基礎(chǔ)與能力并重 經(jīng)典與創(chuàng)新共存
——2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題評析

?浙江省杭州第七中學(xué) 陳 宏

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷是2014年浙江省實施高考改革——數(shù)學(xué)文理合卷考試以來浙江省自主命題的收官之作，特殊的年份和疫情給高考命題和備考都帶來了挑戰(zhàn)．針對2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容特點和解決方法以及其與新高考全國卷的差異，筆者談?wù)勛约旱恼J(rèn)識，以期能讓學(xué)生更好地適應(yīng)全國新高考的評價方式.

1 依綱靠本，平穩(wěn)收官

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題堅持立足基礎(chǔ)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力立意的命題原則，秉持了浙江省自主命題以來的簡約且具內(nèi)涵的風(fēng)格.整卷保持了浙江卷“低起點、有梯度、多層次、重區(qū)分”的經(jīng)典特色，嚴(yán)格遵循《考試說明》《浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》，全面考查了高中階段的主要內(nèi)容、核心思想方法及考生的學(xué)科關(guān)鍵能力.試題貼近高中數(shù)學(xué)教學(xué)實際，整體難度與2021年浙江卷難度相當(dāng)，在結(jié)構(gòu)、題型、內(nèi)容、分值等方面保持穩(wěn)定，試題注重基礎(chǔ)知識和通性通法的考查，在傳承經(jīng)典的同時注重變化，適度創(chuàng)新.在體現(xiàn)對考生人文關(guān)懷的同時有利于高校合理選拔人才和正確引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，平穩(wěn)收官.

2 傳承經(jīng)典，準(zhǔn)確區(qū)分

2022年試題檢測全面、凸顯本質(zhì)，重在理解，準(zhǔn)確區(qū)分.選擇題難度較2021年略降，有利于降低考生的焦慮情緒.如單項選擇題第 1～7 題，這些試題或源于課本或改編自課本中的例題、歷年的浙江卷高考題等，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性；第1題考查集合運算，第2 題考查復(fù)數(shù)相等的概念，第3題考查線性規(guī)劃，第4題考查三角函數(shù)和簡單邏輯用語，第 5 題考查三視圖、組合體的體積求解(球的體積公式與圓臺體積公式的簡單應(yīng)用)，第 6題考查三角函數(shù)圖象的平移，第7題考查指數(shù)、對數(shù)運算.填空題難度與2021年相當(dāng)，第11題考查了數(shù)學(xué)文化知識也是植根于教材且注重內(nèi)容的交叉，第12題考查了二項式定理與賦值法，第13題考查了特殊條件下三角函數(shù)值的計算，第14題考查了二次函數(shù)與“對勾”函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想方法，計算量較小.解決這些試題只要平時學(xué)習(xí)中概念理解到位、考試時計算認(rèn)真即可，體現(xiàn)一個“穩(wěn)”字，也為考生增加了信心[1].

試卷同時編制了一些層次高、思維妙、解法巧的新題.如，第8題是立體幾何中線線角、線面角、二面角的大小比較，主要考查最大角定理與三類空間角的定義，與2018年的選擇題雖類似但需理解深刻各類角的定義；第9題為多絕對值函數(shù)應(yīng)用，需熟練掌握絕對值的運算意義或圖象；第10題是遞推數(shù)列的考查；第17題是多向量模長的計算，需對回歸圓心后進行向量的轉(zhuǎn)化，要求掌握基底轉(zhuǎn)化的本質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的方法；第20題是數(shù)列題但與以往求和的考查不同；第21題是橢圓上點到一個定點的距離的最值問題，需對距離公式以及通性通法理解到位且注重算理；第22題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題都是在常見的背景中以新的角度設(shè)計問題，重視思維和運算能力.這些試題體現(xiàn)一個“變”字，也為高考的選拔增添了公平性.

