基于MF—DFA方法的外匯市場多重分形研究

王繼田+李媛

摘要：文章采用MF-DFA方法研究匯率波動的分形特征，以說明人民幣與美元匯率走勢的長記憶性特征。并通過實證得出兩個結(jié)論：一是人民幣對美元匯率的波動嚴(yán)重依賴其前期波動， 前期匯率數(shù)值會全部傳導(dǎo)到本期； 二是人民幣匯率市場波動存在明顯的分形維， 時間序列具有波動異方差性。

關(guān)鍵詞：匯率波動；MF-DFA；多重分形

一、引言

匯率是各國進行貿(mào)易、資本跨國流動的前提，是連接各國經(jīng)濟往來的橋梁，因此匯率波動會對各國的經(jīng)濟產(chǎn)生一定的影響。匯率波動對經(jīng)濟波動及國際金融風(fēng)險都具有良好的時效性和敏感性，研究匯率的波動特征能更好地把握匯率變化的規(guī)律，從而化解匯率波動對經(jīng)濟的沖擊。反過來，經(jīng)濟的變化也會對匯率收益率波動造成沖擊，影響匯率收益率的波動特征。

實證研究表明諸如外匯市場、股票市場、期貨市場等并不是有效的，人民幣對美元價格的變化并不是獨立的，而是存在相關(guān)性，人民幣對美元價格的變化并不服從正態(tài)分布，那么基于有效市場假說的經(jīng)典金融市場理論存在著缺陷。Peters（1991）提出的分形市場假說（Fractal Market Hypothesis，F(xiàn)MH）提供了研究金融市場長時間序列的新方法和新思路，對市場特性的研究更為廣泛、深入和切入本質(zhì)。其中收益率的長記憶性引起很多學(xué)者和金融市場實際從業(yè)人員的廣泛關(guān)注。認(rèn)為人民幣對美元波動的行為就像一個動力學(xué)系統(tǒng)，對一些外郁的沖擊有快速和充分的初始反應(yīng)，但是由于系統(tǒng)受長期穩(wěn)定機制的控制，這個反應(yīng)就會衰減，使其在短期內(nèi)快速的消失。

基于分形理論的多重分形去趨勢分析法（MF-DFA）能夠有效去除局部趨勢對時間序列標(biāo)度的影響，可以探測不同時間標(biāo)度下時間序列所呈現(xiàn)的分形特征，是研究非平穩(wěn)時間序列長期冪律關(guān)系的有效手段。因此，本文擬采用MF-DFA方法研究人民幣兌美元價格的波動。

二、研究方法

設(shè)時間序列x（t），t=1，2，…，N，其中N為時間序列的長度。

第一步：構(gòu)造一列新的時間序列，

μ（t）=[x（i）-x] t=1，2，…，N。

第二步：將新的時間序列μ（t）分成Ns段，其中Ns=，并且記

μv（i）=μ（l+i） 1≤i≤s l=（v-1）s。

第三步：對數(shù)據(jù)μv（i）進行多項式擬合μv（i），得出殘差εv（i）=μv（i）-μv（i） 1≤i≤s。

第四步：對每一個子序列進行去趨勢處理，最終得到子序列降趨協(xié)方差公式。

第五步：定義q階波動函數(shù)，

第六步：改變q，得到在不同q的情況下所對用的h（q），得到關(guān)于q的函數(shù)h（q）。

其中，對于每一個q值，利用普通最小二乘法（OLS）回歸logFq（s）和log（s）得到的直線斜率就是h（q），也被稱為廣義Hurst指數(shù)。當(dāng)h（q）因q的變化而變化時，時間序列具有多重分形特征，反之則是單分形特征。當(dāng)q=2時，即為Hurst指數(shù)，其取值范圍為（0，1）。若H大于0.5，兩列時間序列具有長程相關(guān)性；若H等于0.5時間序列不具有長程相關(guān)性，可用隨機游走來描述；若H小于0.5，時間序列具有反持續(xù)性，也就是負(fù)的長程相關(guān)。

第七步：根據(jù)Shadkhoo 和Jafari的研究，得到多重分形標(biāo)度指數(shù)：τ（q）=qh（q）-1。

若τ（q）是q的線性函數(shù)，則為單重分形；否則，即為多重分形。通過勒讓德變換，可以得到奇異性強度函數(shù)和多重分形譜函數(shù)：a=τ′（q）=h（q）+qh′（q），f（a）=qa-τ（a）。

三、數(shù)據(jù)描述

本文選取了2009年11月2日至2015年06月20日的人民幣與美元匯率波動的數(shù)據(jù)1370條，數(shù)據(jù)的來源是wind數(shù)據(jù)庫。將人民幣與美元的價格進行對數(shù)化處理，得到日度對數(shù)收益率序列，Rett=ln（Pt+1/Pt）。人民幣與美元的價格、對數(shù)收益率分別見圖1所有時間序列的統(tǒng)計性描述如表1。

