三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

張志忠

【摘要】 三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中很重要并且常用的數(shù)學(xué)模型，可以通過(guò)模型研究很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高課堂效率.在現(xiàn)實(shí)生活中有很多抽象和比較復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)函數(shù)模型的應(yīng)用，就可以快速而準(zhǔn)確地解決，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)函數(shù)的重要性，并且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)投入數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從而讓課堂達(dá)到事半功倍的效果.通過(guò)教師的不斷改善教學(xué)方式，下面本文將通過(guò)幾個(gè)具體的案例，揭示三角函數(shù)模型在實(shí)踐中的實(shí)際運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)模型;課堂教學(xué);實(shí)際應(yīng)用

在初中課堂教學(xué)理念中，提倡學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極探索的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，深入了解數(shù)學(xué)文化.在初中數(shù)學(xué)教材中，很多知識(shí)點(diǎn)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活距離遙遠(yuǎn)，加上初中生的認(rèn)知水平，很難理解抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容.通過(guò)三角函數(shù)模型的應(yīng)用，幫助學(xué)生培養(yǎng)思維，指出學(xué)習(xí)方向，收集相關(guān)資料，進(jìn)而解決實(shí)際性的問(wèn)題，體現(xiàn)三角函數(shù)模型的重要作用.下面通過(guò)以下幾個(gè)例子來(lái)學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型.

例1?? 小美和同學(xué)一起到游樂(lè)場(chǎng)游玩.游樂(lè)場(chǎng)的大型摩天輪的半徑為20 m，勻速旋轉(zhuǎn)1周需要12 min.小美乘坐最底部的車(chē)廂（離地面約0.5 m）開(kāi)始1周的觀光，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（參考數(shù)據(jù)： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）

（1）1.5 min后小美離地面的高度是 m;（精確到0.1 m）

（2）摩天輪啟動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后，小美離地面的高度將首次達(dá)到10.5 m？

點(diǎn)撥? 本題目涉及了直角三角形的應(yīng)用以及生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

（1）可以通過(guò)算出1.5分鐘后所轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)半徑的長(zhǎng)以及構(gòu)造的直角三角形，通過(guò)函數(shù)模型建設(shè)，可求出答案為6.4.

（2）可以根據(jù)已知條件，給出的高度，先能求出OD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形中，若直角邊是斜邊的一半，那么這個(gè)直角邊所對(duì)的角是30°，從而求出轉(zhuǎn)過(guò)的∠COD的情況并求解.通過(guò)函數(shù)模型，得出答案為2分鐘.

例2?? 如圖3所示，在河的對(duì)岸有水塔AB，今在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，前進(jìn)20米到D處，又測(cè)得A的仰角為45°，求塔高AB.

探索：在河對(duì)岸的塔能否直接測(cè)得它的高度？為什么？

在C，D兩處測(cè)得仰角的含義是什么？怎樣用CD的長(zhǎng)？

點(diǎn)撥? 要直接隔岸測(cè)得塔高是不可能的，也不可能直接利用兩個(gè)仰角及CD長(zhǎng)，由于塔身與地面垂直，且C，D，B三點(diǎn)共線，這時(shí)可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，這時(shí)就可以借助解直角三角形的知識(shí)求解了.最后的答案為：塔高AB為10米.

例3?? 如圖4所示，“中國(guó)海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向上，島礁C上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里.

（1）求出此時(shí)點(diǎn)A到島礁C的距離;

（2）若“中海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離.（注：結(jié)果保留根號(hào)）

點(diǎn)撥? 本題目主要涉及直角三角形的應(yīng)用以及方位角問(wèn)題.

（1）根據(jù)題意得出，畫(huà)出上圖，延長(zhǎng)線BA，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可得∠CBD=30°，BC=120海里，則DC=60海里，最后通過(guò)函數(shù)模型建立，得出點(diǎn)A到島礁C的距離為40 3 海里.

（2）如圖5所示，過(guò)點(diǎn)A′作AN⊥BC于點(diǎn)N，得∠2=15°，即A′B平分∠CBA，通過(guò)函數(shù)解答，快速求出答案為60-20 3 海里.

這類(lèi)題目在日常工作經(jīng)常遇到，只要我們找到函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)模型建設(shè)就可以很快準(zhǔn)確地計(jì)算出答案，用數(shù)學(xué)解決日常工作問(wèn)題.

例4?? 如圖6所示，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA=100 m，山坡坡度i=1 ∶ 2，且O，A，B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.（測(cè)角儀高度忽略不計(jì)）

點(diǎn)撥? 本題主要涉及三角形的應(yīng)用以及仰角問(wèn)題.

（1）在△AOC中，作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60，通過(guò)對(duì)三角函數(shù)求解，得出答案為100 3 （米）.

（2）據(jù)右圖可以看到3個(gè)直角三角形，用60°以及45°以及坡度比，分別求出CO，CF，PE，然后根據(jù)三者之間的關(guān)系求解答案.

在現(xiàn)實(shí)生活中處處都包含著函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，這些問(wèn)題比較復(fù)雜并且抽象，需要我們有良好的函數(shù)基礎(chǔ)來(lái)解決它.因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該更加重視數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)，在舉例子的時(shí)候盡量貼近生活，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)起源于生活，作用于生活，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的重要性，并且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，學(xué)會(huì)用教材知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.