通過求解加速度問題進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的研究分析

王曉云，陳 堃，李 夢(mèng)

（安徽信息工程學(xué)院 機(jī)械工程系，安徽 蕪湖 241000）

《理論力學(xué)》是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)，一般規(guī)律的一門學(xué)科[1]，包括靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)三部分內(nèi)容，其中動(dòng)力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系，包括了靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)研究內(nèi)容，是兩者之間的有機(jī)結(jié)合.在課堂教學(xué)中，學(xué)生對(duì)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容理解不夠透徹，掌握不夠扎實(shí)，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)目的.究其原因，主要有以下三點(diǎn)，一是研究對(duì)象不清晰，動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的主要內(nèi)容的主要研究對(duì)象是剛體，是不變質(zhì)點(diǎn)系，學(xué)生通常將物理中對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的研究方法套用在剛體上，造成方法使用錯(cuò)誤，二是動(dòng)力學(xué)內(nèi)容多，學(xué)時(shí)緊.動(dòng)力學(xué)包括動(dòng)力學(xué)普遍定理，虛位移原理、達(dá)朗貝爾原理、碰撞和拉格朗日方程的內(nèi)容，通常只有20多個(gè)學(xué)時(shí).導(dǎo)致學(xué)生對(duì)內(nèi)容掌握不牢固；三是內(nèi)容難、學(xué)生理解不透徹，動(dòng)力學(xué)問題與實(shí)踐聯(lián)系緊密，涉及內(nèi)容多，需要具有一定的邏輯分析能力，如果前期學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，對(duì)這部分內(nèi)容的理解會(huì)造成很大的困難.

針對(duì)以上問題，筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)一道題求解加速度的眾多方法，悉數(shù)動(dòng)力學(xué)主要研究方法，加深學(xué)生對(duì)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的理解，力求達(dá)到舉一反三.

1 具體實(shí)例分析

一輛簡易平板車如圖1.桿的質(zhì)量是m；兩圓柱體質(zhì)量分別為m/2，半徑為r；設(shè)接觸處都有摩擦，無相對(duì)滑動(dòng).求當(dāng)桿上加水平力P時(shí)，求桿的加速度.

圖1 簡易平板車

方法一：應(yīng)用動(dòng)能定理求導(dǎo)

研究對(duì)象去整體，設(shè)桿向右移動(dòng)距離為x，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖2.

圖2 受力及運(yùn)動(dòng)分析

主動(dòng)力的功∑W(F)=Px寫出兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能，設(shè)初狀態(tài)的動(dòng)能T0，由上知，任意時(shí)刻動(dòng)能T=mv2代入動(dòng)能定理T-T0=∑W(F),即mv2-T0=Px，

該方法適用于單自由度，系統(tǒng)所含物體較多，約束力復(fù)雜的情況，需要注意，利用該方法求解加速度時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能和功具有一般特性，以便等式兩邊可以同時(shí)求導(dǎo).

方法二：直接應(yīng)用動(dòng)能定理

研究對(duì)象取整體，設(shè)桿向右移動(dòng)距離x，

根據(jù)主動(dòng)力的功，寫出兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能，設(shè)初狀態(tài)的動(dòng)能T0，速度為v0，由上知，任意時(shí)刻動(dòng)能T=mv2.

則，T0=

該方法與方法一適用范圍類似，可以求解速度又可以求解加速度，由于借助運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，補(bǔ)充了兩時(shí)刻速度與加速度之間的關(guān)系，在問題求解時(shí)，可以省略求導(dǎo)這一步，使得運(yùn)算更加便捷.

方法三：功率方程

研究對(duì)象取整體，設(shè)桿在拉力P作用下具有向右的速度v，主動(dòng)力的功率∑P(F)=Pv，且由上易知，將任意時(shí)刻動(dòng)能代入功率方程

該方法利用功率方程能夠快速有效求解加速度，但如果對(duì)速度進(jìn)行分析，需要進(jìn)一步對(duì)加速度進(jìn)行積分.

方法四：應(yīng)用動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理

先研究桿，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖3所示，

圖3 桿的受力及運(yùn)動(dòng)分析

水平方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可以得到ma=P-2FS再研究圓柱體，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖4所示.

圖4 圓柱體的受力及運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)P點(diǎn)應(yīng)用頂軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程JPα=F'S·2r，其中α=a=2aC

該方法是一種通用的方法，其核心是平面運(yùn)動(dòng)微分方程，具有思路清晰，方法簡潔的特點(diǎn).然而在求解過程中需要先對(duì)系統(tǒng)中各物體進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)分析，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)而言，由于約束力的性質(zhì)和分布在求解前是不易確定的，使得求解過程變得極為復(fù)雜.

方法五：達(dá)朗貝爾原理

先研究桿，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖5所示:

圖5 桿的受力和運(yùn)動(dòng)分析

沿水平方向列平衡方程，可以得到P-2FS-FI桿=0

再研究圓柱體，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖4所示.

以P為矩形，列出矩方程，-F'S·2r+FIr+MIC=0,其中，α=

該方法與方法四類似，也是一種通用的方法，然而較方法四，矩方程更為靈活，矩方程的矩心不受任何限制，是次此方法的主要優(yōu)勢(shì).

方法六：應(yīng)用拉格朗日方程

取系統(tǒng)為研究對(duì)象，此系統(tǒng)具有一定的自由度，選桿的水平位移x為廣義坐標(biāo)，如圖6所示.

圖6 廣義坐標(biāo)

計(jì)算廣義力（虛功法）：Qx

∑δW(F)=Pδx，則，Qx=P

計(jì)算動(dòng)能：設(shè)任一瞬時(shí)，桿的平移速度為v，圓柱體純滾動(dòng)，角速度

由此得：

該方法利用系統(tǒng)能量，建立拉格朗日方程，使得問題的分析變得清晰明了，特別是系統(tǒng)的約束力未知，自由度較多時(shí)，優(yōu)勢(shì)尤為明顯.

3 結(jié)束語

本文以一道常見例題為對(duì)象，利用六種方法進(jìn)行了分析求解，分別應(yīng)用了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，動(dòng)量矩定理、功能定理、功率方程、達(dá)朗貝爾原理和拉格朗日方程等多種方法，幾乎涵蓋了全部的動(dòng)力學(xué)內(nèi)容，力求達(dá)到動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的融會(huì)貫通，希望能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些定理的理解，能夠正確使用這些定理解決實(shí)際問題，從而達(dá)到動(dòng)力學(xué)的基本目的.

〔1〕哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)I、II(第7版)[M].北京：高等教育出版社，2009.