從圖1中可以看出2009～2010年中期美元對人民幣匯率一直保持在穩(wěn)定的6.8左右，而2010年中期之后到2012年第一季度急劇下降到6.3，此后在2012年內(nèi)有一個小幅度上升到6.4，到2014年緩慢下降到6.1以下。

表1給出了外匯市場的基本統(tǒng)計性質(zhì)。從中可以看出，總體來講外匯市場比較穩(wěn)定。時間序列的Jarque–Bera檢驗結(jié)果都在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，說明外匯市場不符合有效市場假設(shè)下的正態(tài)分布假定。外匯市場的時間序列具有明顯的尖峰厚尾分布特性，這與Jarque–Bera檢驗保持一致。最后由長記憶性檢驗可以看出，外匯市場的對數(shù)收益率呈現(xiàn)弱的反持續(xù)性，即通過長記憶性檢驗。

四、實證結(jié)果

前面的數(shù)據(jù)描述說明了外匯市場存在長記憶性特征，接下來采用前文介紹的MF-DFA方法定量估計時間序列的非線性相關(guān)關(guān)系和多重分形特征。通過公式畫出了波動函數(shù)和標(biāo)度的自然對數(shù)的散點圖，并用普通最小二乘法擬合出所對應(yīng)的直線，直線的斜率即為廣義的Hurst指數(shù)（見圖2）。從圖2可以看出，隨著線性標(biāo)度q的增加，波動函數(shù)和標(biāo)度之間存在著明顯的冪率關(guān)系。

圖3給出了外匯市場的廣義Hurst指數(shù)與階數(shù)之間的關(guān)系圖。從之前的分析可以發(fā)現(xiàn)，如果廣義Hurst指數(shù)都為常數(shù)，那么該時間序列就為單分形，否則，為多重分形。從圖3中可以看出，對于原始時間序列，隨著的q的增大，他們的hurst指數(shù)逐漸減小。外匯市場表現(xiàn)出了明顯的多重分形特征。endprint

圖4是外匯市場的標(biāo)度指數(shù)圖。從圖4中可以看出外匯市場的自相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為遞增凸函數(shù)，再次證明外匯市場具有多重分形特性。圖5給出了外匯市場的多重分形譜圖形。多重分形譜所刻畫的是金融時間序列復(fù)雜的動力學(xué)機制，其寬度也被認(rèn)為可以很好的估計多重分形強度，并反映市場的復(fù)雜程度。多重分形譜寬度越大，說明多重分形特征越強，進而可以得出長程相關(guān)性越大的結(jié)論，自然而然，市場的復(fù)雜程度也會越高。從圖5中可以看出外匯市場序列分形譜呈現(xiàn)開口向下的類拋物線形狀，分形譜寬度顯著不為0，說明外匯市場序列存在明顯的多重分形特征。

五、結(jié)論

本文通過對外匯市場多重分形分析發(fā)現(xiàn)，外匯市場存在著明顯的長程自相關(guān)性，以此為基礎(chǔ)，又進一步研究了它們之間的動態(tài)機理。得到了以下的結(jié)論。

1. 人民幣對美元匯率的波動嚴(yán)重依賴其前期的波動， 前期匯率數(shù)值會全部傳導(dǎo)到本期，外匯市場時間序列在統(tǒng)計上表現(xiàn)出明顯的非正態(tài)性、尖峰厚尾和長期記憶性。

2. 采用MF-DFA方法進行研究發(fā)現(xiàn)，外匯市場存在明顯的多重分形特征，通過對原始序列進行隨機重排和概率分布替代發(fā)現(xiàn)，對于外匯市場，長期記憶性和厚尾分布都是其分形的重要來源。在外匯市場，信息不會完全公開，對于投資者而言，信息的獲得以及對新信息的消化都不是立即的，這個時間的不確定性使投資者不能準(zhǔn)確的把握市場。當(dāng)新信息持續(xù)出現(xiàn)和歷史信息的累計效應(yīng)交互作用時，大量投資者可能會同時做出反應(yīng)，造成市場大幅度波動。因此，優(yōu)化市場投資結(jié)構(gòu)，加強信息監(jiān)管，減少內(nèi)幕消息和交易，是外匯市場穩(wěn)定發(fā)展的重中之重。

3. 從實際角度出發(fā)可以得到如下結(jié)論：人民幣升值有利于我國商品進口；國外進口商品價格下降，可以增加我國人民對進口商品的需求，從而增加進口數(shù)量；有利于穩(wěn)定國內(nèi)物價和提高收入。

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（作者單位：廣西師范大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院）endprint