探究楔形玻璃板間液面曲線的方程

張舜堯

(焦作市第一中學(xué) 河南 焦作 454003)

1 引子

如圖1所示，取兩片尺寸相同的平板長方形玻璃板，一側(cè)并齊，另一側(cè)夾一根細(xì)金屬絲，然后用夾子固定兩片玻璃，使板間產(chǎn)生一個(gè)上下通透的狹窄的楔形空間．

圖1 毛細(xì)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置圖

將裝置底部插入被染色的水中，液面在玻璃板間的楔形狹縫中逐漸上升，上升的高度隨著玻璃板間縫隙厚度的減小而逐漸增大，液體顏色也隨著玻璃板間縫隙厚度的減小由濃變淡，有色液面在玻璃板間形成一條平滑的曲線，生動(dòng)地揭示了毛細(xì)現(xiàn)象的基本規(guī)律，實(shí)驗(yàn)畫面呈現(xiàn)出物理學(xué)科的美感．

2 探究楔形玻璃板間液面曲線的方程

很多人對楔形玻璃板間液面曲線的性質(zhì)產(chǎn)生了濃厚的興趣，有的認(rèn)為是拋物線，也有的認(rèn)為是雙曲線，大家各執(zhí)一詞，互不相讓．

那么，楔形玻璃板間的液面曲線到底是什么性質(zhì)的函數(shù)曲線呢？

2.1 探究影響平行玻璃板間液面高度的因素

如圖2所示，設(shè)長為L的兩個(gè)玻璃板A，B平行正對，板間相距為d，豎直插入水中．由于水能浸潤玻璃，則玻璃板板間水膜的水位高出水面，產(chǎn)生毛細(xì)現(xiàn)象．

圖2 玻璃板間毛細(xì)現(xiàn)象示意圖

如圖3所示，以玻璃板間高出水面的這部分水膜為研究對象，水膜兩側(cè)受到A，B玻璃板施加的水平壓力NA和NB；水膜上方受到A，B玻璃板對液體凹型表面的斜向上的拉力FA和FB，拉力FA和FB與豎直方向的夾角均為浸潤角θ，因?yàn)樗櫜Ａ?，所以浸潤角θ為銳角；除此之外，水膜還受到自身重力作用．

圖3 玻璃板間液面受力分析圖

設(shè)水的表面張力系數(shù)為σ，水的密度為ρ，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，則水膜的重力為

mg=hLdρg

(1)

由表面張力公式可知，玻璃板對水膜斜向上的拉力為

F=σL

(2)

當(dāng)玻璃板間的水膜穩(wěn)定后，由物體平衡條件可知

mg=2Fcosθ

(3)

由式(1)～(3)可得，水膜高出水平面的高度為[1，2]

(4)

由式(4)可知，平行玻璃板間的水膜高度h與玻璃板間的距離d成反比例關(guān)系．

2.2 探究楔形玻璃板間液面曲線的方程

如圖4所示，以楔形玻璃板與水平面的交界線為x軸，以兩玻璃板交界線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)玻璃板的寬度為a，金屬絲的直徑為D，則在距楔形尖端為x的位置，板間厚度為d為

(5)

考慮到兩玻璃板間的夾角非常小，可以將水平向右方向上厚度均勻變化的楔形水膜視為一系列在水平向右方向上厚度成階梯狀遞增的長條形等厚水膜，則每一個(gè)長條形等厚水膜的高度和厚度關(guān)系都將符合式(4)．

由式(4)、(5)可得，楔形玻璃板間的液面曲線的方程為

(6)

由式(6)可知，楔形玻璃板間的液面曲線為反比例函數(shù)曲線．

圖4 楔形玻璃板間的液面曲線

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)上述分析的可靠性，筆者在Photoshop中將實(shí)驗(yàn)照片中的玻璃板調(diào)節(jié)長方形，消除因拍攝方向與玻璃板不垂直帶來的圖像畸變，并將照片的長度設(shè)置為16 cm，高度設(shè)置為12 cm，使照片的尺寸與實(shí)物一致．

然后，將矯正過的玻璃板實(shí)驗(yàn)照片復(fù)制到幾何畫板中，并在幾何畫板中以楔形玻璃板與水平面的交界線為x軸，以兩玻璃板的交界線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，繪制一條反比例函數(shù)曲線，緩慢調(diào)節(jié)反比例函數(shù)的比例系數(shù)，將反比例函數(shù)曲線與楔形玻璃板間的液面曲線相比對，對比結(jié)果如圖5所示．

圖5 液面曲線與反比例函數(shù)曲線比照圖

顯然，楔形玻璃板間的液面曲線與反比例函數(shù)曲線有著良好的重合度．

在本實(shí)驗(yàn)中，玻璃板的寬度a=0.16 m，金屬絲的直徑D=0.000 7 m，表面張力系數(shù)σ=0.072 N/m，水在玻璃板上的接觸角θ=35°，水的密度ρ=

1 000 kg/m3，重力加速度g=9.8 m/s2．將上述數(shù)據(jù)代入式(6)可得，比例系數(shù)的理論值為n=2.75×10-3m2．

幾何畫板中坐標(biāo)系的默認(rèn)單位長度為1 cm，在此坐標(biāo)系下的比例系數(shù)測量值為n′=26.90 cm2．

比較比例系數(shù)的實(shí)驗(yàn)值和理論值可得，比例系數(shù)測量值為理論值的0.978倍．在誤差允許的范圍內(nèi)，比例系數(shù)的理論值與測量值相互吻合．

4 結(jié)論

兩塊長方形玻璃板一側(cè)并齊，另一側(cè)夾一細(xì)金屬絲，可以組成楔形結(jié)構(gòu)，用于毛細(xì)現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)演示．毛細(xì)現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，液面提升的高度與縫隙的寬度成反比，楔形玻璃板間的液面曲線是反比例函數(shù)曲線．

1 何濟(jì)洲.毛細(xì)管中液柱的高度.南昌大學(xué)學(xué)報(bào),1995,17(2):80～82

2 程陽. 由于毛細(xì)現(xiàn)象液面上升高度計(jì)算的思考.數(shù)理醫(yī)學(xué)雜志,2010,23(4):477～478