí)際的教學(xué)過程中，概率論的教學(xué)效果并不理想，相當(dāng)一部分學(xué)生表示這門課程過于抽象，很難理解，影響到了其他課程的學(xué)習(xí)。傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)更偏向于理論闡釋，忽視了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生雖然能夠掌握一定的概率統(tǒng)計(jì)原理，但疏于應(yīng)用，常常會(huì)出現(xiàn)理論與實(shí)踐脫節(jié)的問題。在這樣的教學(xué)背景下，數(shù)學(xué)建模思想方法自身具備解決實(shí)際問題的屬性，因此在師范院校概率論教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想有助于引導(dǎo)學(xué)生有目的地學(xué)習(xí)理論，同時(shí)也能幫助學(xué)生將概率統(tǒng)計(jì)的理論運(yùn)用于實(shí)踐活動(dòng)，真正地將理論與實(shí)踐相結(jié)合。

一、概率論課程本身的模型屬性

概率論的研究范疇是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從實(shí)際應(yīng)用上來(lái)說，從發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象到應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行定量分析進(jìn)而求得隨機(jī)事件的概率，這一過程就是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程。

因?yàn)檠芯康膶?duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，要發(fā)現(xiàn)其中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)，將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與一個(gè)特定數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，這就是隨機(jī)變量。在用隨機(jī)變量來(lái)表示事件時(shí)，用滿足一定條件的實(shí)值函數(shù)來(lái)定義概率，這就實(shí)現(xiàn)了將隨機(jī)現(xiàn)象轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)問題，研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)際上就變成了研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律，這就是概率統(tǒng)計(jì)中的分布函數(shù)，也就是用函數(shù)來(lái)研究概率分布。

二、在概率論教學(xué)中融入建模思想的意義

（一）提升課堂活躍性，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題

概率論研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究?jī)?nèi)容是隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，其典型特征就是抽象性與復(fù)雜性，教學(xué)過程比較枯燥。而中小學(xué)課程中概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)相對(duì)比較粗淺且不夠系統(tǒng)化，學(xué)生僅僅能夠運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題，對(duì)相關(guān)的概念和理論都比較模糊，因而學(xué)習(xí)過程存在較大的困難。從教師的角度來(lái)說，概率統(tǒng)計(jì)課程的抽象性和理論性也是他們比較難開展有效的教學(xué)活動(dòng)的原因，由于是不連續(xù)的、離散的，因而很難像其他數(shù)學(xué)學(xué)科一樣依靠語(yǔ)言講授和公式推導(dǎo)來(lái)向?qū)W生講授，最終只能籠統(tǒng)地灌輸理論與概念，讓學(xué)生機(jī)械地記憶統(tǒng)計(jì)方法，套用公式。這樣的被動(dòng)學(xué)習(xí)方法會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與參與熱情，教師的教學(xué)積極性也會(huì)受挫。摒棄死板的傳統(tǒng)教學(xué)方法，在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，將教學(xué)背景設(shè)定為具體的問題，教學(xué)環(huán)節(jié)以問題的解決呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過“明確問題——建立模型——驗(yàn)證模型——解決問題”的過程來(lái)深入理解相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)原理及其使用方法，讓學(xué)生既能掌握理論內(nèi)容，又能明確相應(yīng)理論實(shí)際應(yīng)用途徑。

（二）增加教師理論儲(chǔ)備，提高教師教學(xué)能力

對(duì)于學(xué)生而言，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于教師主體而言，這一新型的教學(xué)方法也是對(duì)其自身水平的提升。建立數(shù)學(xué)模型要求使用者具備更為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論原理與方法，因此教師需要學(xué)習(xí)更多的數(shù)理方法，同時(shí)也要去思考怎樣才能將問題更好地展現(xiàn)在學(xué)生面前，怎樣講解學(xué)生才更容易接受，或者怎樣把概率統(tǒng)計(jì)方法與職業(yè)教育相結(jié)合，與學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用需求相結(jié)合。與此同時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型并不能一蹴而就，需要選擇合適的角度，分析模型的可行性，在充分分析問題與假設(shè)的基礎(chǔ)上才能初步建立模型，進(jìn)而對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整與優(yōu)化。這些步驟需要教師做好前期的分析與準(zhǔn)備，反復(fù)修改，不斷完善。在教學(xué)過程中，教師還要統(tǒng)籌知識(shí)的引入、傳導(dǎo)等工作。在準(zhǔn)備教學(xué)素材及實(shí)施教學(xué)活動(dòng)之后，教師的數(shù)學(xué)理論知識(shí)會(huì)更加完備，教學(xué)水平也會(huì)得到極大的提升。

