基于Chebyshev區(qū)間方法的動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)穩(wěn)健性優(yōu)化

陳 劍 李士愛(ài) 劉 策 鄧支強(qiáng) 舒宏超

合肥工業(yè)大學(xué)噪聲振動(dòng)研究所，合肥,230009

0 引言

動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)是汽車振動(dòng)系統(tǒng)中一個(gè)重要子系統(tǒng)，起著支撐部件和隔離振動(dòng)的作用。懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣對(duì)整車的NVH(noise，vibration，harshness)性能有重大影響，對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)可有效地降低汽車的振動(dòng)噪聲，因此，動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)整車的NVH性能極為重要。而動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本任務(wù)就是進(jìn)行動(dòng)力總成剛體振動(dòng)模態(tài)的頻率配置和解耦布置[1-3]。

傳統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)只是假定懸置系統(tǒng)參數(shù)為確定值而進(jìn)行的確定性研究[1-3]，然而在懸置系統(tǒng)各零部件的制造、安裝及其系統(tǒng)的使用過(guò)程中，各懸置元件的剛度、位置、角度等影響整車振動(dòng)的關(guān)鍵性參數(shù)會(huì)不可避免地出現(xiàn)一定程度的偏差或波動(dòng)，故傳統(tǒng)方式可能會(huì)導(dǎo)致不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)。目前常用的研究非確定性問(wèn)題的方法有概率方法(隨機(jī)方法)、模糊方法和區(qū)間分析方法等。沈忠亮[4]將懸置剛度、安裝位置和角度等參數(shù)作為正態(tài)隨機(jī)變量，對(duì)懸置系統(tǒng)的解耦率應(yīng)用多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。吳杰等[5-6]采用區(qū)間數(shù)對(duì)懸置元件剛度參數(shù)變化的不確定性進(jìn)行描述，提出了改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾椒ǎ?duì)懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率變化范圍進(jìn)行了計(jì)算。相比較而言，獲得不確定參數(shù)的變化范圍通常比得到不確定參數(shù)真實(shí)的統(tǒng)計(jì)特性和模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)容易，邱志平等[7-8]通過(guò)實(shí)例對(duì)區(qū)間分析方法和概率方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明區(qū)間分析方法結(jié)果有效且包括更多的可能解。

本文應(yīng)用基于區(qū)間數(shù)學(xué)和Chebyshev理論建立的區(qū)間分析方法，分別計(jì)算動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率隨懸置剛度波動(dòng)的變化范圍，并利用區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法對(duì)系統(tǒng)的解耦率和頻率進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化分析。

1 基本理論

1.1 Chebyshev區(qū)間分析方法

區(qū)間分析方法有廣泛的工程實(shí)際背景。Chebyshev區(qū)間方法是由吳景錸等[9-10]提出的。k階一維Chebyshev級(jí)數(shù)在x∈[a,b]內(nèi)用Ck(x)表示，其關(guān)系表達(dá)式如下：

Ck(x)=coskθ

(1)

當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，Chebyshev級(jí)數(shù)存在以下的遞推關(guān)系：

(2)

正交性是Chebyshev級(jí)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，即對(duì)于k階Chebyshev級(jí)數(shù)Ck(x)和p階Chebyshev級(jí)數(shù)Cp(x)，有

(3)

設(shè)存在函數(shù)f(x)∈C[a,b]，則它可用一個(gè)基于Chebyshev級(jí)數(shù)Ci(x)的k階多項(xiàng)式pk(x)來(lái)近似的表示，即有

(4)

式中，f0、fi均為常系數(shù)。

這是將原函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式，利用區(qū)間算法計(jì)算各項(xiàng)的值，再進(jìn)行求和計(jì)算原函數(shù)的擴(kuò)張區(qū)間。因此可將式(4)中的變量x替換為區(qū)間變量[x]，則區(qū)間函數(shù)[fCn]([x])為

(5)

由于[θ]=[0,π]，對(duì)于k>0的Chebyshev級(jí)數(shù)恒有Ck([x])=[cos](k[θ])=[-1,1]，因此式(4)可進(jìn)一步變換為

