旋轉(zhuǎn)在解中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用

何椏鑫+余小芬+劉英

把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)具有以下性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)解題的好幫手.本文以中考試題為例，介紹旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用.

一、利用旋轉(zhuǎn)求線(xiàn)段長(zhǎng)度（或長(zhǎng)度最值）

例1 （2017·株洲第10題）如圖1，在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°， ∠QDF=∠QED=∠QFE ，DQ=1，則EQ+FQ=.

解析 如圖1，將DQ繞點(diǎn)D分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DA、DB，連接AQ、AF、BQ、BE.

由旋轉(zhuǎn)知∠QDA=90°，即∠1+∠4=90°.

又∠1+∠5=90°，故∠4=∠5.

結(jié)合DE=DF，易證ΔDEQ≌ΔDFA.

從而有∠2=∠6.

又由等腰RtΔDEF中得∠3+∠7=45°.

又因?yàn)椤?=∠2=∠3，

所以∠6+∠7=45°，即∠QFA=45°.

又因?yàn)椤?=∠2，∠1+∠5=90°，

所以∠2+∠5=90°，即∠EQD=90°.

所以∠DAF=90°.

在RtΔDQA中，DQ=DA=1，

所以AQ=2且∠8=45°.

所以∠9=∠DAF-∠8=45°.

于是ΔAQF為等腰直角三角形.

所以QF=QA=2.

同理可得：ΔBEQ為等腰直角三角形.

所以BQ=BE=2，EQ=BE2+BQ2=2.

綜上，EQ+FQ=2+2.

點(diǎn)評(píng) 結(jié)合題干容易推出∠EQD=90°，但在RtΔDQE中，僅已知DQ長(zhǎng)度，無(wú)法求解出三角形的其它邊、角大小.故根據(jù)“DE=DF，∠EQF=90°”，將已知線(xiàn)段DQ旋轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生出更多已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段，同時(shí)將已知的三個(gè)“分散”角聯(lián)系起來(lái)，并構(gòu)造出直角三角形，結(jié)合勾股定理求解出線(xiàn)段長(zhǎng)度.

例2 （2016·河南第22題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線(xiàn)段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM長(zhǎng)的最大值.

解析 如圖2，連接BM，將ΔAPM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔNPB.

所以AM=BN.

因此，求AM長(zhǎng)的最大值可轉(zhuǎn)化為求BN長(zhǎng)的最大值.

連接AN，則ΔAPN是等腰直角三角形.

所以PN=PA=2.

所以AN=PN2+PA2=22.

又因?yàn)锳B=3，BN≤AB+AN=3+22，

所以當(dāng)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段BN長(zhǎng)最大，最大值為3+22.

即線(xiàn)段AM長(zhǎng)的最大值為3+22.

點(diǎn)評(píng) 本題巧借旋轉(zhuǎn)“轉(zhuǎn)移”求解對(duì)象，又通過(guò)AN=22，分析出動(dòng)點(diǎn)N（依賴(lài)于點(diǎn)P）在以A為圓心，22為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).故易知當(dāng)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段BN長(zhǎng)最大.

二、利用旋轉(zhuǎn)求（或證明）邊的關(guān)系

例3 （2017年·鐵嶺第25題）如圖3，ΔABC中，∠BAC為鈍角，∠B=45°，點(diǎn)P是邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CP為邊，在射線(xiàn)BP下方作∠PCF=∠B.反向延長(zhǎng)射線(xiàn)CF，交射線(xiàn)BA于點(diǎn)C′，將∠PCF沿CC′方向平移，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，記平移后的∠PCF為∠P′C′F′，將∠P′C′F′繞點(diǎn)C′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<45°），C′F′交線(xiàn)段BC于點(diǎn)M，C′P′交射線(xiàn)BP于點(diǎn)N，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段BM，MN與CN之間的數(shù)量關(guān)系.

解析 線(xiàn)段BM，MN與CN滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為：MN2=BM2+CN2.下面進(jìn)行證明：

如圖3，因?yàn)椤螧=∠PCF=∠BCC′=45°，

所以ΔBCC′是等腰直角三角形.

將ΔC′BM繞C′點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔC′CG，連接GN.

由旋轉(zhuǎn)知：∠MC′G=90°，CG=BM，∠C′CG=∠B=45°，

故∠GCB=∠C′CG+∠C′CB=90°.

從而∠GCN=90°.

故在RtΔGCN中，

GN2=CG2+CN2=BM2+CN2.

又∠NC′G=∠MC′G-∠MC′N(xiāo)=90°-45°=45°.

結(jié)合C′M=C′G，易證ΔC′MN≌ΔC′GN.

故MN=GN，從而證得MN2=BM2+CN2.

點(diǎn)評(píng) 本題解決的關(guān)鍵是將“靜態(tài)”的條件“C′B=C′C，∠BC′C=90°”看作“動(dòng)態(tài)”過(guò)程：即線(xiàn)段C′C是線(xiàn)段C′B繞點(diǎn)C′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的結(jié)果.又結(jié)論中與線(xiàn)段BM直接相關(guān)，從而想到將ΔC′BM整體旋轉(zhuǎn)，從而將線(xiàn)段BM等價(jià)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段GC，再在直角三角形中利用勾股定理解決問(wèn)題.本題也可將ΔC′CN繞點(diǎn)C′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔC′BG′（如圖3所示），同理可證明結(jié)論.

