實(shí)心球最佳投擲角精確方程及數(shù)值解

葛興爍 李 強(qiáng)

(石家莊石門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 河北 石家莊 050024)

馬鈺瑩

(天津英華國(guó)際學(xué)校 天津 301700)

原地雙手后拋實(shí)心球被列為河北省體育中考項(xiàng)目，該項(xiàng)目在我省體育中考總分中占10分 (體育中考總分為30分).中學(xué)體育教師往往根據(jù)多年積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合其他投擲項(xiàng)目及學(xué)生特點(diǎn)總結(jié)出自己一套獨(dú)特的教學(xué)方法. 理論計(jì)算表明，在不計(jì)空氣阻力，投擲角與球出手時(shí)的速度及高度有關(guān)，要使射程最遠(yuǎn)投擲角大約在38°～42°之間. 但是，這些雜志[1, 2]在導(dǎo)出這一結(jié)論時(shí)忽略了考生手臂長(zhǎng)度對(duì)投擲成績(jī)的影響.

本文在原來(lái)物理模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析討論，指出關(guān)于實(shí)心球最佳投擲角計(jì)算公式中存在的問(wèn)題，導(dǎo)出最佳投擲角的精確方程和數(shù)值解.旨在完善該項(xiàng)目的理論體系，更科學(xué)地指導(dǎo)考生對(duì)該項(xiàng)目的訓(xùn)練，為考生提高成績(jī)提供最有效的數(shù)據(jù).

1 原地雙手后拋實(shí)心球技術(shù)分析存在不足

一般在投擲項(xiàng)目原理中，影響投擲成績(jī)的因素有出手高度、投擲角度和出手速度3個(gè)因素，原地雙手后拋實(shí)心球同樣也受到這3個(gè)因素的影響. 文獻(xiàn)[3]深入分析了原地雙手后拋實(shí)心球的影響因素，并提出了原地雙手后拋實(shí)心球成績(jī)與3個(gè)因素間的關(guān)系

(1)

公式(1)為實(shí)心球出手后的投擲距離. 但是作者忽略了一個(gè)重要因素，即投擲者的手臂長(zhǎng)度. 一般在其他投擲類(lèi)項(xiàng)目里面不考慮手臂長(zhǎng)度，但是在該項(xiàng)目中，投擲者站在線的后方并且背對(duì)投擲方向投擲，這就決定實(shí)心球出手點(diǎn)一定在線后方. 因此，只有在出手高度、出手速度、手臂長(zhǎng)度一定時(shí)，投擲實(shí)心球的投擲距離才只取決于投擲角度.

原地雙手后拋實(shí)心球的拋出點(diǎn)要高于落地點(diǎn)，通過(guò)觀察原地后拋實(shí)心球物理模型示意圖(圖1)，發(fā)現(xiàn)手臂水平方向的分量L0cosβ在一定程度上減小了實(shí)心球的投擲距離. 那么在投擲過(guò)程中，我們應(yīng)盡量減小水平分量對(duì)投擲距離的消極影響，即手臂剛好在頭頂上方伸直，與地面垂直. 如果此時(shí)出手實(shí)心球，那么實(shí)心球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，則會(huì)失去最大投擲距離.文獻(xiàn)[2]在研究斜拋物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出了斜拋物體最大投擲距離的表達(dá)式.其他條件相同時(shí)，在一定的角度范圍內(nèi)，斜上拋運(yùn)動(dòng)的投擲距離一定大于平拋運(yùn)動(dòng)的投擲距離. 這就是為什么標(biāo)槍、鉛球等體育運(yùn)動(dòng)都是斜上拋運(yùn)動(dòng)而不是平拋運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)[4]在研究投射體的投射角和落地角間的關(guān)系時(shí)，得出了無(wú)論何種情況投射角和落地角互余的關(guān)系. 即投擲角一定要小于90°.如果投擲點(diǎn)超出頭頂，則此時(shí)將做斜下拋運(yùn)動(dòng)，投擲距離會(huì)更小. 因此，原地雙手后拋實(shí)心球它的拋出點(diǎn)應(yīng)在頭部后方.

2 不計(jì)空氣阻力原地雙手后拋實(shí)心球最佳投擲角的精確方程

如圖1所示，建立原地后拋實(shí)心球物理模型.

