國外線性代數(shù)的教學研究述評

朱 琳，蔣啟芬

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國外線性代數(shù)的教學研究述評

朱 琳，蔣啟芬

（上海交通大學 數(shù)學科學學院，上海 200240）

線性代數(shù)是大學理工科學生的重要基礎課，有關線性代數(shù)教學領域的研究越來越受到重視．分析近30年來國外有關線性代數(shù)教與學方面的研究成果，論述了國外線性代數(shù)的課程改革與內(nèi)容，總結出學生學習的心理過程和在學習過程中所遭遇的困難和原因，并對國外的教學設計與實踐成果進行了評析，為中國的線性代數(shù)教學研究提供了思考和借鑒的方向．

線性代數(shù)；教學研究；研究述評

微積分和線性代數(shù)是大學理工科學生的兩門數(shù)學基礎課，對各專業(yè)的后續(xù)課程學習起著重要的作用．早期的高等數(shù)學教育領域的研究，主要集中于微積分的教學．隨著線性代數(shù)在工程、技術、計算機科學、經(jīng)濟等領域的應用越來越廣，有關線性代數(shù)的研究也越來越受到重視．近30年來，國外學者在線性代數(shù)的教與學中，對課程內(nèi)容、教學設計、學生學習等方面，產(chǎn)生了大量的研究理論與成果，值得借鑒和思考．

1 線性代數(shù)的課程改革與內(nèi)容

美國的線性代數(shù)課程改革起源于圖蘭的微積分改革會議[2]，于1990年1月成立線性代數(shù)課程研究小組（LACSG），并對線性代數(shù)的課程大綱和教學提出了一系列指導性建議．他們認為，線性代數(shù)應該是矩陣導向的課程，應從具體的、實際的例子出發(fā)來介紹概念、原理、理論的發(fā)展．教學必須響應其它學科的需求，讓學生的后續(xù)課程學習會覺得線性代數(shù)是有用的．他們給出線性代數(shù)課程改革的建議為：（1）教學大綱和介紹必須響應其它學科的需求，讓學生的后續(xù)課程學習會覺得線性代數(shù)是有用的．（2）線性代數(shù)應該是矩陣導向的課程．應該從具體的、實際的例子出發(fā)來介紹概念、原理、理論的發(fā)展．必須著重定義、定理的陳述以及證明，并且揭示不同概念和理解之間的聯(lián)系．（3）教師需要了解學生的需求和興趣．（4）教學中要應用計算機技術．（5）至少要開設第二門線性代數(shù)后續(xù)的課程，以適應數(shù)學專業(yè)以及其它專業(yè)需求更高的學生的需要．在LACSG小組的這一建議下，影響了很多國家的線性代數(shù)課程和教學改革，并出版了風扉全球的教材[3]．但是，對于LACSG的線性代數(shù)改革建議，杜賓斯基是強烈質(zhì)疑的．他認為，這種矩陣導向的線性代數(shù)課程是“灌水式”教學，充斥著計算的步驟，不僅不是應用型導向，也不能幫助學生構建概念性理解[4]．

2 學生學習的心理過程

研究學生如何理解數(shù)學概念，以及學生如何進行數(shù)學學習的心理建構過程，對于改進教學有重要的作用[6]．杜賓斯基的APOS理論、韜爾的過程性概念（Procept）、數(shù)學的3個世界（具體化世界、符號化世界、形式化世界）理論等，都為研究學生學習中的心理建構過程奠定了理論基礎，能夠幫助數(shù)學研究者從更廣闊的視角理解數(shù)學推理的發(fā)展，并能幫助數(shù)學家看到數(shù)學教育研究和他們教學之間的深刻聯(lián)系[7]．

Okta等人應用APOS理論分析學生在構建向量空間概念時的方式，以及他們遭遇的困難，形成由4個圖式：公理、二元運算、函數(shù)和集合協(xié)調(diào)構成的向量空間的圖式，以此描述學生在學習概念時發(fā)生的心理機制和建構方式．并基于學生的理解設計ACE教學循環(huán)，用MAPLE軟件設計教學活動，促進學生對向量空間概念的理解[13]．隨后，Parraguez和Okta的研究改進了這一向量空間概念的圖式框架[14]，認為由集合、二元運算、公理這3個圖式整合構建而成．通過對10名學生進行問卷調(diào)查和訪談發(fā)現(xiàn)，學生很難構建出向量空間的圖式，向量空間的運算和結構之間的協(xié)調(diào)在認知上很重要，雖然數(shù)學上看只是小事．他同時也給出了教學啟示：需要重點關注二元運算的圖式構建，給學生機會練習不同集合下的二元運算，讓他們能靈活地發(fā)展包含多種不同于常見運算的心理結構；需要將向量空間的兩個運算關聯(lián)起來，需要設計活動來促進這兩種過程的協(xié)調(diào)．