3 守正出新，關(guān)注素養(yǎng)

試題全面考查的同時，突出了函數(shù)、幾何等重點內(nèi)容.2022 年的浙江高考數(shù)學(xué)試卷沒有超綱試題，部分試題直擊概念本質(zhì)，雖取材背景熟悉，但著眼變化，適度創(chuàng)新，同時關(guān)注核心素養(yǎng).第9題是含參絕對值不等式求參數(shù)的范圍，可小題小做(對自變量賦特殊值)或采用通性通法(結(jié)合參數(shù)分離、直觀想象、數(shù)形結(jié)合等思想方法)得出答案，較2021年的第9題難度有所下降，但對細(xì)心認(rèn)真卻數(shù)學(xué)邏輯不夠強的同學(xué)來說有一個比較“委屈”的坑.第10題對思維能力與計算能力的要求都較高，主要考查數(shù)列的性質(zhì)與有限項放縮求和，對學(xué)生能否選擇合適的方法、放縮求和的運算等綜合能力有一定的要求，但思路與2021年第10題較為相似，一定程度上降低了學(xué)生對壓軸選擇題的恐懼感.第17題作為填空壓軸題仍和2021年保持方向一致，考查向量的轉(zhuǎn)化以及運算，且將向量放入正八邊形中結(jié)構(gòu)新穎，但因為提到了單位圓，因此將向量起點回歸原點(圓心)對向量進行轉(zhuǎn)化[2]，繼而化繁為簡求得答案，所以感覺難度比2021年第17題小，重在思維的創(chuàng)新和學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了命題者的良苦用心.

解答題第20題背景熟悉但立意獨特，在第(2)小題考查了函數(shù)思想及應(yīng)用一元二次方程根的存在性條件(判別式法)，得到通項與公差的不等關(guān)系，繼而求解公差的范圍，較之前的高考數(shù)學(xué)試題中常見考查求和的題型有所創(chuàng)新并注重思維的靈活性.第22題(2)(3)小題考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合運用，只有深刻理解問題本質(zhì)，才能完整解決整個問題，特別考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，有很好的選拔功能.

3.1 傳承經(jīng)典，凸顯本質(zhì)，注重算理

例1( 2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第 9 題)已知a,b∈R,若對任意x∈R，a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0，則( ).

A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3

C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3

圖1

或者小題小做，由于x的任意性對自變量x進行賦值，考慮移項后絕對值外的符號，因此可賦值x=b，x=4求得a,b范圍.如取x=4，則不等式變?yōu)閍|4-b|-3≥0，所以a≠0,b≠4，排除選項A,B,C.故選：D.

評注：類似思維的問題在 2019 年浙江卷第9題、2020年浙江卷第9題中都出現(xiàn)過，也是求解參數(shù)必須滿足的必要條件，這類題目強調(diào)對數(shù)學(xué)概念與函數(shù)本質(zhì)、圖象特征的理解，能多維度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維等.

圖2

(1)求橢圓上的點到點P距離的最大值；

(2)求|CD|的取值范圍.

本題第(2)小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法、綜合應(yīng)用知識的能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).這些都是高中解析幾何中最核心的知識、技能、思想方法和核心素養(yǎng).

第(2)小題的解題方法有很多，由于點A,B是過點Q的直線與橢圓的交點，故自然想到可以“設(shè)線”，聯(lián)立橢圓與過點Q的直線方程得到A,B兩點的坐標(biāo)關(guān)系，繼而分別聯(lián)立直線AP與直線l的過程、直線BP與直線l的方程得到點C,D的坐標(biāo)，從而求得|CD|的表達式及范圍，即為解法1.此種解法雖然思維入口較寬但深入較難，運算量較大.

也可以直接結(jié)合問題本質(zhì)求C,D兩點距離，故可直接“設(shè)點”解決.設(shè)出點C,D的坐標(biāo)，解得點A,B的坐標(biāo)，利用點A,Q,B共線得到點C,D的坐標(biāo)的等量關(guān)系，繼而消元求得|CD|的表達式及范圍，即為解法2.解法2較解法1運算量減少，但是審題時需要把握問題的本質(zhì).此兩種解法正說明了解析幾何問題中的少思多算或多思少算；也說明了該問題突破的關(guān)鍵都是需建立起A,B,C,D四點之間的聯(lián)系，并實現(xiàn)消參，用盡可能少的參數(shù)表示|CD|．

如果對此題繼續(xù)做一個探究，會發(fā)現(xiàn)通過仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應(yīng)用圓冪定理便可將問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊長求解問題，也可得到|CD|的表達式，繼而求解范圍，即為解法3．

由韋達定理，可得

由弦長公式,可得

令t=3k+1∈R，則

上述解法運算量較大在于設(shè)點坐標(biāo)較多，聯(lián)立方程次數(shù)也較多.因此基于優(yōu)化運算的目的，問題求的是C,D兩點距離，故可直接設(shè)出關(guān)鍵點C,D的坐標(biāo)，表示出|CD|并求得范圍.

