想法合理 解讀自然

徐愛勇

所謂“通性通法”是指解決具有相同性質(zhì)數(shù)學(xué)問題所用的通用方法，是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在解決數(shù)學(xué)問題中的集中體現(xiàn).

下面舉例說明在解題過程中，以“通性通法”為出發(fā)點，使我們保持自然流暢的思維，自覺做到主動反思，從而能夠?qū)で髥栴}的最優(yōu)解決策略.

1.“代數(shù)”與“幾何”的自然

案例1 對于任意的實數(shù)k，關(guān)于x的方程x²-5x+4=k（x-a）恒有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 本題普遍流行的解法是利用數(shù)形結(jié)合和化歸思想，把該方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象的交點個數(shù)來研究.具體解法如下：

考慮函數(shù)y=x²-5x+4與y=k（x-a）的圖象，根據(jù)題意，可得如圖1所示的位置，則1

再分析 其實不少同學(xué)腦海里第一反應(yīng)的思路并不是數(shù)形結(jié)合法，而是直接研究方程.由于該方程中字母較多，容易導(dǎo)致大家“半途而廢”.俗話說，堅持到底就是勝利！只要我們稍加觀察所得判別式不等式的特征，就不難得到下面的解法：

因為x²-5x+4=k（x-a），所以x²（k+5）x+4+ka=0，

又因為關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根，

所以△=（k+5）²-4（4+ka）>o，即k²+（10-4a）k+9>0.即對于任意的實數(shù)k，上式恒成立.則△'=（10-4a）²-4×9<0，則1

反思 同學(xué)們在解題過程中要有足夠的自信，不能夠束縛自己的思維，剝奪自主創(chuàng)造的空間.其實，數(shù)學(xué)解題的過程也可以分為三重境界：“溫飽（會做）”、“小康（多解）”、“富裕（優(yōu)化）”.而這三個步驟的順序一般情況下是不可以跳躍的，也要順其自然地發(fā)展.

2.“正面”與“反面”的自然

案例2 已知f（x）= -1/2x²2+x，是否存在實數(shù)m，n（m

分析 這道題屬于一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，這類問題的常規(guī)解法，按照區(qū)間[m，n]與對稱軸的位置關(guān)系分類討論求解.

解 因為f（x）=-1/2x²2+x的對稱軸為x=1，則

（1）當(dāng)m2+4m=0，n²+4n=0，m=-4，n=0

（2）當(dāng)mmax=f（1）=1/2，由題意得3n=1/2，則n=1/6，這與m

（3）當(dāng)1≤m2-2m+6n=0，n²-2n+6m=0，得m=n或-4，這與

綜合（1）（2）（3）得，滿足條件的實數(shù)m，，n存在，且m=-4，n=0.

再分析 其實，我們通常所說的先審題再下筆，目的就在于更好地尋找思維的切人點，合適的切人點必然能夠?qū)е滤季S的自然流暢，有利于思維完整的延續(xù)，這顯然是解題過程中十分重要的一個環(huán)節(jié).

鑒于此，我們會有以下幾個思考問題串：

（1）由解法可知m=-4，n=0確定的區(qū)間[-4，O]恰好是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，而（2）（3）兩種情形均無解，有這么巧嗎？

（2）如果“[3m，3n]”改為“[4m，4n]”，其余條件不變，結(jié)果義如何呢？

（3）如何證明f（x）在區(qū)間[m，n]上為單調(diào)增函數(shù)呢？

反思 從某種程度上來說，許多數(shù)學(xué)問題的價值意義不單單在于解完后如何變化拓展，更重要的應(yīng)該在解題過程中能夠自然而然地產(chǎn)生一些思維的深化和延伸，而如何加強各個條件的關(guān)聯(lián)與相互滲透，尋找最自然地思維切人顯然是至關(guān)重要的.

3.“直接”與“間接”的自然

案例3 已知函數(shù)f（x）=x²+x-a，若y=f（x）在區(qū)間（1，1）內(nèi)有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 本題不少同學(xué)會有這樣“直接”

反思 單墫教授曾經(jīng)說過，“沒有技巧就是最好的技巧.”而我們在平時的解題過程中，似乎更青睞一些“高超技巧”，傾向于把一些簡單的內(nèi)容講得復(fù)雜些，好像不這樣就不能顯示解題水平.長此以往，這直接導(dǎo)致我們對一些基本概念、基本方法不能充分掌握.現(xiàn)在，舉國上下都在提倡“減負(fù)增效”，而在數(shù)學(xué)解題過程中，做有用、有效、有意義的練習(xí)，是實現(xiàn)這一目標(biāo)的有力抓手.