3 學生學習的困難和原因

學生認為學習解線性方程組、計算矩陣的乘積時都很簡單，但是，當學到子空間、擴張、線性無關時，“如同濃濃迷霧滾滾而來”，感覺迷失了方向[15]．線性代數(shù)中的概念因其抽象性和形式化的本質(zhì)，是產(chǎn)生學生理解困難的主要原因[16]．針對學生在概念理解時遇到的困難，以及產(chǎn)生困難的原因，研究者從不同角度作了大量研究．

3.1 形式化障礙

形式化將數(shù)學定義為嚴密的證明科學，做數(shù)學的唯一方式就是進行證明．當通過嚴密的證明，得到確定的數(shù)學結論時，才算是完成了做數(shù)學的過程．學生難以理解向量空間理論中的形式化，更難以解釋形式化的概念跟幾何或線性方程組理論中更直觀的內(nèi)容之間的關系．幾乎所有的教學模式中，學生都感到的一個獨特的巨大障礙，即“形式化障礙”[17]．學生們常常感覺像是登上了另一個星球，大量的定義、定理、術語鋪面而來，這些與他們之前學習的知識沒有聯(lián)系，讓他們感到非常困惑．另一方面，在老師看來十分簡單的概念，學生卻無法理解，老師們也常常感到受挫和失望[1]．對于大多數(shù)學生而言，線性代數(shù)無非是一列列的他們無法想象的抽象記號．另一方面，他們的水平很難找到可以將線性代數(shù)用于解決問題的情境．學生對集合論、證明語言的邏輯知識、形式化數(shù)學語言解釋的缺乏，是學生學習線性代數(shù)的障礙．學生很難將代數(shù)過程中的形式化、算法化特征與非正式的、有意義的方法關聯(lián)起來；與具體的情境相比，解決問題的過程是抽象的；學生缺乏對數(shù)學對象抽象水平的認識；抽象是完成整個問題解決過程的需要，而執(zhí)行初等代數(shù)運算過程只是其中的部分．因此，必須幫助學生發(fā)展有意義的代數(shù)對象和運算，使其不僅與現(xiàn)實生活情境相關，也包括有意義的數(shù)學關系框架．

有一些研究者認為，在大一學生的學習中，所有需解決的線性問題，可以無需使用公理化的理論、而通過計算的技巧來解決，這種形式化理論的益處，比如它的統(tǒng)一形式、可以進行概括歸納、可以體現(xiàn)數(shù)學的簡潔，只有專門的數(shù)學家才能體會到．因此，有一種傾向的解決路徑，就是放棄教授這種公理化的線性空間理論．然而，又有一些研究者認為，對于進入大學學習的學生而言，即將學習大量的高等數(shù)學和科學，必須通過學習這些公理化的概念，掌握對代數(shù)結構的了解，獲得思維方式的提升，這對于學生的后續(xù)學習是尤為重要的．線性空間正是代數(shù)結構中最基本的對象之一．因此，必須引導學生去體會這種思想和方法的過程，帶領學生思考形式化概念的好處，并建立起與已有知識之間的聯(lián)系，形成掌握學習這種新的形式化概念的能力[1]．Dorier另外提到，現(xiàn)在的教學模式已經(jīng)越來越少在一開始就強調(diào)形式化的概念，而是盡可能地先讓學生學習類似初等矩陣行列變換的算法運算．然而，這又導致了一個矛盾，學生只學會了怎么進行Jordan標準型的計算，卻對其中最基本的概念比如線性無關、子空間等產(chǎn)生誤解[1]．

