在操作中建模，在多元表征中向除法本質(zhì)更深處尋覓
——“除法的初步認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)例談

江 漫

（蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”建模思想是學(xué)生應(yīng)該具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。它需要小學(xué)數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀操作，借助形象事物的表象，使學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。

二年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知處于具體運(yùn)算階段，除法概念對(duì)孩子來(lái)說(shuō)是一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)模型。怎樣讓孩子深刻地理解和建立這一數(shù)學(xué)模型，如何借助除法概念的多元表征來(lái)深入地理解除法本質(zhì)？筆者以下面的教學(xué)片段進(jìn)行分析。

一、建立按每幾個(gè)一份平均分的除法模型

1.情境導(dǎo)入

談話：秋天到了，小朋友去秋游了。瞧，他們?cè)谧|車呢！從圖中你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

出示文字，啟發(fā)思考：6個(gè)小朋友，每車坐2人，要坐（ ）車？請(qǐng)用身邊的學(xué)具擺一擺、分一分。

2.動(dòng)手操作

交流，黑板上板演：6根小棒，每2根1份，可以分成3份。

提問(wèn)：你能把剛才擺小棒的過(guò)程用簡(jiǎn)單的方式表示出來(lái)嗎？

投影展示各種表示方法。

A.畫圖

B.算式

從實(shí)物圖開始交流，請(qǐng)學(xué)生介紹作品的意思，其他學(xué)生判斷它是否符合平均分的含義。

比較三種形式，突出除法算式優(yōu)點(diǎn)。

3.認(rèn)識(shí)除法算式

介紹：乘法算式要用乘號(hào)，除法算式就要用除號(hào)。除號(hào)就表示平均分。一共有6個(gè)小朋友，6寫在除號(hào)的前面，每車坐2人，2寫在除號(hào)的后面，可以坐3車，3寫在等號(hào)的后面。

提問(wèn)：你會(huì)讀這個(gè)除法算式嗎？強(qiáng)調(diào)除號(hào)在算式中讀作除以。

介紹除法算式各部分名稱。

提問(wèn)：每個(gè)算式都有它的含義，你能結(jié)合這個(gè)題目，說(shuō)說(shuō)這個(gè)算式的含義嗎？

交流：一共6個(gè)小朋友，每2人坐一車，可以分成3車。

師：平均分是除法算式的指揮棒，我們要根據(jù)平均分列除法算式。

提問(wèn)：你覺(jué)得用這個(gè)算式表示剛剛平均分的過(guò)程和結(jié)果怎么樣？

師：除法算式是一種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，用它來(lái)描述平均分的現(xiàn)象會(huì)比較簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)家也是經(jīng)歷了很多年的探索，直到300多年前才創(chuàng)造出用這樣的除法算式表示平均分。

介紹除號(hào)歷史：300多年前，瑞士數(shù)學(xué)家用一條橫線將兩個(gè)圓點(diǎn)分開表示除。

4.練習(xí)題

談話：小熊媽媽要給小熊分蘋果了，我們來(lái)看看吧！

讀題：有12個(gè)蘋果，每只小熊分3個(gè)，可以分給幾只小熊？

師：可以在圖中圈一圈，數(shù)一數(shù)，再根據(jù)平均分的結(jié)果填寫算式。

你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)算式表示什么含義嗎？

總結(jié)：像這樣把一些物體，按每幾個(gè)一份地分，求可以分成幾份的問(wèn)題，可以列除法算式。

二、建立按平均分成幾份平均分的除法模型

1.談話：一群愛(ài)勞動(dòng)的小朋友去植樹了，我們?nèi)タ纯窗?！出示文字，讀題。

2.動(dòng)手操作：請(qǐng)用小棒擺一擺。

指出：像這樣把6個(gè)小朋友平均分成3組，求每組有幾人，這種平均分的過(guò)程也可以列除法算式。

追問(wèn)：結(jié)合題目，說(shuō)說(shuō)算式的含義。

三、比較兩種類型的除法模型

1.提問(wèn)：比一比坐纜車題和植樹題，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

共同點(diǎn)：都是平均分，都要列除法算式。

不同點(diǎn)：平均分的方式不一樣，第一種是按每幾個(gè)一份地分，第二種是按平均分成幾份，求每組有幾人。平均分的方式不一樣，列出的除法算式也就不一樣。

師：平均分是除法算式的指揮棒，是按每2個(gè)一份地分，那就除以2，是平均分成3份，那就除以3。怎樣平均分的，就怎么列除法算式。

總結(jié)：把一些物體平均分，無(wú)論是按每幾個(gè)一份地分，求分成了多少份，還是平均分成幾份，求每份是多少，都可以列除法計(jì)算。

2.練習(xí)

談話：老師在給小朋友分筆，我們來(lái)看看。請(qǐng)人讀題。

要求：可以把8支筆畫在數(shù)學(xué)書上，分一分，再填寫算式。

交流算式，說(shuō)算式含義。

反思：

1.經(jīng)歷二次數(shù)學(xué)化過(guò)程，自主建構(gòu)除法模型

張奠宙教授認(rèn)為：應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是建模。而四則運(yùn)算模型是解決應(yīng)用題的基本模型。教學(xué)中，我們通常把學(xué)生解決應(yīng)用題的失誤歸結(jié)為數(shù)量關(guān)系不清。學(xué)生對(duì)于數(shù)量關(guān)系不清的根源是對(duì)于四則運(yùn)算的問(wèn)題結(jié)構(gòu)和模型識(shí)別不敏銳。而該能力的培養(yǎng)關(guān)鍵是在學(xué)生頭腦中建立清晰的模型，加強(qiáng)對(duì)模型的理解。

學(xué)生從具體情境中找數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問(wèn)題，再借助學(xué)具操作得出平均分的結(jié)果，這是一個(gè)將原題內(nèi)容簡(jiǎn)化的過(guò)程，是初次數(shù)學(xué)化的過(guò)程。再將操作的過(guò)程用一個(gè)簡(jiǎn)單的方式表示出來(lái)，這是第二次數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

在畫一畫和算式比較中，學(xué)生自然而然選擇用算式，因?yàn)樗闶奖容^簡(jiǎn)單。因?yàn)榍懊嬗袑W(xué)習(xí)乘法的基礎(chǔ)，所以有學(xué)生想到用求乘法未知數(shù)的方法，這也為后面口訣求商埋下伏筆。算式和畫圖比較中，學(xué)生自然而然選擇用算式表示平均分的過(guò)程和結(jié)果，體會(huì)除法算式的簡(jiǎn)潔性，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)除法的認(rèn)知需求。

2.引入除法算式歷史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要重視過(guò)程與結(jié)果，還要重視學(xué)生的情感與態(tài)度。學(xué)生在探索完平均分過(guò)程和結(jié)果的表示方式后，適時(shí)地引入數(shù)學(xué)家創(chuàng)造除號(hào)的歷史。數(shù)學(xué)史在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)除法的興趣上就有很大的幫助了，更能讓孩子體會(huì)數(shù)學(xué)是人類文明的一個(gè)重要組成部分。

3.運(yùn)用除法概念的多元表征，加強(qiáng)除法模型的聯(lián)結(jié)

除法算式表示兩種平均分的過(guò)程和結(jié)果，是一種抽象、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。要讓這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生意義，需要大量具體而又生動(dòng)的實(shí)例的支撐。學(xué)生經(jīng)歷了兩種情形除法模型的建構(gòu)，到兩種情形的綜合比較，形成除法的一般模型。最后在一道算式中，充分地體現(xiàn)孩子對(duì)兩種模型的理解，溝通兩種模型的聯(lián)系。