(6)

只要計(jì)算表達(dá)式中的系數(shù)函數(shù)fi，就可以得到函數(shù)的區(qū)間。根據(jù)Chebyshev區(qū)間方法的正交性和Gaussie-Chebyshev求積分公式可推導(dǎo)出下式：

(7)

式中，xj為插值點(diǎn)。

xj=cosθj

將一維問(wèn)題延伸至多維問(wèn)題。n維Chebyshev多項(xiàng)式對(duì)x∈[-1,1]n定義為每一維Chebyshev多項(xiàng)式的張量積：

Ck1,k2,…,kn(x1,x2,…,xn)=cosk1θ1cosk2θ2…cosknθn

(8)

其中，θi=arccosxi∈[0,π]。則

(9)

考慮式(6)，則k階Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)為

(10)

其中，l等于n維Chebyshev級(jí)數(shù)Ci1,…,ik(x)的下標(biāo)中包含0的個(gè)數(shù)，例如，C0,0(x)對(duì)應(yīng)的l=2,而C2,1(x)對(duì)應(yīng)的l=0等。

1.2 誤差分析

Chebyshev區(qū)間方法的誤差來(lái)源主要有[10]：

(1)在區(qū)間運(yùn)算過(guò)程中，由于區(qū)間算法規(guī)則本身具有包裹效應(yīng)易發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，使得計(jì)算的參數(shù)區(qū)間大于真實(shí)區(qū)間。

(2)近似為多項(xiàng)式時(shí)的截?cái)嗾`差。如果函數(shù)f(x)具有k+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則近似的截?cái)嗾`差為

(11)

由式(11)可知，k越大，截?cái)嗾`差越小，因此k足夠大時(shí)，該誤差可忽略。

(3)計(jì)算系數(shù)時(shí)的數(shù)值積分誤差。積分公式的誤差可表示為

(12)

式中，ξ為[-1,1]的任意數(shù)。

則當(dāng)插值積分公式中的最髙階次p足夠大時(shí)，該積分誤差即可忽略。由于求插值點(diǎn)數(shù)量不能少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，故參數(shù)p取值不應(yīng)小于k+1。當(dāng)k較大時(shí)，截?cái)嗾`差和數(shù)值積分誤差都較小，且該誤差的大部分影響會(huì)湮沒(méi)在低階項(xiàng)部分中，因此它對(duì)計(jì)算精度的影響基本可忽略。

而Chebyshev級(jí)數(shù)在區(qū)間算法中采用了三角函數(shù)表達(dá)式[10]，能更有效地控制區(qū)間算法的包裹效應(yīng)，從而更接近于實(shí)際的上下界限。

1.3 頻率和解耦率的Chebyshev區(qū)間分析方法

應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法對(duì)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率和解耦率隨懸置參數(shù)波動(dòng)的區(qū)間范圍的求解過(guò)程如圖1所示。

圖1 Chebyshey區(qū)間分析方法流程圖Fig.1 Flow chart of Chebyshey interval analysis method

2 固有頻率和解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型

整車對(duì)動(dòng)力總成系統(tǒng)安裝位置的限制較為嚴(yán)格，尤其對(duì)于改進(jìn)車輛，一般不改變各懸置的安裝位置坐標(biāo)和安裝角度，因此常選擇懸置剛度作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。為了獲得更為穩(wěn)健的懸置系統(tǒng)的固有頻率和解耦率，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)綜合考慮各種不確定因素導(dǎo)致關(guān)鍵參數(shù)的變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。為此提出區(qū)間優(yōu)化方法，考慮最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[12]。

傳統(tǒng)優(yōu)化模型只考慮獲得盡量高的解耦率，區(qū)間優(yōu)化模型還需要使解耦率變化區(qū)間隨剛度參數(shù)波動(dòng)變化半徑最小，從而保證各解耦率的穩(wěn)健性。

懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型為

(13)

