不等式

弓月

在大自然面前，“神馬”都是浮云，只有自然法則和刻畫自然法則的數(shù)學(xué)是永恒的.在數(shù)學(xué)里，相等是短暫的，是瞬間的綻放，不等才是永恒的.刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型不等式是數(shù)學(xué)中研究這種永恒的極具魅力的瑰寶，有人對(duì)它如癡如醉，流連忘返；有人對(duì)它心懷畏懼、望而卻步.無論是喜歡還是畏懼，如同相等一樣，不等在數(shù)學(xué)中無所不在，《必修5》中不等式一章，讓不等式終于有了一次集中展示的機(jī)會(huì).

在古代數(shù)學(xué)的研究中，人們對(duì)不等關(guān)系并未給予足夠重視，很少有人專門去研究它.不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個(gè)較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家.目前，對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個(gè)國家.在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上，有兩個(gè)具有分水嶺意義的作品，分別是1882年Chebycheff發(fā)表的論文與1928年Hardy任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席屆滿時(shí)的演講.自1934年起，不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場(chǎng)，成為一門新興的數(shù)學(xué)分支，從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的式子的綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論.

有許多不等式與人名結(jié)合在一起，如柯西不等式、貝努里不等式等，表明了它們是由一些外國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)或提出的.歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域也做出過重要貢獻(xiàn)，包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家，近年我國有許多數(shù)學(xué)工作者活躍在國際數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用領(lǐng)域，他們?cè)谙嚓P(guān)方面做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)，引起國內(nèi)外同行的重視.

由于不等式研究的是不等關(guān)系，所以同學(xué)們常覺得它抽象、不可捉摸，覺得難學(xué)，在解決問題時(shí)更是無章可循，其實(shí)，對(duì)不等關(guān)系的研究不能與相等割裂開來，不等與相等是對(duì)立的統(tǒng)一，可以通過相等來把握不等.結(jié)合到具體的數(shù)學(xué)模型上，也就是通過函數(shù)與方程來了解不等式.這樣，就可以用熟悉的函數(shù)來統(tǒng)領(lǐng)不等式，使之有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的附著點(diǎn).

當(dāng)然，事物間的關(guān)系是相對(duì)的，雖然我們之前深入研究了許多相等關(guān)系，因而習(xí)慣于通過相等來看不等，但在有些情況下也可反過來，透過不等關(guān)系來認(rèn)識(shí)了解相等關(guān)系.想一想必修1中用二分法求方程的近似解，不就是這么做的嗎？當(dāng)然，在我們較多地掌握不等式的知識(shí)后，這樣的運(yùn)用可能會(huì)更多.

從哲學(xué)的角度看，不等關(guān)系反映了對(duì)“度”的刻畫.度是事物保持其質(zhì)的量的界限、幅度和范圍，關(guān)鍵點(diǎn)是度的兩端，是一定的質(zhì)所能容納的量的活動(dòng)范圍的最高界限和最低界限.度是關(guān)鍵點(diǎn)范圍內(nèi)的幅度，在這個(gè)范圍內(nèi)，事物的質(zhì)保持不變；突破關(guān)鍵點(diǎn)，事物的質(zhì)就要發(fā)生變化.這正是上面所說的不等與相等間的統(tǒng)一與相互轉(zhuǎn)化.

跳出具體不等式的框框看不等式，可能會(huì)對(duì)不等式有更新的認(rèn)識(shí).endprint