采用Melnikov方法的齒輪傳動系統(tǒng)的分岔及混沌分析

周 杜，樂 源

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

齒輪機構(gòu)被廣泛應(yīng)用于機械系統(tǒng)當(dāng)中，是機器產(chǎn)生振動和噪音的主要來源之一，所以對齒輪系統(tǒng)振動特性的研究具有重要的理論及現(xiàn)實意義。國內(nèi)外許多學(xué)者[1-3]對齒輪系統(tǒng)的非線性特性進行了大量的研究，結(jié)果表明：系統(tǒng)表現(xiàn)出了豐富的動力學(xué)特性，如分岔和混沌。王建軍[4]深入研究了系統(tǒng)參數(shù)振動的主要特征。唐進元[5]利用圖胞映射方法對單自由度非線性齒輪系統(tǒng)進行了全局特性分析。蘇程[6]研究了單對齒輪系統(tǒng)隨參數(shù)變化時的頻響規(guī)律。衛(wèi)一多[7]考慮了摩擦作用下周期雙參變激勵齒輪系統(tǒng)。王曉筍[8]對含磨損故障的齒輪傳動系統(tǒng)進行了非線性動力學(xué)特性研究。李應(yīng)剛[9]利用增量平衡法研究了外部動態(tài)激勵作用下齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。A.Farshidianfar[10]利用Melnikov方法對非線性齒輪系統(tǒng)中混沌狀態(tài)進行了解析預(yù)測和控制。

本文考慮了含齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差等因素下的單自由度齒輪傳動模型，以分岔與混沌作為非線性現(xiàn)象的分析手段，在文獻[10]的基礎(chǔ)上利用Melnikov方法對系統(tǒng)同宿軌線出現(xiàn)分岔及馬蹄混沌[11]的參數(shù)區(qū)域進行預(yù)測，給出系統(tǒng)隨參數(shù)變化的最大李雅普諾夫指數(shù)圖。結(jié)合相軌線、龐加萊截面對系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)進行分析，并和Melnikov方法預(yù)測的系統(tǒng)出現(xiàn)同宿分岔和混沌的參數(shù)區(qū)域進行對比。

1 含間隙齒輪傳動模型

圖1 齒輪副動力學(xué)模型

如圖1所示，單對齒輪間隙非線性動力學(xué)模型考慮了時變剛度、齒側(cè)間隙、粘彈性阻尼和外部激勵力等因素，不考慮齒輪傳動時的橫向運動，其運動只有扭轉(zhuǎn)運動。不考慮運動時由支承軸承所產(chǎn)生的摩擦的影響。其中：θi(i=1,2)為主被動齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；Ii(i=1,2)為主被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；rbi(i=1,2)為主被動齒輪的基圓半徑；c為齒輪副的嚙合阻尼；e(τ)為齒輪嚙合綜合誤差；k(τ)為齒輪副的嚙合綜合剛度；Ti(i=1,2)為作用在主被動齒輪上的轉(zhuǎn)矩；mi(i=1,2)為主被動齒輪的質(zhì)量。

利用牛頓定律可得到系統(tǒng)的運動微分方程：

(1)

引入齒輪嚙合線的相對位移坐標(biāo)x=rb1θ1-rb2θ2-e(τ)，將式(1)中的方程組化簡得到系統(tǒng)的相對扭轉(zhuǎn)方程：

(2)

(3)

間隙分段線性函數(shù)為：

(4)

若剛度和嚙合綜合誤差均取1階諧波分量，則有：

(5)

(6)

2 Melnikov分析

Melnikov方法可用來解析地判定擬哈密頓系統(tǒng)出現(xiàn)Smale意義上的混沌。如果一個Hamilton系統(tǒng)存在同宿或異宿軌道，考慮弱的周期性擾動，使其對應(yīng)的周期軌道的不動點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形分裂，可用Melnikov積分來判定兩流形之間的距離。如果這個距離有簡單的零點，則可判定系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義上的混沌。本文將通過引入小參數(shù)ε構(gòu)造出擬Hamilton系統(tǒng)，并用Melnikov方法進行求解。