區(qū)間優(yōu)化采用遺傳算法[13]對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化模型進(jìn)行全局優(yōu)化計(jì)算，以區(qū)間優(yōu)化模型為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，以懸置各剛度值為設(shè)計(jì)變量，尋優(yōu)計(jì)算得到穩(wěn)健可靠的優(yōu)化解。

3 算例

根據(jù)某型待改進(jìn)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)具體情況，同時(shí)考慮動(dòng)力總成剛體模態(tài)固有頻率遠(yuǎn)低于其彈性模態(tài)固有頻率，可將動(dòng)力總成作為剛體考慮。因此可將發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：通過(guò)若干個(gè)三維黏-彈性懸置元件支承于車架上的具有6個(gè)自由度的模型。算例為四點(diǎn)平置式懸置，其布置如圖2所示。動(dòng)力總成的坐標(biāo)系原點(diǎn)選在總成質(zhì)心處，X軸平行于曲軸中心線，指向發(fā)動(dòng)機(jī)前端，Z軸平行于氣缸中心線，指向發(fā)動(dòng)機(jī)缸蓋，Y軸按正交坐標(biāo)系的右手定則確定，懸置元件的三向剛度軸(u、v、w)分別與參考坐標(biāo)系軸(X軸、Y軸、Z軸)平行。

圖2 動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的六自由度模型Fig.2 The six degrees of freedom of the powertrain mounting system

表1和表2給出了動(dòng)力總成系統(tǒng)的總質(zhì)量m、質(zhì)心坐標(biāo)(x0,y0,z0)以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。表3所示為懸置元件的初始靜剛度，一般為經(jīng)驗(yàn)值。

表1 動(dòng)力總成質(zhì)量和質(zhì)心位置坐標(biāo)

表2 動(dòng)力總成系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積

表3 懸置元件主軸方向初始靜剛度

優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和振動(dòng)解耦率計(jì)算結(jié)果如表4所示。由表4可以看出，各階固有頻率分布較合理，振動(dòng)解耦率除x、z方向較理想外，其他方向振動(dòng)耦合較嚴(yán)重，有待優(yōu)化。

為減小計(jì)算量，選擇其中靈敏度大的重要參數(shù)作為設(shè)計(jì)參數(shù)，可以用二階響應(yīng)面分析法或者最小二乘擬合法得到設(shè)計(jì)參數(shù)的精確表達(dá)式。

基于正交實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行懸置剛度靈敏度分析，左前懸置u向剛度和右后懸置u、w向剛度對(duì)懸置系統(tǒng)的垂向和側(cè)傾方向解耦率都比較敏感，是系統(tǒng)解耦度設(shè)計(jì)指標(biāo)的敏感因素，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)著重考慮，即將該3個(gè)不確定因素作為設(shè)計(jì)參數(shù)。表5所示為按照流程圖中公式計(jì)算3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的插值點(diǎn)。

表4 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和能量解耦率

表5 Chebyshev插值點(diǎn)

為了避開(kāi)該車其他部分的固有頻率和其他激振引起的共振，取懸置系統(tǒng)6個(gè)固有頻率的約束界限分別為5～18 Hz，9～16 Hz，5～18 Hz，6～15 Hz，10～18 Hz，10～18 Hz。

用Chebyshev區(qū)間分析方法和文獻(xiàn)[5]中改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾治龇椒ǚ謩e計(jì)算優(yōu)化前固有頻率和解耦率區(qū)間變動(dòng)量，圖3為部分模態(tài)方向解耦率區(qū)間的對(duì)比結(jié)果圖。由圖3可以看出，Chebyshev區(qū)間分析方法獲得的區(qū)間結(jié)果包裹性明顯更強(qiáng)，精度更高。圖3同樣說(shuō)明了優(yōu)化前系統(tǒng)的解耦率較小，且區(qū)間半徑較大，表明該懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性較差，需對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，即進(jìn)行懸置剛度的優(yōu)化匹配。

圖3 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)部分解耦率的區(qū)間分析結(jié)果Fig.3 A part of the result of interval analysis of the decoupling ratio of the powertrain mounting system before the optimization