圖1 原地后拋實(shí)心球物理模型

不計(jì)空氣阻力，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做上拋運(yùn)動(dòng)，拋出點(diǎn)到球的落地點(diǎn)所用時(shí)間為t. 原地雙手后拋實(shí)心球的投擲距離s和出手高度H，出手速度v,投擲角度α,手臂長(zhǎng)度L0之間的精確方程推導(dǎo)如下

s0+s=v2t=vtcosα

t=t1+t2

由

可得到

聯(lián)立上式化簡(jiǎn)得到

在實(shí)心球出手的瞬間，實(shí)心球可以近似看作是一個(gè)以投擲者肩部為軸，手臂長(zhǎng)度的圓周運(yùn)動(dòng)的一部分.由于此過(guò)程加速時(shí)間較短，因此，可近似認(rèn)為此過(guò)程為勻速運(yùn)動(dòng). 手臂伸展后的高度高于人的身高，不會(huì)造成砸到人的情況. 那么在出手的瞬間實(shí)心球的速度v和手臂L0垂直，即

α+β=90°

由

s0=L0cosβ

得到

s0=L0cos(90-α

即

s0=L0sinα

顯然，實(shí)心球出手瞬間球心在地面投影點(diǎn)至投擲線之間的水平距離為投擲角的函數(shù). 綜上所述，我們可以得到實(shí)心球的投擲距離和出手高度、出手速度、投擲角度、手臂長(zhǎng)度之間的精確方程

(2)

sinα=μ

則

并令

則方程(2)改寫(xiě)為

(3)

由于

而

所以

(4)

由分式性質(zhì)可知，方程(4)解為零時(shí)，只能是分子為零,即

(5)

利用數(shù)學(xué)工具M(jìn)atlab[5]對(duì)式(5)進(jìn)行化簡(jiǎn)最后得到一個(gè)一元十次方程

(-16B2)μ10+(8Bε1+16B2-B4)μ8+

(6)

其中參數(shù)ε1,ε2,ε3,ε4,ε5分別為

ε1=A2+AB2+2A-B2

ε2=2B-4AB

ε3=AB2+A

ε4=4A2B2

ε5=16AB2

該方程就是我們要求的最佳投擲角的精確方程解.對(duì)于一元十次方程我們知道沒(méi)有解析解(四次以下才有).因此，我們不能導(dǎo)出投擲角α的簡(jiǎn)單公式.并且試圖通過(guò)降低方程的次數(shù)，來(lái)求解析解也不實(shí)際.唯一的辦法就是借助計(jì)算機(jī)求方程的數(shù)值解.

(A2+2A)2μ4-2A(A2+2A)μ2+A2=0

即

(A2+2A)μ2-A=0

又因?yàn)?/p>

sinα=μ

(7)

這一結(jié)果與其他文獻(xiàn)[1, 2]中報(bào)道的結(jié)果相一致，這就表明我們推導(dǎo)的精確方程(6)是正確的，同時(shí)也表明之前文獻(xiàn)報(bào)道的結(jié)論只是我們導(dǎo)出方程的一個(gè)特解.

3 實(shí)心球最佳投擲角方程的數(shù)值解

在實(shí)際投擲中，每位考生的出手高度及臂長(zhǎng)都不相同，即使初速度v相同，系數(shù)A,B也不同，相應(yīng)的方程(6)也有所差異. 現(xiàn)在舉例說(shuō)明，假設(shè)某考生的臂長(zhǎng)L0=0.53m，出手高度H=1.8m，出手速度v=10m/s，則相應(yīng)的方程為

-0.044 9μ10+0.404 4μ8-0.002μ6-

0.734 3μ4+0.612 9μ2-0.128 8=0

通過(guò)Matlab軟件計(jì)算得到μ=0.584，其最佳投擲角α=35.75°如果用傳統(tǒng)的公式(7)計(jì)算得到最佳投擲角α′=40.63°．將這兩個(gè)最佳投擲角分別代入方程(1)、(2)分別求出投擲距離s=11.2m，s′=11.8m，兩者相差Δs=0.6m. 顯然，采取精確方程(6)與傳統(tǒng)方程(7)求解投擲距離相差較大，因此，手臂長(zhǎng)度對(duì)投擲成績(jī)的影響在實(shí)際問(wèn)題中不能忽略，這也說(shuō)明我們模型更加準(zhǔn)確.