(7)

(8)

其中a=c=0.166 7。令ε=0，獲得對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)的同宿軌道為

(9)

(10)

(11)

將式(10)代入式(11)得：

(12)

整理可得：

(13)

如果M±(t0)具有簡單零點，則系統(tǒng)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，即方程(8)存在Smale馬蹄意義上的混沌。

3 數(shù)值模擬

令M±(t0)=0，取fe為控制參數(shù)。依據(jù)Melnikov函數(shù)理論，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要參數(shù)條件為：

(14)

(15)

固定參數(shù)值ε=0.01，ωh=1，k1=6，fm=10，可將式(14)(15)寫為：

fe(1)>2.345ζ1+1.1555

(16)

fe(2)<-2.345ζ1-1.1555

(17)

由式(16)(17)得到兩條分界線L1、L2如圖2所示。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取分界線L1上方的區(qū)域A2或者分界線L2下方的區(qū)域A3時，系統(tǒng)同宿軌線發(fā)生橫截相交，將出現(xiàn)馬蹄混沌；當(dāng)位于分界線L1、L2所夾的A1區(qū)域時，系統(tǒng)為周期運動。

圖2 系統(tǒng)同宿軌出現(xiàn)馬蹄混沌的參數(shù)區(qū)域

對于一個系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌，目前一個公認的標(biāo)準(zhǔn)就是系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)。總體來說，李雅普諾夫指數(shù)是系統(tǒng)任意相鄰軌線平均發(fā)散或收斂程度的一種度量，是目前判斷混沌運動最可靠的一種定量的方法。本文將在Jacobi方法[12]的基礎(chǔ)上，直接利用李雅普諾夫指數(shù)的定義，計算系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)及第二李雅普諾夫指數(shù)，并將計算的結(jié)果與龐加萊截面進行比較。

為驗證上面的分析結(jié)果，將式(3)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

(18)

其中，

(19)

圖3 內(nèi)部誤差激勵力

圖4 內(nèi)部誤差激勵力

圖5 內(nèi)部誤差激勵力

圖6 內(nèi)部誤差激勵力

圖7 內(nèi)部誤差激勵力

圖8 內(nèi)部誤差激勵力

圖9 內(nèi)部誤差激勵力

圖10 內(nèi)部誤差激勵力

圖11 系統(tǒng)隨內(nèi)部誤差激勵力變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖

4 結(jié)束語

利用Melnikov方法對單自由度齒輪系統(tǒng)同宿軌線出現(xiàn)分岔及馬蹄混沌的參數(shù)區(qū)域進行了預(yù)測。利用變步長Runge-Kutta法對系統(tǒng)進行了數(shù)值求解，給出了系統(tǒng)隨內(nèi)部誤差激勵力變化的分岔圖以及最大李雅普諾夫指數(shù)圖，并結(jié)合相軌線、龐加萊截面分析了內(nèi)部誤差激勵力變化時系統(tǒng)復(fù)雜的動態(tài)響應(yīng)。

Melnikov方法預(yù)測的系統(tǒng)出現(xiàn)同宿分岔及馬蹄混沌的參數(shù)區(qū)域和數(shù)值模擬的結(jié)果基本吻合，表明在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，隨著內(nèi)部誤差激勵力的變化，系統(tǒng)通過倍化分岔進入混沌運動。

在工程實際當(dāng)中，結(jié)合系統(tǒng)同宿軌線出現(xiàn)分岔及馬蹄混沌的參數(shù)區(qū)域，選擇合適的參數(shù)取值范圍能有效地控制系統(tǒng)的碰撞行為，使其不會產(chǎn)生混沌激勵，確保齒輪系統(tǒng)保持穩(wěn)定運行狀態(tài)，減少對齒輪機構(gòu)的磨損，保障齒輪系統(tǒng)更加安全有效地工作。

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