Dubinsky指出，學生在學習線性代數(shù)時，遇到困難的原因包括：第一，教師是教學的主導者，他在教學過程中完全是單向地向?qū)W生灌輸各種概念和定理，學習的內(nèi)容和必要的操作，是完全由教師來告訴學生．數(shù)學思維的過程，是完全由教師來進行展示和操作．學生往往不理解概念的意思，但是可以直接進行計算的操作，比如，學生只記住了可以直接應用著名的算法來解題，比如，用高斯消元法進行初等行變換，可以得到矩陣的階梯型．這是線性問題的優(yōu)點，同時也是教學所面臨的弱點和挑戰(zhàn)．第二，學生缺乏對于線性代數(shù)所需背景概念的理解．這些背景概念往往能夠解決線性代數(shù)之外的很多問題，但通常是數(shù)學家所不關心的，也是數(shù)學教師所不了解的．但對于學生的學習而言卻很重要，這有助于建立學習的動機．第三，缺乏有效的教學策略，可以讓學生形成自己的思考，而非一味地接受現(xiàn)成的理論和方法，以此幫助學生建構起自己對概念的理解[4]．

Hillel建立了一個理論框架，理解學生在學習線性代數(shù)時的思考過程，分成幾何、代數(shù)和抽象模型，以及學生在抽象模型下會面臨哪些學習障礙[18]．Gueudet用了10年的時間研究線性代數(shù)與幾何的關系，進而研究學生的具體困難在于很難建立形式化概念的直觀想象[19-20]．Portnoy等證明，職前教師在用線性變換將幾何對象變換為其它幾何對象的過程中都會遭遇困難．雖然理解線性變換將有助于理解一般的概念，但他們無法發(fā)展出必要的對象性理解[21]．Britton和Henderson的研究表明，學生對于形式化的子空間概念和代數(shù)形式很難理解[22]．

3.2 認知靈活性

Pavlopolon區(qū)分了向量的3種符號化表述的記法：“箭頭”指的是圖記法，“坐標”為表格記法，“公理化的線性空間”為符號記法．她指出，在教師的教學和教材中，這些不同的記法，特別是記法的表述之間的轉換通常是不加解釋的．學生的很多錯誤，是由于混淆了對象和它的表征方式，特別是向量和它的幾何表示所造成的．對于學生而言，從一種表述到另一種表述之間的靈活轉換，是巨大的困難和障礙[1]．Alves-Dias研究了線性子空間及其笛卡爾坐標表示形式．她發(fā)現(xiàn)，這不僅只是表述形式的改變，對于學生而言涉及更加復雜的認知和建構過程．學生常常會根據(jù)代數(shù)符號的表征形式來辨認屬于某種表述形式，比如把包含和，就認為是笛卡爾坐標，而沒有去理解真正的含義．本質(zhì)上，當把一個子空間由笛卡爾坐標進行表示的時候，其實相當于尋找的一組生成元．即使子空間的維數(shù)已知時，想要尋找它的一組基也不是那么容易，這里不僅只是表述形式的改變，還涉及更加高等數(shù)學思維的建構過程，對于學生而言是比較困難的[1]．

Harel認為，學生學習線性代數(shù)的時候，智力活動必須在概念性對象這一范圍內(nèi)進行，在對象轉移水平上的思考困難將導致學生產(chǎn)生了“防御機制”．學生在面臨巨大的認知沖突和學習困難時，為了擺脫困境，只能試圖機械性地進行重復，在形式上“復制”教學或教材中的過程，而沒有理解符號和術語的真正含義[24]．Sierpinska等人通過對學生在計算機環(huán)境下的具體行為和表現(xiàn)進行分析，解釋他們在解決具體線性代數(shù)問題時，可能產(chǎn)生的錯誤，并尋找導致這種困難的原因．得出結論，學生認知思維的特征是“以‘具體的’而非‘理論的’方式進行思維的傾向”[25]．學生具體思維的顯著特征是，他們對抽象概念的理解不是基于它的定義，而是基于一些“典型的例子”．例如：線性變換被理解為旋轉、伸縮、剪切以及它們的組合．這種理解方式使學生很難看出線性變換可以由在某一組基上的值來確定；因此，他們關于線性變換的矩陣的概念仍停留在它是一種程序的水平上[26]．

3.3 歷史分析的視角

古希臘時期，向量的平行四邊形法則就被亞里士多德和海倫提出過．早期的向量方法強調(diào)的是運算本身，在數(shù)學理論的構建上并不清晰．公理化、形式化的線性空間理論直到19世紀后期才產(chǎn)生．從認識論角度對線性代數(shù)發(fā)展歷史進行分析，是揭示學生學習困難的緣由的一種方法，對設計教學活動有啟發(fā)作用[1]．

