嚴(yán)加審查 巧施妙法

陳學(xué)俊

基本不等式作為唯一一個(gè)用來重點(diǎn)研究的不等式，其重要性不言而喻，是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，更是求函數(shù)最值的一個(gè)重要工具.運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要嚴(yán)加審查基本不等式成立的三個(gè)條件：一正二定三相等.如若忽略了其中任何一個(gè)條件，都有可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.此外，在解題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)碰到不便于直接運(yùn)用基本不等式的情況，可以嘗試對(duì)題中式子進(jìn)行一些巧妙的轉(zhuǎn)化與變形.

一、化負(fù)為正

目標(biāo)式有著明顯的能運(yùn)用基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，但含未知數(shù)的項(xiàng)為負(fù)值，此時(shí)我們需要“化負(fù)為正”；而且一般是要求最大值，正好滿足添加負(fù)號(hào)后的基本不等式.

例1 f求（x）=1+lg_x+1/lg_x（0x、lg_xx<0，不滿足基本不等式使用時(shí)各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，因此不能直接運(yùn)用基本不等式，可以加上負(fù)號(hào)將其中的關(guān)鍵項(xiàng)變?yōu)檎?

解 因?yàn)镺xxx>o，-1/lg_x>0.

需要注意的是，添加負(fù)號(hào)時(shí)必須保持整體值的不變，不能盲目地追求正值；另外，由于添加了負(fù)號(hào)，實(shí)際上基本不等式只能求最大值，最小值需要另謀他法.

二、巧湊定值

審查完正負(fù)性，我們需要考慮“定”，也就是其“和”或“積”必須為定值.要不然就會(huì)從一個(gè)未定的量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)未定的量，成為毫無意義的操作.當(dāng)“和”或“積”不是定值時(shí)，我們可以將含未知數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行拼湊，湊出定值來，

例2 已知0

思路分析 易知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù).

解法1 因?yàn)閛0，

所以y=（1-2x）=1/2·2x·（1-2x）≤1/2·[（2x+（1-2x））/2]²=1/8， （利用了ab≤（（a+b）/2）² ）

當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x，即x=1/4時(shí)，取得等號(hào)，

所以當(dāng)x=1/4時(shí)，函數(shù)y取得最大值1/8.

解法2 因?yàn)閛0，

所以y=x（1-2x）=2x·（1/2-x）≤2·[（x+（1/2-x）/2）]²=1/8，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1/2-x，即x=1/4時(shí)，取得等號(hào).

所以當(dāng)x=1/4時(shí)，函數(shù)y取得最大值1/8，

例3 已知x>0，y>o，且1/x十4/y=1，求x+y的最小值，

解法1

解法2

三、遇分則離

1.配分了，離分式

對(duì)于分子次數(shù)比分母高的分式，可先對(duì)分子進(jìn)行配湊，使之出現(xiàn)與分母相同的項(xiàng)，然后分離得到可用基本不等式求解的結(jié)構(gòu).

例4 求y=（x²-2x+5）/（x-1） （x>1）的最小值.

思路分析可先將分子配湊出含有x-1的項(xiàng)，再將其分離.

2.除分了，離分母

對(duì)于分母次數(shù)比分子高的分式，可將分子、分母同除以分子，使分母出現(xiàn)可用基本不等式求解的結(jié)構(gòu).

例5 求y=x/（x²+9）（x>0）的值域.

思路分析 可先將分子、分母同時(shí)除以x，再將分母分離出來.

四、遇根平方

思路分析觀察式子的結(jié)構(gòu)，可以看到（x-1）+（4-x）=3是個(gè)定值，所以將式子平方后，便可構(gòu)造出可用基本不等式求解的結(jié)構(gòu).

以上幾種方法是運(yùn)用基本不等式解決最值問題的常用方法.無論是遇分則離，還是遇根平方等方法，其目的只有一個(gè)，那就是構(gòu)造出和為定值或者積為定值的兩項(xiàng)，然后才可用基本不等式.構(gòu)造出可用基本不等式的結(jié)構(gòu)，是解決此類最值問題的關(guān)鍵所在.