淺述費(fèi)馬引理和羅爾定理

文/佛山市順德區(qū)第一中學(xué) 魏競(jìng)彤

一、引言

高中數(shù)學(xué)里面在講到函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性、極值問(wèn)題時(shí)，常用到導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即：f′(x)＝0時(shí)，x的取值。我們知道假設(shè)這個(gè)取值為x＝x0時(shí)，那么，如果在 x0附近的左側(cè) f ′(x)＞0，右側(cè) f ′(x)＜0，那么f(x0)是極大值。如果在 x0附近的左側(cè) f ′(x)＜0，右側(cè) f ′(x)＞0，那么 f(x0) 是極小值。

二、由極值點(diǎn)到費(fèi)馬引理

在費(fèi)馬引理中：函數(shù)f(x)在點(diǎn)ξ的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，并且在ξ處可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的x∈U（ξ)， 都 有 f(x)≤f(ξ)(或 f(x)≥f(ξ))，那么 f′（ξ）＝0。

也就是：函數(shù)在某點(diǎn)周?chē)母浇鼉?nèi)有定義，而且在這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，那么在這個(gè)點(diǎn)周?chē)浇?，如果任何?shù)的函數(shù)值比這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值都大或者都小，那么這個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。為什么呢？

假如這個(gè)點(diǎn)周?chē)浇狞c(diǎn)的函數(shù)值都比這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值大或者小，這個(gè)周?chē)皇且粋€(gè)方向，它是n多個(gè)方向，那么這個(gè)點(diǎn)就是最值點(diǎn)，而我們知道最值點(diǎn)也就是極值點(diǎn)，除非它是無(wú)定義點(diǎn)，那我們條件中已表明它是有定義的，所以這個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn)，即這個(gè)點(diǎn)的這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這一點(diǎn)為零也就是費(fèi)馬引理中的 f′（ξ）＝0。

三、由函數(shù)單調(diào)性以及極值點(diǎn)到羅爾定理

在羅爾定理中：如果函數(shù)f(x)滿(mǎn)足以下條件:

（1）在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，

（2）在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)＝f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a，b)， 使得 f′(ξ)＝0。

這個(gè)定理叫做羅爾定理。

函數(shù)在閉區(qū)間 [a，b]上是連續(xù)的，且在 (a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足f(a)＝f(b)，那么我們分情況討論：

這種情況下：函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，且在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)＝f(b)，顯然它是存在極值點(diǎn)的，因?yàn)镃、D倆點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)， f′(xc)＝f′(xD)＝0， 所以 C、D就是那個(gè)存在的 ξ∈(a，b)，使得 f′(ξ)＝0。

這種情況下:函數(shù)在任意閉區(qū)間上都是連續(xù)的，且在任意開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(a)＝f(-a)，顯然它是存在極值點(diǎn)的，因?yàn)樵c(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以 f′(0)＝0，所以原點(diǎn)就是那個(gè)存在的 ξ∈(-a，a)， 使得 f′(ξ)＝0。

這種情況下：函數(shù)在任意區(qū)間是連續(xù)的，在任意區(qū)間也可導(dǎo)，也存f(a)＝f(b)，但是它是一個(gè)常函數(shù)，任意點(diǎn)的的導(dǎo)數(shù)都為零，所以任意點(diǎn)都是那個(gè)存在的ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0。

這種情況下：函數(shù)在原點(diǎn)不是連續(xù)的，在原點(diǎn)也不可導(dǎo)，那么它的極值點(diǎn)在原點(diǎn)無(wú)法討論。那么我們把它分成倆只曲線：對(duì)于左邊（-∞， 0）討論， 不存在 f(a)＝f(b)， 所以不滿(mǎn)足羅爾定理的條件。同理可得，右邊 （0，+∞），也不存在f(a)＝f(b)，所以也不滿(mǎn)足羅爾定理的條件。我們可以從圖像中看出，除了0點(diǎn)，沒(méi)有極值點(diǎn)，但是0點(diǎn)不可導(dǎo)，所以不存在任何一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)＝0。