4 最佳投擲角α與出手高度H和速度v的關(guān)系

保持v=10m/s和L0=0.53m不變，出手高度H變化，一般初中生的出手高度基本集中在1.8～2.5m，根據(jù)方程(6)利用軟件Matlab可以計(jì)算出不同H所對(duì)應(yīng)的α，如表1所示. 我們發(fā)現(xiàn)隨著H的增加，α逐漸減小.但是，在出手高度H取邊緣值時(shí)，最佳投擲角也只相差Δα=0.472°，因此，在實(shí)際投擲實(shí)心球中，最佳投擲角α受H影響很小，可近似認(rèn)為與H無(wú)關(guān).

表1 最佳投擲角與出手高度的關(guān)系

如果已知考生的出手高度H和臂長(zhǎng)L0，根據(jù)方程(6)利用軟件Matlab可以計(jì)算出不同v對(duì)應(yīng)的α. 根據(jù)調(diào)查，初中生實(shí)心球出手速度主要介于4.5m/s～11m/s，在這個(gè)范圍內(nèi)，我們假定出手高度H=2.0m和L0=0.53m，表2給出了幾組模擬數(shù)據(jù).

表2 最佳投擲角與出手速度的關(guān)系

為了研究最佳投擲角與出手速度間的具體關(guān)系，我們先采用一次函數(shù)對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行擬合，我們發(fā)現(xiàn)擬合結(jié)果與散點(diǎn)基本吻合，如圖2所示. 其中擬合方程為：f(α)1=1.564v+20.699，擬合度R2=0.91.為了得到更加精確的定量關(guān)系，我們又采用二次函數(shù)對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行擬合，其擬合結(jié)果如圖3所示.擬合二次方程為：f(α)2=-0.239v2+5.278v+7.187，擬合度R2=0.98.

圖2 最佳投擲角與出手速度間的一次擬合關(guān)系

圖3 最佳投擲角與出手速度間的二次擬合關(guān)系

通過(guò)比較兩次擬合結(jié)果，得到最大相對(duì)誤差為

可以忽略不計(jì). 因此一般情況下，我們?nèi)跃涂梢哉J(rèn)為最佳投擲角與出手速度間為正相關(guān)關(guān)系[6]. 如果給出出手速度，利用方程f(α)1我們可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的最佳投擲角的近似值.

為了得到出手速度，我們可以用攝像機(jī)把投擲過(guò)程拍攝下來(lái)，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)及勻速直線運(yùn)動(dòng)公式，我們可以求出出手速度. 在得到出手速度后，將其代入公式

f(α)1=1.564v+20.699

便可以得到最佳投擲角的近似值．通過(guò)調(diào)整投擲角來(lái)提高投擲實(shí)心球的成績(jī).

5 結(jié)論

物理不僅是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，更是一門(mén)應(yīng)用科學(xué). 球類(lèi)運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)含著豐富的物理知識(shí)，本文通過(guò)對(duì)原地后拋實(shí)心球建立簡(jiǎn)單的物理模型，利用圖像和數(shù)據(jù)定性分析了投擲實(shí)心球遠(yuǎn)近的影響因素. 通過(guò)分析給出了最佳投擲角與出手速度之間的定量關(guān)系，將這一關(guān)系應(yīng)用到我們實(shí)際的訓(xùn)練中，不僅可以正確指導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練，取得優(yōu)異成績(jī)，而且對(duì)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的發(fā)展具有一定的指導(dǎo)意義.

1 蔡志東. 鉛球最佳投擲角的精確方程及數(shù)值解.大學(xué)物理,2005(24):16～18

2 紀(jì)東亮.淺析斜拋物體的最佳投射角和最大射程.中國(guó)教育技術(shù)裝訂,2008(11):42

3 石儉, 陳鳳珍, 盧啟奇. 原地雙手后拋實(shí)心球的技術(shù)分析與訓(xùn)練方法研究——關(guān)于體育高考術(shù)科考試項(xiàng)目分析,2010,2(3):32～33,40

4 陳壽謙. 拋射體投射角和落地角互為余角的條件.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1994 (S2):111～112

5 張志涌, 楊祖櫻.Matlab教程.北京. 北京航空航天大學(xué)出版社,2001

6 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修3.北京.北京：人民教育出版社, 2007.85～90