表6所示為優(yōu)化后當(dāng)確定性優(yōu)化最優(yōu)剛度值和Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值發(fā)生波動(dòng)時(shí)懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率的變化區(qū)間。

表6 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率的變化區(qū)間

由表6可以看出，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法較大程度地提高了懸置系統(tǒng)的解耦率，在z和θx方向尤為明顯。

由于在Chebyshev區(qū)間優(yōu)化模型中考慮了解耦率的穩(wěn)健性要求，所以不可避免地導(dǎo)致部分解耦率比確定性優(yōu)化稍低。但Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法的各階固有頻率區(qū)間范圍更小，分配更合理，且Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法固有頻率的下限值更高、上限值更低，從而可以提高各頻率約束條件的區(qū)間概率度，即穩(wěn)健性。

表7給出了在確定性優(yōu)化和Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處，文獻(xiàn)[11]中所述的懸置系統(tǒng)頻率約束條件的左右區(qū)間概率度。由表7可以看出，最優(yōu)剛度值波動(dòng)時(shí)，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的左右區(qū)間概率度均大于或等于確定性優(yōu)化，且穩(wěn)健性較確定性優(yōu)化有較大幅度提高，在y方向尤為明顯。

振動(dòng)傳遞率能夠較好地反映動(dòng)力總成通過(guò)懸置傳遞給車身的振動(dòng)量的大小，振動(dòng)傳遞量大說(shuō)明隔振效果差，反之則好。對(duì)優(yōu)化前后的懸置系統(tǒng)，利用ADAMS軟件可進(jìn)行較為真實(shí)的振動(dòng)仿真，從而實(shí)現(xiàn)分析比較。圖4、圖5所示分別為動(dòng)力總成在怠速時(shí)，優(yōu)化前后的懸置系統(tǒng)垂向和側(cè)傾方向的振動(dòng)傳遞率。

表7 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)頻率約束的區(qū)間概率度Tab.7 The interval probability of the frequency constraint of the powertrain mounting system is optimized

圖4 優(yōu)化前后垂向的振動(dòng)傳遞率Fig.4 The vibration transfer rate of z-direction before and after the optimization

圖5 優(yōu)化前后側(cè)傾方向的振動(dòng)傳遞率Fig.5 The vibration transfer rate of the θx-direction before and after the optimization

由圖4、圖5可以看出，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化后懸置系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率較優(yōu)化前有較大改進(jìn)。主要表現(xiàn)為:在垂直z方向上優(yōu)化后系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率明顯較優(yōu)化前有所減小，振動(dòng)傳遞率峰值所對(duì)應(yīng)的頻率也往低頻方向有所偏移(即由8.9 Hz變?yōu)?.7 Hz)，從而避開(kāi)了懸置系統(tǒng)的固有頻率，且怠速激勵(lì)的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率明顯小于1，有利于系統(tǒng)隔振；同時(shí)，側(cè)傾方向上的振動(dòng)傳遞率也明顯地減小。而確定性優(yōu)化后懸置系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率改進(jìn)效果不明顯，尤其是垂向上怠速激勵(lì)下的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率明顯不小于1，這對(duì)系統(tǒng)的隔振不利。

可見(jiàn)，采用基于Chebyshev區(qū)間分析方法進(jìn)行懸置系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化后，振動(dòng)解耦率、固有頻率分配和振動(dòng)解耦率均取得較滿意的結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法求解了懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率變動(dòng)范圍。以高解耦率和解耦率變動(dòng)范圍最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，實(shí)例驗(yàn)證了該模型的可行性。

(2)Chebyshev區(qū)間分析方法只需不確定參數(shù)的變化范圍，而不需要獲得其概率分布，因此該方法相較于確定性方法更具有實(shí)際工程意義。

(3)Chebyshev區(qū)間分析方法誤差小，擴(kuò)張效應(yīng)不明顯，能更加準(zhǔn)確地近似于真實(shí)區(qū)間。

(4)應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法的優(yōu)化模型不僅能夠明顯提高系統(tǒng)振動(dòng)能量解耦率以及穩(wěn)健性，還能有效改善敏感方向振動(dòng)傳遞率。

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