由一道題引發(fā)的思考

鐘琴

有次考試出現(xiàn)這樣一道題：

已知關(guān)于x的一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R，設(shè)k=（a-b+c）/（a+b），則k的取值范圍

.

一眼看上去，題目很短，有5個字母，由條件可得a≥0，b²-4ac≤0.

目標是求k的范圍，而題目中并未提供其他信息，很棘手啊，我心中暗暗想到.義不禁細細思考起來，為什么題目不直接問（a-b+c）/（a+b）的范圍而義加入字母k呢？一定暗藏玄機！于是傻乎乎的我就把k=（a-b+c）/（a+b）看作一個等式了.兩邊同乘a+b，得k（a+b）=a-b+c.又要求k的范圍，所以將k看作是一個變量，所以（k-1）a+（k+l）b-c=0.

接下來呢？我看看條件，將目光瞄準b²-4ac≤O上，于是b=（（c-（k-1）a）/（k+1） 所以（（c-（k-1）a）/（k+1））²≤4ac. 所以（k-1）a²2（k-1）ac+C²≤4（k+l）²ac，.

所以（k-1）a²-（4k²+lOk）ac+C²<0.

望著條件中的a≥0，我頓時失去了解題的希望，還是換個方法吧，

其實很容易發(fā)現(xiàn)k=（a-b+c）/（a+b）中，c處于特殊的地位，換句話說，得消.考慮到a+b符號未知，此題可分情況討論.好吧，我承認，我早該承認，這道題不可能通過簡單的運算得到的.

因為a≥O，b²-4ac≤o，所以c≥b/4a².

由題知a+b≠0.

①若a+b>0，k≥（4a²-4ab+b²）/（4a²+4ab）=（2a-b）²/4a（a+b）

關(guān)于這個式子，接下去怎么化，我也思考了許久.通分？k≥（2a-b）²/4a（a+b）似乎并不可行.難道就這樣放棄嗎？正當我感到絕望時，忽然“柳暗花明又一村”k≥（a-b+b²/4a）/（a+b）=（1-b/a+b/4a²）/（1+b/a）

哈哈，這下可算出來了.設(shè)l+b/a=t，則t=（a+b）/a>o.

所以f（t）=1/4（t+9/t-6）≥1/4（t-6）=0.

所以此時k≥0.

②若a+b<0，k≥（1-b/a+b/4a²）/（1+b/a），設(shè)l+b/a

l+b

“=t（t

所以f（t）=1/4（t+9/t-6）≤1/4（-6-6）=-3，所以此時k≤-3.

綜上，（-∞，-3]U[O，+∞）.

但我并沒有就此住手，義對此題進行了反思，難道就沒有什么更簡單的解法了嗎？由k我義想起了斜率，可這道題斜率在哪呢？我該怎樣把它挖出來呢？由b²-4ac≤0，k=（a-b+c）/（a+b），我又發(fā)現(xiàn)了字母6也具有一定的特殊性，62≤4ac.我忽然義突發(fā)奇想，若6≠0，那么a/b·c/b≥1/4，k也可化成k=（a/b-1+c/b）/（a/b+1），靈感來啦！

解法2：①若b=0，k=（a+c）/a=1+c/a為4a（≥62，所以ac≥0.所以此時k≥1.

②若b≠0，則a/b·c/b≥1/4.

令a/b=x，c/b=y，

所以xy≥1/4.

k=（x-1+y）/（x+1）=1+（y-2）/（x+1）

令（y-2）/（x+1）=k'，（原來斜率藏在這兒）

由線性規(guī)劃知識可聯(lián)立方程組：

y-2=k'（x+1），

xy=1/4，

所以[k'（x+1）+2]x=1/4，

所以4x（k'x+k'+2）=1，

所以4k'x²+4x（k'+2）-1=0.

△=16（k'+2）²+16k'.

令△=O得，k'2+5k'+4=0，

解得k'=-1或-4.

畫圖知k'∈（∞，-4lU[-1，+∞），

所以k∈（-∞，-3]U[0，+∞）.

綜上：k∈（-∞，-3]U[O，+∞）.

好吧，第二種解法其實也并不怎么簡單.

通過這道題，我得到幾點體會：不要畏苦怕難，要樹立解題信心，既然老師出了這道題，就能做，也一定可以做出答案，不要半途而廢，往往快要接近黎明時是最黑暗的，光明就在前方.要發(fā)散思維，不把思維局限在某一塊領(lǐng)域，一道題目可能是四五個知識點的融合.善于分情況討論養(yǎng)成全面思考的好習(xí)慣，要善于觀察條件及式子的特點，有針對性地解題，用巧妙的方法解復(fù)雜的題.