剖析考題解法，拓展探究思考

劉海兵

[摘? 要] “函數(shù)”是初中數(shù)學的重點內容，中考在考查時常從知識綜合的角度進行，即融合代數(shù)、幾何等知識構建相關的綜合問題. 本文以一道函數(shù)綜合題為例，開展解法探究，提出相應的學習建議，與讀者交流、探討.

[關鍵詞] 函數(shù);不等式;鉛垂法;解法;拓展

試題再現(xiàn)

試題簡析

本題為考卷最后幾道壓軸題之一，屬于“函數(shù)與幾何”內容的綜合性考題，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圖形的翻折、不等式等內容，綜合性較強，對解題的思維要求較高，下面探究該考題的常規(guī)解法.

對于問題（1），要求k₂，n的值，需充分結合函數(shù)解析式和圖像的特征進行求解. 求k₂的值只需將反比例函數(shù)圖像上點A的坐標代入即可，于是可求得k₂=-2×4=-8. 而點B也在反比例函數(shù)的圖像上，所以必然滿足解析式y(tǒng)=-8/x，于是可求得B（-2，4），所以n的值為4.

對于問題（2），要求不等式k₁x+b<k²/x的解集，考慮到y(tǒng)₁=k₁x+b，y₂=k₂/x，因此此題實際是求x取何值時，y₁<y₂，表現(xiàn)在圖像上則是一次函數(shù)的圖像位于反比例函數(shù)圖像的下方. 結合圖像可知，分界點就是點A、點B和點O. 顯然，當xB<x<xO或x>xA時滿足條件，即不等式k₁x+b<k₂/x的解集為-2<x<0或x>4.

問題（3）要求△A′BC的面積，首先需要理解三角形的構建過程. 根據(jù)題干條件繪制圖像，由圖像翻折規(guī)律可知點A′的坐標為（4，2）. 求解時可以采用圖形割補的方式，分別過點B和點A′作x軸的垂線，垂足分別為點D和點E，如圖2. △A′BC可以看作梯形BDEA′的一部分，則S_△A′BC=S_{梯形BDEA′}-S_△BDC-S_△A′EC. 根據(jù)點B，C，A′的坐標可求出相應邊的長，代入面積公式即可求得△A′BC的面積為8.

解法探討

上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題的三個小問屬于該類問題的典型代表，求解過程也是從知識聯(lián)系性角度出發(fā)構建的解題思路. 其中問題（2）求不等式的解集，采用了分析函數(shù)圖像的方法;而問題（3）求一般三角形的面積則采用了常規(guī)的圖形割補方法，即通過梯形和三角形的面積拼湊，間接求得三角形的面積. 下面將對這兩問的解法進行拓展探究.

1. 函數(shù)圖像法的剖析

函數(shù)圖像法實際上是利用函數(shù)的單調性來進行函數(shù)值比較的一種方法. 如對于一次函數(shù)y=kx+b，當k>0時，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，若設函數(shù)與x軸交點的坐標為（x0，0），如圖3，則由圖像可知在點（x0，0）的左半部分，一次函數(shù)的圖像位于x軸下方;而在點（x0，0）的右半部分，一次函數(shù)的圖像位于x軸上方. 考慮到函數(shù)圖像的上下位置是由y值的大小決定的，因此可以根據(jù)圖像的位置關系來比較函數(shù)值的大小，此時對應的表格如表1.

如果將表1中函數(shù)值的大小關系看作一個不等式，則對應的區(qū)間就是不等式的解集，也就構成了函數(shù)法解不等式的基本原理. 進一步，將不等式中的y看作另一個函數(shù)，就可以通過分析兩個函數(shù)圖像的位置關系來求不等式的解集，這就是上述試題的解題思路. 下面通過分析兩個一次函數(shù)的圖像關系來進一步剖析圖像法的使用過程.

圖4是一次函數(shù)y1=k1x+b1與y2=k2 x+b2在同一直角坐標系中的圖像. 設兩圖像的交點為點（x0，y0），則在交點的左側，即x<x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2 x+b2圖像的上方，此時y1>y2始終成立;而在交點的右側，即x>x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2x+b2圖像的下方，此時y1<y2始終成立. 若替換其中的y1和y2，則可以描述為當x<x0時，k1x+b1>k2x+b2;當x>x0時，k1x+b1<k2 x+b2，從而完成不等式與x取值對應關系的構建. 因此，利用函數(shù)法求解不等式問題時，首先需要在同一直角坐標系中繪制出兩個函數(shù)的圖像，并結合函數(shù)表達式確定兩函數(shù)圖像的交點，然后參照圖像的交點坐標，根據(jù)圖像的上下關系進行分段，進而確定每一段內x的取值，如下面的例題.

2. 面積問題的解法拓展

“試題再現(xiàn)”中的問題（3）采用了面積割補法，對于該類問題，我們可以采用三角形面積的鉛垂線模型來直接求解. 如圖6，在△ABC中，分別過點A，B，C作與水平線垂直的三條線，設點B和點C之間的水平距離為a，則a就是△ABC的水平寬，h為頂點A作鉛垂線到底邊上的距離，視為三角形內部的鉛垂高，則△ABC的面積就等于水平寬a與鉛垂高h乘積的一半，即S△ABC=1/2ah.

解后反思

開展考題探究是一種重要的學習方式，通過對各地優(yōu)秀考題的命題形式和解題方法進行分析，不僅可以充分了解中考數(shù)學的命題方向，還可以學習其中的解題策略，提升解題能力. 下面圍繞上述試題進行進一步思考.

1. 關注方法的本質內容

中考壓軸題的解題方法一般具有代表性，是眾多知識內容的綜合，相對而言，在理解上存在一定的難度，但充分理解、靈活運用卻可以大大提高解題效率. 如上述所呈現(xiàn)的函數(shù)圖像法和求三角形面積的鉛垂線法，都是基于一定的性質、定理所構建的，對于特定的問題有良好的解題效果. 而在學習方法的同時，不應忽視對方法本質的探究，不應忽略方法的證明過程. 學習方法，不僅要學習使用過程，還要學習方法的本質內涵. 因此，學習解法時，首先應關注方法的證明，在此基礎上適當?shù)貙Ψ椒ㄟM行推廣、拓展，從而深刻理解方法并掌握方法.

2. 重視考題的解題拓展

開展中考壓軸題的解題探究，其中較為重要的一個環(huán)節(jié)是考題的多解剖析，即在常規(guī)解法的基礎上探究考題的另類解，通過另類解的探究分析來強化對考題的認識，促進解題思維的發(fā)展，從而將考題的價值最大化. 如上述求面積所使用的鉛垂線法，其依然以面積公式為基礎，但考慮到其模型構建的過程更為簡潔，因此具有極大的使用價值. 同時，對該方法進行適度拓展可以求解一類問題. 因此，在平時的解題學習中，需要重視考題的多解探究，注重總結考題的分析思路和解題方法，逐步提升解題思維，形成系統(tǒng)的分析策略.

寫在最后

函數(shù)綜合題是中考數(shù)學的重點考查題型之一，涉及眾多的函數(shù)知識，具有較多的聯(lián)系拓展點，雖然解題突破的難度較大，但掌握相應的分析思路和解題方法，卻可以快速地找到解題突破口. 需要注意的是，在學習過程中，應注重深化理解基礎知識和剖析解法本質，逐步將解題方法內化、吸收，從而從思想上提升解題能力.