小學(xué)數(shù)學(xué)的“萬(wàn)能模型”
——數(shù)射線

上海市浦東新區(qū)福山外國(guó)語(yǔ)小學(xué)（證大校區(qū)）鄔小燕

數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具。它能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明。數(shù)與運(yùn)算是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基石，離開(kāi)這些，數(shù)學(xué)活動(dòng)便成了空穴來(lái)風(fēng)，無(wú)本之木。在滬教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從一年級(jí)的第一學(xué)期到五年級(jí)的第二學(xué)期，每一年都或多或少地出現(xiàn)在“數(shù)與運(yùn)算”的版塊中，那就是“數(shù)射線”。

“數(shù)射線”的第一次出現(xiàn)，是在一年級(jí)的第一學(xué)期的第一單元“10以內(nèi)的數(shù)”。我們知道，“數(shù)軸”可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)的概念，同時(shí)也呈現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，還可以幫助學(xué)生掌握加、減運(yùn)算等。但是“數(shù)軸”包含負(fù)數(shù)，不適合一年級(jí)的小學(xué)生。為此教材中引入了“數(shù)軸”的正半軸，形象地稱之為“數(shù)射線”，既達(dá)成了上述目的，又能為一年級(jí)小學(xué)生所掌握。呈現(xiàn)數(shù)射線，邊畫邊引導(dǎo)學(xué)生觀察出它的特點(diǎn)，揭示出三要素“原點(diǎn)（起點(diǎn)）、方向、單位長(zhǎng)度”。

二年級(jí)第一學(xué)期的乘法，是數(shù)射線帶給我們的另一個(gè)驚喜——乘法及一個(gè)數(shù)分拆為乘與加。乘法教學(xué)使用數(shù)射線的活動(dòng)：幾格一跳。跳一次、標(biāo)一個(gè)數(shù)，以游戲形式直觀地為學(xué)生們提供了一個(gè)探究、認(rèn)知、整理的舞臺(tái)。乘法口訣不再以直接告知的方式教給學(xué)生，而是通過(guò)學(xué)生們探究認(rèn)知、多次實(shí)踐操作，通過(guò)推理計(jì)算，然后總結(jié)出來(lái)的。在乘加教學(xué)時(shí)，將9條數(shù)射線同時(shí)展示，這九條數(shù)射線分別遮到21，學(xué)生們清楚地看到，在每一條數(shù)射線上，分別是幾段多幾格。

二年級(jí)第二學(xué)期，則是從百以內(nèi)將定位、定序、鄰數(shù)、大小比較等知識(shí)遷移到千以內(nèi)的數(shù)射線上，并寫出用字母表示的數(shù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，往往通過(guò)數(shù)射線能將抽象的數(shù)與具體直觀的圖形建立起聯(lián)系，幫助學(xué)生積累感性經(jīng)驗(yàn)，從而有利于學(xué)生對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。

三年級(jí)時(shí)數(shù)射線的出現(xiàn)在兩個(gè)我們意想不到的知識(shí)點(diǎn)上，一個(gè)是“千米的認(rèn)識(shí)”。另一個(gè)是“速度、時(shí)間、路程”?！八俣取边@個(gè)概念比較抽象，它雖然存在于生活中，但是看不見(jiàn)、摸不著，無(wú)法借助實(shí)體來(lái)表征，而且不易掌握量感。讓學(xué)生借助數(shù)字來(lái)間接比較物體運(yùn)動(dòng)快慢的過(guò)程，體會(huì)“速度”概念的必要性。熟悉速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系。

到了四年級(jí)，數(shù)射線在數(shù)概念中的作用已經(jīng)非常顯而易見(jiàn)了，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)上，最后一個(gè)單元數(shù)學(xué)廣場(chǎng)中“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”。這是小學(xué)階段關(guān)于分?jǐn)?shù)概念的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)?？紤]到分?jǐn)?shù)這一概念的小學(xué)初中的銜接問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較和分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算中已經(jīng)積累了不少經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，利用“分?jǐn)?shù)墻”與“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”在形式上的相似性，讓學(xué)生在進(jìn)一步復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的大小比較和加減計(jì)算的同時(shí)，體會(huì)分?jǐn)?shù)不僅僅是一個(gè)操作過(guò)程，同時(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，是一個(gè)像自然數(shù)那樣可以表示在數(shù)射線上的數(shù)，從逐步實(shí)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)”概念從“過(guò)程”到“對(duì)象”的轉(zhuǎn)變，為學(xué)生到初中學(xué)習(xí)“兩數(shù)相除所得的商”的分?jǐn)?shù)定義做準(zhǔn)備。由于把分?jǐn)?shù)表示在數(shù)射線上與第三單元中的“分?jǐn)?shù)墻”在形式上非常類似，因此可以作為系統(tǒng)復(fù)習(xí)“分?jǐn)?shù)的大小比較”（同分母或同分子和“分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算”（同分母）知識(shí)的模型，同時(shí)，在“分?jǐn)?shù)墻”的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的抽象和提高。