由結(jié)構(gòu)對稱，同理可得

由點A,Q,B共線，得

對此題繼續(xù)做一個探究，會發(fā)現(xiàn)通過仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應(yīng)用圓冪定理便可將問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊長求解問題，避免了聯(lián)立方程求|CD|的范圍.

圖3

由圓冪定理|A′Q′|·|B′Q′|=R2-OQ′2=9，得tanαtanβ=3.

評注:以上方法均是解決直線與橢圓位置關(guān)系的通性通法，其中前兩種解法在日常復(fù)習(xí)中用的較多，需要扎實的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).解法3在化橢圓為圓的基礎(chǔ)上借助圓的幾何特性，把多個變量轉(zhuǎn)化為一個變量，2020年浙江卷的第21題也可使用此法，使得問題的呈現(xiàn)更直觀，解法更為簡潔[3]．橢圓化圓也使問題本質(zhì)更清晰，該方法在一一對應(yīng)思想的指導(dǎo)下完成了問題轉(zhuǎn)化和思路突破，這種聚焦核心素養(yǎng)的創(chuàng)新思維培養(yǎng)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心，在平時教學(xué)中需引起重視．解析幾何問題對廣大考生來說是一個挑戰(zhàn)，計算對學(xué)生來說更是痛點.故需在復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生注重思維，講究算理，突破關(guān)鍵，鼓勵他們運用合理的思維結(jié)合運算技巧找關(guān)鍵點，計算到底，從而提升數(shù)學(xué)運算能力和綜合能力.

3.2 守正出新，考查能力，聚焦素養(yǎng)

例3(2022年年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第20題)已知等差數(shù)列{an}的首項a1=-1，公差d>1．記{an}的前n項和為Sn(n∈N*)．

(1)若S4-2a2a3+6=0，求Sn；

(2)若對于每個n∈N*，存在實數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，求d的取值范圍．

(2)由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，可得關(guān)于cn的二次方程，由判別式法可得d的表達式，分類討論可得d的取值范圍．

解析:(2)因為對每個n∈N*，存在實數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，則(a1+nd+4cn)2=[a1+(n-1)d+cn]·[(a1+(n+1)d+15cn]，a1=-1.

所以an+1≥2d,或2an+1≤3d恒成立，即得(n-2)d≥1,或(2n-3)d≤2恒成立.

當(dāng)n=1時，因為d>1，故(n-2)d≥1不成立，但(2n-3)d≤2成立;

當(dāng)n=2時，(n-2)d≥1不成立，此時需要(2n-3)d≤2，解得d≤2；

當(dāng)n≥3時，因為d>1，所以(n-2)d≥1恒成立.

綜上所述，d∈(1，2].

評注:本題第(2)小題設(shè)問靈活，應(yīng)用一元二次等式成立的判斷方法(判別式法)，得到通項與公差的不等關(guān)系，繼而求解公差范圍的方法對學(xué)生的應(yīng)變能力和把握問題本質(zhì)的能力有一定的要求.最后的分類討論則考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng).創(chuàng)新的設(shè)計也要求平時教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生透徹理解基礎(chǔ)概念知識，從而學(xué)會以不變應(yīng)萬變.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a，b∈R，曲線y=f(x)上不同的三點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))處的切線都經(jīng)過點(a,b)．證明：

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).)

第(2)小題從函數(shù)存在三條切線且經(jīng)過同一個點入手，分兩類情況證明不等式成立，較為復(fù)雜.因此先解決大前提條件(導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題一般轉(zhuǎn)化為切點方程解的個數(shù)問題)后分類解答.①可由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解，等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)有3個不同的正零點問題，再根據(jù)零點存在定理及性質(zhì)轉(zhuǎn)化需求證的不等式.②結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，解決復(fù)雜問題的思想方法仍然是等價轉(zhuǎn)化，將不熟悉問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題來解答，并輔以消元思想，將多元函數(shù)問題設(shè)法轉(zhuǎn)化為單元問題來處理.

證明:(2)①過三點的切線方程分別為

y=f′(x1)(x-x1)+f(x1),

y=f′(x2)(x-x2)+f(x2),

y=f′(x3)(x-x3)+f(x3).

