調(diào)和Dirichlet空間上以徑向函數(shù)為符號的Toeplitz算子的交換性

楊靜宇

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

進(jìn)一步S按下述內(nèi)積成為Hilbert空間

Dirichlet空間W是S中滿足f(0)=0的解析函數(shù)全體構(gòu)成的S的閉子空間，是一個(gè)再生Hilbert空間，再生核是

調(diào)和Dirichlet空間Wh是S中的調(diào)和函數(shù)全體所成的閉子空間，很容易得出

并且調(diào)和Dirichlet空間Wh也是一個(gè)再生Hilbert空間，再生核是

設(shè)Q表示S到Wh上的正交投影，那么

同理，若P表示S到W上的正交投影，那么

由（1.1）式，有

其中 f∈Wh,z∈D.

1964年，Brown和Halmos[1]對Hardy空間上以有界函數(shù)為符號的兩個(gè)Toeplitz算子Tψ和Tφ的交換性給出一個(gè)漂亮的充分必要條件：（1）ψ和φ都解析；（2）ψ和φ都余解析；（3）存在不全為零的常數(shù) α,β，使得 ψ=αφ+β.在 Bergman 空間上，第一個(gè)關(guān)于Toeplitz算子交換性的結(jié)果由Axler和Cukovic[2]給出.在[2]中他們證明了當(dāng)兩個(gè)符號函數(shù)是有界調(diào)和函數(shù)時(shí)，關(guān)于Toeplitz算子的交換性仍有Brown-Halmos型結(jié)論.Louhichi和Zakariasy在[3]中討論了以擬奇次函數(shù)為符號的Toeplitz算子的交換性.

由于兩個(gè)調(diào)和函數(shù)的乘積不一定是調(diào)和函數(shù)，使得調(diào)和函數(shù)空間上相關(guān)算子的研究變得異常復(fù)雜和困難.文[4]在調(diào)和Bergman空間刻畫了符號為調(diào)和函數(shù)且其中一個(gè)為多項(xiàng)式的兩個(gè)Toeplitz算子的交換性.特別的，文中證明了只有符號函數(shù)線性相關(guān)的兩個(gè)解析Toeplitz算子才是交換的，但在Bergman空間上兩個(gè)解析Toeplitz算子本身就是交換的.文 [5]刻畫了調(diào)和Dirichlet空間中以調(diào)和函數(shù)為符號的Toeplitz算子的交換性.

受文獻(xiàn)[3],[4],[5]的啟發(fā)，本文考察了調(diào)和Dirichlet空間上以徑向函數(shù)為符號的兩個(gè)Toeplitz算子的交換性.

2 主要引理

設(shè) φ∈W1,∞是徑向函數(shù)定為：

若 φ∈L1(D,dA)且滿足 φ(z)=φ(|z|)(?z∈D)，則稱 φ 為徑向函數(shù).函數(shù)f稱為度為k的擬奇次函數(shù)，如果f能表示為

其中φ為徑向函數(shù).

引理1設(shè)φ∈W1,∞是一個(gè)徑向函數(shù)，那么對任意的p,n∈N∪{0},有

證明以為例

進(jìn)一步的

同樣的方法可得

綜上可得

3 Toeplitz算子的交換性

定理 1設(shè) φ,?∈W1,∞是徑向函數(shù)，那么 TφT?=T?Tφ.

證明由于φ,?∈W1,∞是徑向函數(shù)，根源引理1有

所以

同理可得

有

由等式（2）（3）可以推出在 Wh上 TφT?=T?Tφ.

〔1〕A.Brown and P.R.Halmos,Algebraic properties of Toeplitz operators,J.Reine Angew.Math.213,(1963),89-102.

〔2〕S.Axler and Z. Cuckovic,Commuting Toeplitz operators with harmonic symbols.IntegralEquation Operator Theory.14,(1991),1—12.

〔3〕I.Louhichi and L.Zakariasy,On Toeplitz operators withquasihomogeneous symbols,Arch.Math.(Basel).85,(2005),248-257.

〔4〕B.R.Choeand Y.J.Lee,Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman space,Michigan Math.J.46,(1999),163-174.

〔5〕L.Zhao,Commutativity of Toeplitz operators on the harmonic Dirichlet space,J.Math.Anal.Appl. 339(2008),1148-1160.