線性空間理論的產(chǎn)生可以追溯到19世紀后期，它對應于線性代數(shù)的公理化過程，即利用新的以公理為中心的理論的各種概念和工具，對解線性問題的方法進行理論重構．必須認識到：這種公理化本身，不僅能讓數(shù)學家解決新的問題，還能以一種通用的方法和語言在各種情境下進行使用（泛函分析、二次型、算術、幾何，等等）．在數(shù)學問題中，除非需要解決的是非可數(shù)的無限維問題，否則公理化的方法也不是絕對必須的，但它是進行數(shù)學思維思考的普遍性的思想方法．這種公理化的好處，不僅在于有可能解決未知的問題，而且在于它可以進行概括和歸納，這種一般的、統(tǒng)一的方法簡化了解決問題的途徑[28]．

Hristovitch通過對線性相關、線性無關概念的歷史分析，認為數(shù)學家使用的直覺化的、隱喻和類比的解釋，如“限制”、“分解”和“不可約”到“死”，是從操作性理解轉化為結構性的表達“線性獨立”，這對數(shù)學概念的初步形式化和接下來的發(fā)展都是很重要的．而在概念具體化的道路上，符號化表征和演繹性推理，在將起初的直覺轉化為這些起源于直覺概念的高級結構上起了重要的作用．在這種意義下，學生無意識的類比、帶暗喻的語義解釋和對概念的符號化的推理，具有概念發(fā)展的歷史相似性，將影響學生的概念化形成和問題解決[29]．

4 教學設計與實踐

4.1 幾何直觀化的教學設計

一種觀點認為，幾何化能夠真正建立學生的“概念意象”．Robert等人設計并實施以幾何的方式融入線性代數(shù)教學的方案，將線性代數(shù)概念賦予更多“具體”的幾何意義，以此克服抽象的困難和形式化的障礙[17]．Cihan（2003）等人通過兩個班級的對比研究，得出結論，幾何化、直觀化的教學，能促進學生對線性空間概念的理解和轉換[30]．

但是，又有一些研究者認為，從幾何的角度來引入概念，會讓學生很難與代數(shù)表征關聯(lián)起來，在推廣到形式化概念的學習中會遭遇很多困難[31]．首先，幾何只能限于三維空間，比如秩、對偶等概念，在幾何情境下的講述會受到很大限制．這種跟幾何的聯(lián)系，會讓不少學生常用仿射子空間代替向量子空間[1]．Gueudet對幾何與線性代數(shù)兩者間的聯(lián)系進行了認識論方面的研究[19]．她發(fā)現(xiàn)幾何直觀在線性代數(shù)的教材或教師中被當作是一種必要條件．然而，現(xiàn)實中幾何的利用經(jīng)常是非常膚淺的，甚至對某些學生而言，在線性代數(shù)中利用幾何的表示或以幾何為參照物，并不總是有益的．事實上，一些學生不能從向量空間結構中區(qū)分仿射空間；他們也常常不能想象不是幾何變換的線性變換．換言之，幾何參照物成了學生理解一般的線性代數(shù)的障礙．另一方面，研究中發(fā)現(xiàn)學優(yōu)生很少利用幾何參照物，他們可以不借助幾何的表示而直接在形式化的水平上思考．如此看來，幾何表示或語言的使用可能是一個積極的因素，但必須加以控制，要在把兩者的聯(lián)系講得十分清楚的條件下使用[1]．

4.2 計算機技術的應用

隨著計算機技術的發(fā)展，大量數(shù)學軟件（Matlab、Mathematica、Derive、Linalg）在教學中得到有效的使用，美國大學數(shù)學教育研究小組（RUMEC）于2002年出版了用《ISETL語言融入線性代數(shù)教學》．Dogan等人試圖通過計算機技術的融入，探究學生在學習時的困難，搭建不同表征形式之間的橋梁[32]．Sierpinska等人發(fā)現(xiàn)，計算機環(huán)境下的任務操作，可以幫助學生發(fā)展對線性變換的動態(tài)理解，但卻阻礙了學生理解線性變換是將一般的向量映射到它的象，將思想固著于線性變換的具體例子[33]．Dogan（2001）對傳統(tǒng)課堂和用Mathamatica實驗課堂進行了對比研究．在傳統(tǒng)課堂由老師直接介紹定義，在實驗課堂用軟件引導學生探究定義和對向量空間的理解．結論表明實驗組在解決涉及到概念性知識的任務時，表現(xiàn)優(yōu)于傳統(tǒng)組．實驗組和傳統(tǒng)組理解上最大的不同在于，實驗組將線性空間概念應用到線性變換的時候，能夠認識到向量作為子空間的對象，能夠?qū)懗鲎涌臻g的基．但沒有顯著差異表明，實驗組比傳統(tǒng)組在需要過程性知識的問題時，或者同時需要過程性和概念性知識的問題時表現(xiàn)更好[34]．Dikovic利用課堂投票器介入課堂教學，讓學生主動思考，讓課堂生動活潑．同時，他利用數(shù)學軟件和網(wǎng)絡技術的交互式學習，在學生完成傳統(tǒng)課堂的學習后還能進行專題學習，以建立起對線性代數(shù)概念數(shù)值化、符號化、直觀化的表征[35]．