（三）踐行素質(zhì)教育，促進(jìn)教學(xué)改革

由于中小學(xué)課程改革的要求，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用是課改的鮮明指向，而數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際和數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)用的重要手段，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位。而且，師范院校的教學(xué)目標(biāo)也包括培養(yǎng)學(xué)生的教育教學(xué)能力，因此在概率論的教學(xué)過程中滲透建模思想、鍛煉建模能力對(duì)學(xué)生的教育理念有正面的導(dǎo)向作用，同時(shí)對(duì)學(xué)生的教學(xué)技能有積極的提升作用。所以，將實(shí)踐性更強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模方法融入概率論教學(xué)能有效避免傳統(tǒng)教學(xué)方式的弊端，能夠?qū)⒗碚撆c實(shí)際問題結(jié)合起來(lái)，更符合師范院校學(xué)生的現(xiàn)實(shí)需求，更符合素質(zhì)教育的要求，是一種科學(xué)的教育理念與教學(xué)方法。

三、概率論中的數(shù)學(xué)建模問題

在應(yīng)用概率論解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生處理隨機(jī)問題的能力得以提升，相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例很多，本文結(jié)合前人研究成果，作如下總結(jié)：

（一）概率的計(jì)算

計(jì)算概率的常用方法有古典概型、幾何概型、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式等。在日常生活中，生日相同問題、配對(duì)問題、擲骰子概率計(jì)算、抽簽等問題均可用上述相應(yīng)的方法進(jìn)行計(jì)算。

（二）描述隨機(jī)現(xiàn)象

在描述隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，我們常采用的方法是用隨機(jī)變量進(jìn)行表達(dá)，便于用概率方法解決隨機(jī)問題。許多隨機(jī)分布都可以用隨機(jī)變量來(lái)進(jìn)行描述，比如二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等。在計(jì)算隨機(jī)問題的平均值及波動(dòng)程度時(shí)，常采用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差進(jìn)行表示。相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有很多，比如突發(fā)事件概率的計(jì)算、選擇題的給分標(biāo)準(zhǔn)、隨機(jī)存儲(chǔ)問題、正態(tài)分布問題等。

（三）不確定性問題

在問題比較復(fù)雜時(shí)，我們常采用多維隨機(jī)變量來(lái)解決不確定性問題，根據(jù)多維隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征對(duì)問題進(jìn)行優(yōu)化處理。主要的應(yīng)用實(shí)例有配對(duì)問題、組合證券投資問題等。

四、基于數(shù)學(xué)建模思想的概率論教學(xué)案例

（一）概率加法公式及事件的獨(dú)立性

生活中我們常聽到諺語(yǔ)或俗語(yǔ)，其中很多能揭示數(shù)學(xué)思想。在概率論教學(xué)中，適當(dāng)引入與概率有關(guān)的諺語(yǔ)可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的思考，提升學(xué)生的參與度，培養(yǎng)學(xué)生用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

例如，我們常聽到“三個(gè)臭皮匠，頂一個(gè)諸葛亮”這句諺語(yǔ)。之所以說是“臭皮匠”，是因?yàn)槠浣鉀Q問題的能力很一般，用概率的原理來(lái)解釋，就是他們每個(gè)人獨(dú)立解決好問題的概率比較低。但是，三個(gè)“臭皮匠”一起解決問題，我們可以看成是獨(dú)立事件的和事件，那么這個(gè)和事件的概率會(huì)增大還是減小呢？與“諸葛亮”相比又如何？

這里我們可以建立如下概率模型：設(shè)Ai為事件“臭皮匠i獨(dú)立解決某問題”，i的取值為1，2，3;設(shè)事件B為“諸葛亮解決某問題”。根據(jù)諺語(yǔ)的意思，我們假設(shè)他們解決問題的概率分別為：

P（A1）=0.50

P（A2）=0.56

P（A3）=0.60

P（B）=0.90

假設(shè)他們相互獨(dú)立地解決問題，那么三個(gè)臭皮匠解決問題的概率為：

P（A1∪A2∪A3）=1-P（）=1-P（）P（）P（）=1-0.50×0.54×0.40=0.892

由以上分析可知，三個(gè)解決問題能力并不突出的“臭皮匠”集中力量，解決問題的能力竟然與“諸葛亮”不相上下。如果有四個(gè)、五個(gè)甚至更多“臭皮匠”集中力量，“諸葛亮”們也難望其項(xiàng)背。