由三條切線方程均過點(a,b)，得

分析h′(x)正負(fù)號且由題設(shè)中a>e,得到h(x)的極小值為h(a)，極大值為h(e)，因此h(x)有三個正零點，只需要滿足h(a)<0和h(e)>0即可.

②依據(jù)條件0

進而轉(zhuǎn)化為證明

當(dāng)x∈(0,a)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a,e)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，且滿足0

在(1,+∞)上恒成立即可.

因此φ(x)>φ(1)=0.

評注:本題作為壓軸題和第21(2)題類似,對綜合解題能力、不等式的運用能力和數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)提出了更高的要求,最后一問更是形式創(chuàng)新，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點、換元法、構(gòu)造法、分析法等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.沒有生僻技巧，但卻也難尋套路.其中利用分析法和消元法轉(zhuǎn)化所證關(guān)系式對學(xué)生是一大難點.這也給了壓軸題型復(fù)習(xí)的啟示：要善于先宏觀(定性)分析，后微觀(定量)落實，通過等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分析證明等方法力爭化大為小、化難為易，把一道難題分解為若干個小題或分解為若干步完成，即使不能完整做出，也能多得步驟分?jǐn)?shù)[4].這也為學(xué)生充分展示自己的數(shù)學(xué)能力提供了平臺，為高校選拔優(yōu)秀人才.

4 引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)選拔

在平時教學(xué)中應(yīng)重視新授課的概念教學(xué).新授課應(yīng)該強調(diào)主題式的單元整體設(shè)計，聚焦“大單元、真情境、新技術(shù)”的先進理念提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神，繼而不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識; 認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，了解學(xué)科交叉時數(shù)學(xué)內(nèi)容、思維及能力的廣泛應(yīng)用．新課改在不斷深入，師生要一起適應(yīng)新形勢，用好新方法．

5 差異對比，適應(yīng)變革

浙江省2023年參加高考的考生即將迎來全國高考，故筆者對2022年浙江卷與新高考全國Ι卷做簡單對比.內(nèi)容上的挑戰(zhàn)在于全國卷中檔題居多計算量大，基本沒有送分題，對中等生不夠友好，可能出現(xiàn)很多題有思路但寫不完；而浙江卷壓軸題雖然難，但梯度明顯，該送分就送到位，中等生較有優(yōu)勢.機遇在于全國卷中檔題多，壓軸題沒那么難，比如向量知識全國卷設(shè)置在第3題，數(shù)列設(shè)置在解答題第1題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題難度相對浙江卷較小等.另外一些不同之處，比如，全國卷小題壓軸題較喜歡球與幾何體的接切問題，小題中也可能出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用和多選題等，解答題曾出現(xiàn)概率的考查、應(yīng)用題等，需重點關(guān)注.函數(shù)、向量、幾何、統(tǒng)計、概率、數(shù)列、不等式仍是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，函數(shù)與不等式也仍是難點.在原則上更注重以下三點:(1)學(xué)科間的滲透和交叉，適當(dāng)增加具有自然科學(xué)和社會人文學(xué)科情境的試題，促進學(xué)科間的融合以及對核心素養(yǎng)的有效考查；(2)關(guān)注探究能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的考查，設(shè)計結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一、結(jié)構(gòu)不良等試題，增強試題的開放性和探究性，對學(xué)生的創(chuàng)新能力進行考查；(3)通過調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，打破固有模式，探索試題排列新方式，努力破除復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響.

6 結(jié)語

對于新高考，學(xué)生需要時間適應(yīng)，這也要求學(xué)生對課本知識的理解、歷年高考真題中考查的通性通法和問題本質(zhì)的掌握更加深刻到位.因此，教師在重視新課教學(xué)的同時也需重視日常復(fù)習(xí)課的教學(xué)，課堂教學(xué)需更加聚焦質(zhì)量．目前以單元整體教學(xué)設(shè)計為基礎(chǔ)、以深度學(xué)習(xí)為抓手的新一輪課堂教學(xué)改革的形態(tài)正逐步形成，復(fù)習(xí)課教學(xué)的理念也需要革新，應(yīng)更加著眼于數(shù)學(xué)知識的整體性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性和邏輯的連貫性，從而提升學(xué)生綜合、創(chuàng)新等關(guān)鍵能力，落實學(xué)科核心素養(yǎng).