APOS理論在指數(shù)函數(shù)課堂教學(xué)中的實(shí)踐

閆耀梅

【內(nèi)容摘要】函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)是進(jìn)入高中階段的第一類基本初等函數(shù)，將APOS理論應(yīng)用于指數(shù)函數(shù)的課堂教學(xué)中，有助于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，促進(jìn)學(xué)生的實(shí)踐性學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 指數(shù)函數(shù) 教學(xué)活動(dòng)

20世紀(jì)80年代針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，在建構(gòu)主義背景下杜賓斯基等人提出了APOS理論。APOS理論提出概念心理圖式的建構(gòu)要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：第一階段：操作（Action）階段。這是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念借助外部刺激，通過學(xué)習(xí)活動(dòng)指示來獲得。第二階段：過程（Process）階段。當(dāng)活動(dòng)不斷地被個(gè)體進(jìn)行反復(fù)思考，經(jīng)歷內(nèi)化壓縮的過程；學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。第三階段：對(duì)象（Object）階段。當(dāng)個(gè)體將“過程”看作一個(gè)整體，并可以對(duì)它變形。第四階段：圖式（Scheme）階段。此時(shí)的概念，以綜合心理圖式存在于腦海，有具體實(shí)例，抽象過程，完整定義，以及和其他概念相區(qū)別和聯(lián)系的心理圖式，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有特定的地位。在實(shí)際應(yīng)用中，APOS理論中的后兩個(gè)階段通常需要經(jīng)過多次實(shí)踐才能完成對(duì)知識(shí)的心理圖式，進(jìn)而達(dá)到高的認(rèn)知水平。

一、操作（Action）階段

活動(dòng)1：古印度國(guó)王要褒獎(jiǎng)他的聰明能干的宰相達(dá)依爾（國(guó)際象棋的發(fā)明者），問他要什么。達(dá)依爾回答：“殿下只要在棋盤上第一個(gè)格子放兩粒麥粒，在第二個(gè)格子放四粒，在第三個(gè)格子放八粒，以后的格子都是前一格的兩倍。如此放滿64格，我就心滿足足了。”國(guó)王想，這不難辦到。但一袋麥子很快就用完了，一倉(cāng)庫(kù)也用完了，全印度的麥子也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠……

問題1：達(dá)依爾用了一個(gè)簡(jiǎn)單又神秘的函數(shù)使數(shù)據(jù)發(fā)生了爆炸性的增長(zhǎng)。如何用這個(gè)函數(shù)計(jì)算出棋盤上第64個(gè)格子里應(yīng)該放多少顆麥粒？

問題2：假設(shè)棋盤上第x格子里應(yīng)該放的麥子粒為y粒，如何用一個(gè)式子來表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系？

活動(dòng)2：《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”請(qǐng)你寫出截取x次后，木錘剩余量y與x的關(guān)系式。

二、過程（Process）階段

活動(dòng)3：分析實(shí)例說說它們有什么共同特征？

活動(dòng)4：它們能否構(gòu)成函數(shù)？

活動(dòng)5：它們是我們所學(xué)過的哪一類函數(shù)？如果不是，能否根據(jù)它的特征起一個(gè)名字？

總結(jié)：如果用字母a代替其中的底數(shù)，那么上述兩式子就可以表示成y=ax的形式。自變量在指數(shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。

三、對(duì)象（Object）階段

活動(dòng)6：學(xué)生討論給出指數(shù)函數(shù)的定義。

活動(dòng)7：為什么要a>0且a≠1呢？

問題1：若a<0，會(huì)有什么問題？

問題2：若a=0，會(huì)有什么問題？

問題3：若a=1，會(huì)有什么問題？

活動(dòng)8：教師用幾何畫板做出兩組函數(shù)的圖象，讓學(xué)生對(duì)這兩組圖象形狀的變化加以觀察與討論。

（1）y=2x，y=3x，y=7x，y=9x.

（2）y=0.2x，y=0.5x，y=0.7x，y=0.9x

問題1：猜想出y=5x與y=0.3x的圖像形狀，并描述其特征。

問題2：一般指數(shù)函數(shù)圖像分為幾類？

問題3：分別滿足什么樣的條件圖象大致是圖1與圖2？

活動(dòng)9：教師用幾何畫板做出y=ax （a>0且a≠1）的圖象，任意改變a的值來展示底數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖像的影響。

活動(dòng)10：對(duì)圖1，圖2進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生由圖形中得出指數(shù)函數(shù)在不同底數(shù)下，指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、恒過定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。最后通過課本56頁的表格進(jìn)行歸納分類，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)。

四、圖式（Scheme）階段

例1：函數(shù)f（x）是指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過（3，8）點(diǎn)，求f（0），f（2），f（-3）的值。

通過本例加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解，明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的重要因素，同時(shí)向?qū)W生滲透方程的思想。

例2：比較下列各題中數(shù)值的大小

（1）1.72.5，1.73

（2）0.8-0.1，0.8-0.2

（3）1.70.3，0.93.1

本例教師可以用圖像法和定義法兩種方法講解，有助于加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的理解。在第3道小題時(shí)引入中間量“1”比較大小也是一種常用的比較大小的方法。

本文在操作階段主要是為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性以及引出指數(shù)函數(shù)。過程階段提出了指數(shù)函數(shù)的定義，并形象的描述了指數(shù)函數(shù)的特征。對(duì)象階段討論了指數(shù)函數(shù)定義中底數(shù)的范圍，準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)；通過幾何畫板和多媒體形象生動(dòng)地展示指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。圖式階段中設(shè)計(jì)了兩個(gè)例題，涉及了指數(shù)函數(shù)的定義及其單調(diào)性的應(yīng)用。圖式階段是認(rèn)知發(fā)展的核心，通常要經(jīng)過長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)不斷完善和建構(gòu)。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 唐艷. 基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2005（12）：22-24.

[2] 鞠海燕、陸書環(huán). APOS理論視域下函數(shù)極限概念教學(xué)設(shè)計(jì)的探討[A]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011.

[3] 沈淼楠. 基于APOS理論的高中函數(shù)概念的教學(xué)活動(dòng)[A]. 中學(xué)教育，2016.

【本文為甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度立項(xiàng)課題“民族地區(qū)APOS 理論的教學(xué)實(shí)踐——以基本初等函數(shù)為例”（課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2017]GHB2631）階段成果?！?/p>

（作者單位：甘肅省永靖縣移民中學(xué)）endprint