生活中的數(shù)學(xué)模型

王亭

【摘要】 數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，生活中的實(shí)際問題都可以通過建立數(shù)學(xué)模型得到解決，本文通過對(duì)常見的走路問題數(shù)學(xué)模型并求解，教師在教學(xué)過程中要注重?cái)?shù)學(xué)的生活化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué);生活化;走路問題;模型

【基金項(xiàng)目】 該論文為湖南大眾傳媒職業(yè)技術(shù)學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目“高職院校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生心理教育援助機(jī)制研究”（項(xiàng)目編號(hào)：14YJ16）的研究成果之一.

數(shù)學(xué)家笛卡兒曾這樣說過.“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”我國(guó)家喻戶曉的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾下過這樣的結(jié)論.的確，正如兩位前輩所說，數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)的腳步無處不在.

比如，商品標(biāo)價(jià)和促銷中有數(shù)學(xué)，購(gòu)物消費(fèi)中有數(shù)學(xué)，裝修房子有數(shù)學(xué)，風(fēng)扇的扇葉繞著中心旋轉(zhuǎn)、三角形的支架、酒店四邊形的推拉門、用坐標(biāo)表示位置、買彩票中獎(jiǎng)的概率問題等等，還有在下雨天走路和跑步到底怎樣淋雨更少呢？……許多實(shí)際生活問題都可以建立數(shù)學(xué)模型得到解決，下面就我們最常見的問題——人在勻速行走時(shí)步長(zhǎng)多大最省力，建立數(shù)學(xué)模型和大家一起分析研究.

一、問題的提出

人在勻速行走時(shí)（速度固定）步長(zhǎng)多大最省勁？

二、問題分析

所謂省力就是走路做的功最少，把人行走時(shí)做的功看作是人體重心的勢(shì)能和兩腳運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和.試在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià).

三、模型假設(shè)

1.人在水平面上沿直線勻速行走，行走距離為s，行走速度為v，步長(zhǎng)為2x.

2.行走過程中，人的重心固定在人體的某個(gè)部位，人體總值兩位M，腿的質(zhì)量集中在腳上，一只腳的質(zhì)量為m，腿長(zhǎng)為l.

3.人在行走過程中，腳從抬起到落地間速度不變?yōu)関1，兩只腳交錯(cuò)地運(yùn)動(dòng)，一只腳邁開，另一只腳停在地面上.

4.人在行走過程中不考慮空氣阻力和摩擦阻力.

5.人行走時(shí)所做功只考慮兩部分：提高重心時(shí)克服重力所做的功和抬腳給腳以動(dòng)能所做的功.

四、模型求解與建立

基于以上假設(shè)，人在走一步的過程中所做功為兩部分，一部分是人的重心升高克服重力做功，這部分功為

W1=Mgh=Mg（l- l2-x2 ）.

另一部分是人抬腳時(shí)，腳獲得的動(dòng)能，人提供這部分能量時(shí)做的功為W2= 1 2 mv21.

則人走一步時(shí)所做的功為

W3=W1+W2= 1 2 mv21+Mg（l- l2-x2 ）. （1）

在同時(shí)間內(nèi)，腳走過的距離是人身體走過的距離的兩倍，從而有

v1=2v. （2）

（2）代（1）式得

W3=2mv2+Mg（l- l2-x2 ）. （3）

W3為人走一步所做功，走完全程s做的總功為

W=W3× s 2x =[2mv2+Mg（l- l2-x2 ）]× s 2x . （4）

由實(shí)際情況，（4）式中的x必滿足

0<x<l. （5）

原問題轉(zhuǎn)化為求由（4）式確定的函數(shù)W在（0，l）上的最小值點(diǎn).

由微分學(xué)知，W的最小值點(diǎn)可能使

W x =0.

而 W x =- s 2 [2mv2+Mg（l- l2-x2 ）] 1 x2 + s 2x? Mgx? l2-x2? . （6）

令 W x =0得

Mgx 2 l2-x2? = s 2x2 [2mv2+Mg（l- l2-x2 ）] （7）

Mgs 2l 1-? x l? 2? = s 2l2? 1?? x l? 2 · 2mv2+Mgl 1- 1-? x l? 2?? . （8）

設(shè) x l =sin，cos=? l2-x2? l . （9）

（9）代（8）式得

Mgs 2lcos = s 2l2? 1 sin2 [2mv2+Mgl（1-cos）]

Mg 2lcos = mv2 l2? 1 sin2 + Mg 2l? 1 1+cos

Mg 2l?? 1 cos - 1 1+cos? = mv2 l2? 1 1-cos2

cos= -mv2±（mv2+Mgl） Mgl+2mv2 .

因?yàn)閏os>0，所以

cos= Mgl Mgl+2mv2 ，

sin2=1-cos2= 4m2v4+4Mmglv2 （Mgl+2mv2）2 ，

sin= 2v m2v2+Mmgl? Mgl+2mv2 ，

x=lsin= 2vl m2v2+Mmgl? Mgl+2mv2 ， （10）

2x= 4vl m2v2+Mmgl? Mgl+2mv2 ， （11）

由微分學(xué)理論知，（11）即為所求值.

當(dāng)腿長(zhǎng)l，步行速度v，人體質(zhì)量M，腳質(zhì)量m已知時(shí)，步長(zhǎng)取（11）式給定的值時(shí)，人感覺最輕松（最省勁）.

數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)的知識(shí)有的是我們實(shí)際生活中已經(jīng)司空見慣了的，有的是我們運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，通過實(shí)踐活動(dòng)把經(jīng)驗(yàn)提煉而成的，但尚未找到其內(nèi)在聯(lián)系.只要留心，就會(huì)在生活的方方面面找到“數(shù)學(xué)”的影子，數(shù)學(xué)在我們每個(gè)人的身邊，要我們用心不斷去體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn).

數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)，將大大提高人們的生活質(zhì)量.我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不但要注重聯(lián)系生活，充分挖掘生活中的數(shù)學(xué)素材，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;而且要注重培養(yǎng)與提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)以及分析解決實(shí)際問題的能力，這樣才能真正提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.