（二）泊松分布

在現(xiàn)實(shí)生活中，商場(chǎng)商品的銷售量往往服從泊松分布，根據(jù)這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律去進(jìn)貨才能保證不脫銷。為科學(xué)管理，現(xiàn)有一家商場(chǎng)根據(jù)過去的銷售記錄發(fā)現(xiàn)，某商品的月銷售量可以用參數(shù)λ=5的泊松分布，為了有95%以上的可能保證該商品不脫銷，那么商場(chǎng)至少應(yīng)該進(jìn)多少的貨？

假設(shè)該商品的月銷售量為x，那么x～P（5），其分布律為P（x=k）=，k=0，1，2……為滿足有95%以上的可能保證該商品不脫銷，這種商品月初的庫(kù)存m應(yīng)使得P（x≤m）=0.95，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化表達(dá)式可得

P（x>m）==0.01

查泊松分布表可得m=9，因此該商場(chǎng)要保證月初該商品的庫(kù)存至少有9件。

與這個(gè)現(xiàn)實(shí)案例相類似，在車輛設(shè)計(jì)行業(yè)常根據(jù)人身高的正態(tài)分布性來(lái)設(shè)計(jì)車門的高度;商場(chǎng)為獲取最大化的利益，常選擇用數(shù)學(xué)期望等數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理來(lái)確定進(jìn)貨量;風(fēng)投行業(yè)在進(jìn)行投資決策時(shí)經(jīng)常會(huì)用期望、方差等統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行最優(yōu)的投資組合等。學(xué)習(xí)理論知識(shí)的最終目的就是為了解決現(xiàn)實(shí)問題，在概率論的教學(xué)過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)到的數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際問題，而一個(gè)最為直接的途徑就是在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置學(xué)生熟悉的問題情境，通過建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)工具的作用，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又能讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決生活問題的習(xí)慣。

（三）多維隨機(jī)變量

在多維隨機(jī)變量問題中，“找莊家”是一個(gè)經(jīng)典問題，下面設(shè)置如下情景，通過建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決這一生活問題：

麻將是我國(guó)許多地區(qū)的一種娛樂活動(dòng)，需要從四個(gè)人中找出一位充當(dāng)莊家。大多數(shù)玩家會(huì)選擇投骰子來(lái)選擇莊家。比如，隨便一位玩家投擲兩枚材質(zhì)相同的骰子，若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5點(diǎn)或9點(diǎn)，那么其本人為莊家;若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為2、6或10，那么其下家為莊家;若骰子點(diǎn)數(shù)之和為4、8或12，則其上家為莊家;若骰子點(diǎn)數(shù)之和為3、7或11，則其對(duì)家為莊家。教師可以在此問題情境下引導(dǎo)學(xué)生建立二維隨機(jī)變量模型，通過聯(lián)合分布及隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布來(lái)判斷這種方法是否公平。

分別以x、y表示第一枚骰子和第二枚骰子，易知兩者相互獨(dú)立，（x，y）聯(lián)合分布為：

記z=x+y，那么z的概率分布為：

綜合上述分析，4人做莊的概率分別為：

P（Z=5）+P（Z=9）=2/9

P（Z=2）+P（Z=6）+P（Z=10）=1/4

P（Z=3）+P（Z=7）+P（Z=11）=5/18

P（Z=4）+P（Z=8）+P（Z=12）=1/4

通過上述分析可知，這樣的找莊家方法并不公平。在此基礎(chǔ)上，教師可以提出這樣一個(gè)問題：怎樣定骰子點(diǎn)數(shù)能夠使得結(jié)果比較公平。經(jīng)過思考不難得出結(jié)論：這4個(gè)人的點(diǎn)數(shù)之和分別為2，4，6點(diǎn);8，9點(diǎn);3，5，10點(diǎn);7，11，12點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)人做莊的可能性都是相等的，均為1/4。當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)公平分配還有別的方法。通過這樣一個(gè)案例，教師要引導(dǎo)學(xué)生在日常生活及學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成認(rèn)真思考的習(xí)慣，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的思想方法解決概率問題。

五、結(jié)語(yǔ)

在師范院校的概率論教學(xué)中，將數(shù)學(xué)建模思想與課程教學(xué)相結(jié)合激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，同時(shí)也能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)理論內(nèi)容的運(yùn)用能力。就課程教學(xué)而言，這一教學(xué)方式能夠增加課堂教學(xué)的趣味性，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。當(dāng)然，在概率統(tǒng)計(jì)中融入建模思想的過程是漫長(zhǎng)的，不能一蹴而就，需要一定量的課時(shí)去累積。課堂教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，能夠引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，但學(xué)生也要養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析問題、解決問題的習(xí)慣。

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