四年級(jí)第二學(xué)期的小數(shù)版塊，數(shù)射線出現(xiàn)得十分頻繁。

從數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)引入小數(shù)概念可以看出，小數(shù)實(shí)質(zhì)上是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示形式，其依據(jù)是十進(jìn)制位值原理。在數(shù)射線上標(biāo)出0.3和0.30，發(fā)現(xiàn)是同一個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)數(shù)是相等的。由于小數(shù)單位的不同，利用數(shù)射線的兩點(diǎn)間可以無(wú)限等分的特點(diǎn)，直觀地看出在數(shù)射線上同一個(gè)點(diǎn)可以用不同的小數(shù)表示，從而印證了小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)部分的末尾添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變。

橫軸和縱軸的概念在統(tǒng)計(jì)圖的教學(xué)中正式接觸。兩條數(shù)射線，組成橫軸和縱軸。橫軸上通常是依時(shí)間或次序的先后排列，縱軸上表示的是統(tǒng)計(jì)的量。學(xué)生在一年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)序數(shù)的概念，知道可以使用一個(gè)序數(shù)表示在一條直線上人或物體的位置，從一年級(jí)開(kāi)始學(xué)生就接觸、使用數(shù)射線，已經(jīng)建立了數(shù)（自然數(shù)）與數(shù)射線上的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在二年級(jí)第二學(xué)期，通過(guò)“東西南北”也為直角坐標(biāo)系做了一些鋪墊?！拔恢玫谋硎痉椒ā崩糜腥さ那榫?，滲透直角坐標(biāo)系的初步概念，使學(xué)生知道僅用一個(gè)數(shù)不能確切地描述物體在平面中的位置，而使用有序整數(shù)對(duì)（a,b）可以表示物體在平面中的位置。

五年級(jí)第一學(xué)期學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)是學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識(shí)的起點(diǎn)，也是代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)小學(xué)生而言，從具體事物的個(gè)數(shù)抽象成數(shù)是認(rèn)識(shí)數(shù)的必要過(guò)程，現(xiàn)在由具體的、確定的數(shù)過(guò)渡到用字母表示抽象的、可變的數(shù)，更是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍。學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以用字母表示數(shù)射線上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的特定的數(shù)。

五年級(jí)第二學(xué)期，在數(shù)軸上認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)。經(jīng)歷將數(shù)射線反向延長(zhǎng)得到數(shù)軸的過(guò)程，學(xué)習(xí)數(shù)軸的畫法，并通過(guò)將正負(fù)數(shù)表示在數(shù)軸上進(jìn)一步體會(huì)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)軸之前，已初步接觸到數(shù)射線原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的有關(guān)概念，從數(shù)射線出發(fā)，利用“比0大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負(fù)數(shù)”的相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考，只要將數(shù)射線從零點(diǎn)出發(fā)，反向延長(zhǎng)，就能形成一條“直線”，而這樣的直線就是“數(shù)軸”。所有的正負(fù)數(shù)都能在數(shù)軸上找到自己的位置；同時(shí)，數(shù)軸上的點(diǎn)都能表示一個(gè)數(shù)。有了數(shù)軸這一工具，可以方便地進(jìn)行正負(fù)數(shù)的大小比較。

數(shù)學(xué)是一門抽象性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。學(xué)生抽象思維的形成是建立在大量形象思維的基礎(chǔ)之上的。數(shù)射線雖然在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)階段只是擔(dān)任著一個(gè)數(shù)學(xué)模型的角色，但是它的作用確實(shí)不可估量的。數(shù)射線的直觀性優(yōu)勢(shì)是將數(shù)與運(yùn)算的知識(shí)從形象思維過(guò)渡到抽象思維的一個(gè)載體，使學(xué)生的認(rèn)知從從感性的具體進(jìn)入抽象的規(guī)定，從而形成數(shù)的概念。用好這個(gè)數(shù)學(xué)模型，在日積月累中養(yǎng)成并完善學(xué)生理性思維的建構(gòu)，這是一個(gè)長(zhǎng)期的內(nèi)化過(guò)程，不是一朝一夕能夠完成的，需要我們做出不懈的努力。