等溫線和絕熱線不能相交于兩點(diǎn)的兩種證法*

盧曉鳳 毛予廷

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

在熱學(xué)部分我們學(xué)習(xí)了熱力學(xué)第零定律、第一定律及第二定律這三大定律之后，發(fā)現(xiàn)用其可以解決很多有關(guān)熱現(xiàn)象的問題，但它也有其局限性．如單純地用熱力學(xué)第一定律不能回答的問題有3個(gè)，其中第一個(gè)是：理想氣體的pV圖上，等溫線和絕熱線不能有兩個(gè)和兩個(gè)以上的交點(diǎn)．對上述問題的證明我們采用反證法，得出其違反熱力學(xué)第二定律證明的，其實(shí)還可以有其他證法，為此本文就這一問題用兩種方法進(jìn)行證明．

1 證明方法一

命題：論證理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點(diǎn)．

假設(shè)絕熱線與等溫線相交于A,B兩點(diǎn)．

如圖1所示，若一條絕熱線與一條等溫線相交于A,B兩點(diǎn)，沿絕熱線從A到B,再沿等溫線從B到A,于是構(gòu)成了一個(gè)閉合循環(huán)，它從單一熱源吸熱對外做功(等于環(huán)路面積)．這違反熱力學(xué)第二定律，所以是不可能的．

如圖1所示，等溫線與絕熱線構(gòu)成一個(gè)閉合循環(huán)系統(tǒng)，則有ΔU=0(因?yàn)閮?nèi)能是個(gè)態(tài)函數(shù)).

圖1 理想氣體p-V圖

由熱力學(xué)第一定律得

ΔU=Q-A

B→A在等溫過程中有Q>0

A→B在絕熱過程中有Q=0

則有

Q=A

式中各字母代表的意思分別是:Q:系統(tǒng)從外界吸熱；A：外界對系統(tǒng)做功；U:內(nèi)能增加.

這與熱力學(xué)第二定律開爾文氏表述相矛盾(不可能從單一熱源吸取熱量，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響).

因此，假設(shè)不成立原結(jié)論正確．

上述證明過程完全應(yīng)用我們物理知識中的熱力學(xué)第一、二定律進(jìn)行證明，證明過程雖簡單，但不易理解，為此我們介紹下面一種證法．

2 證明方法二

對于“理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點(diǎn)”這一命題的證明，不依賴于熱力學(xué)第二定律，也可以證明其正確性．

在pV圖中，可設(shè)(p1，V1)和(p2，V2)是等溫線和絕熱線的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)理想氣體等溫過程方程

pV=C1

可得

p1V1=p2V2

(1)

根據(jù)理想氣體絕熱過程方程

pVγ=C2(泊松公式)

可得

(2)

聯(lián)立(1)、(2)兩式可得

其實(shí)兩個(gè)交點(diǎn)為同一點(diǎn)．

在上述的討論中我們假定γ為常數(shù)，而對于理想氣體，γ有可能是溫度的函數(shù)，在此情況下有

nCVdT+pdV=0

(3)

利用理想氣體物態(tài)方程：pV=nRT,可將式(3)化簡為

VF(T)=常量

因此，當(dāng)γ與溫度有關(guān)時(shí)，理想氣體的絕熱過程方程為

VF(T)=常量

(4)

設(shè)(p1,V1)和(p2，V2)是等溫線和絕熱線的兩個(gè)交點(diǎn),等溫線對應(yīng)的溫度為T，由式(4)可得

V1F(T)=V2F(T)

(5)

由等溫過程方程可得

p1V1=p2V2

(6)

聯(lián)立(5)、(6)兩式可得

上面兩式同樣說明，等溫線和絕熱線的兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)為一點(diǎn)，這說明等溫線和絕熱線不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)．

3 兩種證明方法比較

相同點(diǎn)：對理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點(diǎn)這一命題的兩種證明方法，本文均采用了反證法，但其應(yīng)用原理不同．

不同點(diǎn)：

(1)方法一通過應(yīng)用熱力學(xué)第一定律導(dǎo)出其與熱力學(xué)第二定律相矛盾從而證明了其正確性；方法二則采用熱力學(xué)第一定律的微分形式、理想氣體的物態(tài)方程及泊松方程進(jìn)行證明，更多的是數(shù)學(xué)推理．

(2)方法一形式簡單，但不易理解，尤其對其兩大定律理解不清晰或不透徹者．方法二雖形式復(fù)雜公式繁多實(shí)則原理簡單，大多是一些數(shù)學(xué)方面的定性分析及推理，較易理解．

4 總結(jié)

對理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點(diǎn)的正確性的論證，我們從上述問題的兩種證明方法進(jìn)行了證明，均有優(yōu)缺點(diǎn)，同學(xué)們可以自選方法來更好的理解．同時(shí)也啟示我們，在解決一些問題時(shí)要從多角度去思考，力圖尋求多種方法來解決其問題，從而得到最簡便的解決途徑．這不僅可以提高我們解決問題的能力更能鍛煉我們的思維能力．

1 劉全慧，沈抗存.熱物理教與學(xué)隨筆集.北京:科學(xué)出版社,2010.89～90

2 趙凱華，羅蔚茵. 熱學(xué). 北京：高等教育出版社， 2011. 222～223

3 程守洙，江之永.普通物理學(xué).北京：高等教育出版社，2013