4.3 數(shù)學建模的方法

在數(shù)學課程中融入數(shù)學建模的方法，運用經(jīng)“現(xiàn)實生活”的問題設計的數(shù)學模型，能激發(fā)學生的學習動機，促進學生建構重要的數(shù)學概念[36]．Possani等人設計了交通流的模型，通過交通控制中不同參數(shù)的設計，幫助學生理解線性方程組[37]．他們基于APOS理論和數(shù)學建模理論，設計了具體的教學順序和教學材料，在現(xiàn)實的生活中利用有趣的實際問題，幫助學生建構概念，開發(fā)分析工具來分析學生對線性方程組的理解．他們之后繼續(xù)進行模型的開發(fā)和設計，利用經(jīng)濟學中生產(chǎn)計劃的建模問題，基于APOS理論分析學生的建模過程，重點構建對學生的學習路徑分析框架，分析學生在線性組合、線性無關，以及向量空間的概念建構過程中處理建模問題的循環(huán)．并得到結論，數(shù)學模型的使用和基于教育研究理論所特殊設計的活動，能增進學生對抽象概念的理解．建?；顒涌梢越o學生提供背景來關聯(lián)他們以前的知識，并且建構新的知識，同時也能給老師和研究者提供很清晰的視角來觀察學生推理、證明、判斷的過程[38]．

5 結語

綜上所述，近30年來國外在線性代數(shù)的教與學研究中取得了諸多成果，研究范圍不斷擴展，研究方法日益更新．但同時能夠看到這樣的傾向性，以法國為代表的歐洲國家，主導形式化的、公理化的教學模式，通常的線性代數(shù)教學以公理化的線性空間理論開始，然后介紹矩陣、解線性方程組的問題．這些符號化的表征和形式化的定義，都讓學生覺得很難理解．而在美國，線性代數(shù)改革小組改革后的線性代數(shù)課程，是以“矩陣—導向”的、偏重計算技巧的改革課程，大量計算機技術的融入線性代數(shù)教學．但是，當計算能被電腦快速有效執(zhí)行時，必須問問“什么是學生真正需要去學的？”在這兩種不同的研究背景下，立足于中國高校的特點和國內(nèi)學生的認知特點，需要對線性代數(shù)教學深入進行融入實踐、融入課堂的實證研究．在中國的線性代數(shù)教學研究領域，研究者主體是高校的數(shù)學家、以及熱心教學的數(shù)學教師．現(xiàn)有研究主要以經(jīng)驗總結、思辨思考為多，研究方法缺乏規(guī)范、研究工具更顯單一．在借鑒國外研究成果的基礎上，加強本土化的教學理論建設和實證研究，是線性代數(shù)教學研究領域，甚至是高等數(shù)學教育研究領域予以努力的方向．

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Review on Foreign Studies of the Teaching and Learning of Linear Algebra

ZHU Lin, JIANG Qi-fen

(School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Linear algebra was one of the first advanced mathematics courses that students encounterat university level. This paper evaluated foreign studies of the teaching and learning of linear algebra in the past three decades from the four aspects as follows: the content and reformation of curriculum, the psychological process of students’ learning, students’difficulties, and the teaching designs and experiments. The foreign research patterns and conclusions couldprovide some reference for our research, while their limitations also indicated the direction of our future study.

linear algebra; studies of teaching and learning; research review

[責任編校：周學智]

2017–10–05

上海交通大學課程教學改革項目——發(fā)生教學法在線性代數(shù)教學中的研究與應用

朱琳（1981—），女，安徽黃山人，講師，主要從事高等數(shù)學教育研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）01–0079–06

朱琳，蔣啟芬．國外線性代數(shù)的教學研究述評[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（1）：79-83．