例4 （2015年·資陽(yáng)第10題）如圖4，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線(xiàn)段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G.證明：EF2=AF2+BE2.

解析 因?yàn)锳C=BC，∠ACB=90°，

所以∠A=∠ABC=45°.

如圖4，將ΔACF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔBCD，連接ED.

由旋轉(zhuǎn)知，CF=CD，BD=AF，∠ACF=∠BCD，∠FCD=90°.endprint

所以∠ECD=∠FCD-∠FCE=90°-45°=45°.

故∠ECD=∠FCE.

再結(jié)合CF=CD，易證ΔECFΔECD.

從而EF=ED.

又∠ABC=45°，∠CBD=∠A=45°，

所以∠EBD=90°.

故在RtΔEBD中，ED2=BD2+BE2.

即EF2=AF2+BE2.

點(diǎn)評(píng) 本題解決的關(guān)鍵是抓住“AC=BC”這一等量關(guān)系，結(jié)合證明結(jié)論中線(xiàn)段AF，將ΔACF進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而“轉(zhuǎn)移”線(xiàn)段位置，再利用全等、勾股定理等知識(shí)證明結(jié)論.當(dāng)然，本題也可將ΔBCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔACD′（如圖4所示），同理可證明結(jié)論.

三、利用旋轉(zhuǎn)求角度

例5 （2015年·鐵嶺第25題）如圖5，已知點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線(xiàn)上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD.若BD=3CD，求∠BAD的度數(shù).

解析 ① 如圖5，當(dāng)D在BC線(xiàn)段上時(shí)，將線(xiàn)段AD1繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至線(xiàn)段AE，連接BE.

易知ΔABE≌ΔACD1，∠EAB=∠D1AC，BE=CD1，∠ABC=∠ACB=∠ABE=45°.

所以∠EBD1=∠ABE+∠ABC=90°，即BE⊥BC.

因?yàn)锽D=3CD，所以BD1=3BE.

故在RtΔEBD1中，tan∠BD1E= BEBD1=33，∠BD1E=30°.

又由旋轉(zhuǎn)可知，∠EAD1=90°.

故∠EBD1=∠EAD1=90°.

所以四邊形A、D1 、B、E四點(diǎn)共圓.

所以∠EAB=∠BD1E=30°.

所以∠BAD1=90°-30°=60°；

②如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線(xiàn)段AF，連接CF.

同理可證：ΔBAD2≌ΔCAF，BD2=CF，且CF⊥BD2，∠CFD2=30°.

所以∠FAD2=∠FCD2=90°.

所以四邊形A、F、D2 、C四點(diǎn)共圓.

所以∠CAD2=∠CFD2=30°.

所以∠BAD2=90°+30°=120°.

綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或120°.

點(diǎn)評(píng) 由條件“BD=3CD”可轉(zhuǎn)化為“CDBD=33”，易聯(lián)想到銳角三角函數(shù)正切：tan30°=33，從而利用旋轉(zhuǎn)“轉(zhuǎn)移”BD，CD來(lái)構(gòu)造直角三角形.問(wèn)題解決過(guò)程中體現(xiàn)了分類(lèi)討論、化歸轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想.

四、利用旋轉(zhuǎn)求面積

例6 （2016·本溪第25題）如圖6，已知，ΔABC為直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)P是射線(xiàn)CB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AQ，連接QB交射線(xiàn)AC于點(diǎn)M.若ACBC=52，P點(diǎn)在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CM=2，AP=13，求ΔABP的面積.

解析 如圖6，將ΔABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ΔAB′C′.

連接B′Q，顯然C′，B′，Q三點(diǎn)共線(xiàn).

設(shè)BC=2x，AC=5x，故由旋轉(zhuǎn)知：

B′C′=BC=2x，AC=AC′=5x，B′Q=BP.

延長(zhǎng)BC交C′Q于N，易知四邊形ACNC′是正方形.

所以C′N(xiāo)=CN=AC=5x.

所以BN=BC+CN=7x.

又因?yàn)镃M//QN，

所以CMQN=BCBN=27.

由CM=2，得QN=7.

所以BP=B′Q=B′N(xiāo)+NQ=3x+7，

PC=BC+BP=2x+（3x+7）=5x+7.

在RtΔACP中，由AP2=AC2+PC2，

得132=（5x）2+（5x+7）2.

解得x=1或x=-125（舍）.

所以BP=10，AC=5.

所以SΔABP=12×BP×AC=12×10×5=25.

點(diǎn)評(píng) 求ΔABP面積的關(guān)鍵是獲得BP，AC線(xiàn)段長(zhǎng)度.又RtΔACP中，已知線(xiàn)段AC，BC的比例關(guān)系，故若能找到BP與AC或BC長(zhǎng)度關(guān)系，便可利用勾股定理建立方程，求出BP、AC長(zhǎng)度.因而按照線(xiàn)段AP的旋轉(zhuǎn)方式，旋轉(zhuǎn)ΔABC，從而獲得線(xiàn)段位置（平行）及長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而利用三角形相似、勾股定理求得結(jié)果.求解過(guò)程中滲透了方程思想.endprint