這種情況下：函數(shù)在任意區(qū)間是連續(xù)的，在任意區(qū)間也可導(dǎo)，但是不存在f(a)＝f(b)，所以不滿(mǎn)足羅爾定理的條件。這是一次函數(shù)，我們可以知道，一次好書(shū)的導(dǎo)數(shù)為一個(gè)非零常數(shù)，它沒(méi)有極值點(diǎn)，所以在任何一點(diǎn)，它的導(dǎo)數(shù)都不為零，所以也就不存在任何一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)＝0。

其實(shí)我們可以從羅爾定理的條件出發(fā)，一個(gè)函數(shù)若滿(mǎn)足f(a)＝f(b)，且閉區(qū)間 [a，b]上是連續(xù)的，在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么這個(gè)函數(shù)只有倆種情況：一種是有起伏的，存在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且函數(shù)在這個(gè)遞增遞減變化的區(qū)間內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，那么這個(gè)變化的瞬間也就是極值點(diǎn)，這一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，也就是 f′(ξ)＝0。 也就是說(shuō)它是符合羅爾定理的，那么這個(gè)ξ有多少個(gè)呢？沒(méi)有確定值，根據(jù)函數(shù)不同，ξ的個(gè)數(shù)也不同。還有一種情況是沒(méi)有起伏，也就是任何點(diǎn)的函數(shù)值都相等，也就是所謂的常函數(shù)了，如上第三種情況，它也是符合羅爾定理的。

四、 由費(fèi)馬引理到羅爾定理

在第三點(diǎn)由函數(shù)單調(diào)性以及極值點(diǎn)到羅爾定理中，我們對(duì)羅爾定理的推導(dǎo)是依靠函數(shù)圖像來(lái)推導(dǎo)的，有一定的不嚴(yán)謹(jǐn)性，那我們以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▉?lái)推導(dǎo)，我們從費(fèi)馬引理來(lái)推導(dǎo)羅爾定理。

證：由于 f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，而閉區(qū)間內(nèi)，連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值定理 （不管是函數(shù)值變化的函數(shù)還是函數(shù)值不變的函數(shù)，都有最大值和最小值。注：常函數(shù)最大值最小值就是這個(gè)常數(shù)）。也就是說(shuō)f(x)在閉區(qū)同 [a，b]上必定取得它的最大值M和最小值m，這樣，只有兩種可能情形:

（1） M＝m。 這時(shí) f(x)在區(qū)間[a，b] 上必然取相同的數(shù)值 M＝f(x)＝m。 由此， ?x∈(a，b)， 有 f′(ξ)＝0。因此， 任取 ξ∈(a，b)， 都有 f ′(ξ)＝0。這種情況即為常函數(shù)圖像，如下圖：

(2)M＞m， 因?yàn)?f(a)＝f(b)， 所以M和m這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不等于f(x)在區(qū)間 [a，b]端點(diǎn)處的函數(shù)值，為確定起見(jiàn)，不妨設(shè)M≠f(a)≠f(b)， 那么必定在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)有一點(diǎn) ξ， 使 f(ξ)＝M， 因此， ?x∈[a，b]， 有 f(x)≤f(ξ)， 滿(mǎn) 足 費(fèi) 馬 引 理的條件，從而由費(fèi)馬引理可知f′(ξ)＝0。 假如 m≠f(a)≠f(b)， 那么必定在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)有一點(diǎn) ξ，使 f(ξ)＝m， 因此，?x∈[a，b]， f(x)≥f(ξ)，滿(mǎn)足費(fèi)馬引理的條件，從而由費(fèi)馬引理可知 f ′(ξ)＝0。 例如； 下圖圖中，在圖像所示區(qū)間內(nèi)M＝4，m＝-4； 存在點(diǎn) ξ1， 使 f(ξ1)＝m＝-4≤f(x)，存在點(diǎn) ξ2， 使 f(ξ2)＝M＝4≥f(x)， 那么 f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0。

所以，我們可以推導(dǎo)：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)＝f(b)，則至少存在一個(gè) ξ∈(a，b)， 使得 f′(ξ)＝0。