飽和多孔介質(zhì)板的吻合頻率和臨界頻率分析

周鳳璽, 高瀟麗

(1. 蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730050； 2. 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050)

隨著城市交通、工業(yè)生產(chǎn)及工程建設(shè)等引起的噪聲污染問題日益加劇，對降噪措施的研究及設(shè)計(jì)已經(jīng)受到人們的廣泛關(guān)注，其中各類板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲輻射特性一直是研究的重點(diǎn)，并且板結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性與其吻合頻率和臨界頻率密切相關(guān)。當(dāng)某一頻率的聲波以一定的角度投射到板面上，若入射波的波長在板上的投影正好等于板的固有彎曲波波長，即空氣中的聲波在板上的投影與板的彎曲波吻合，這時(shí)聲波激發(fā)板材固有振動(dòng)，由于彎曲剛度效應(yīng)，使結(jié)構(gòu)的聲輻射能力大大增強(qiáng)，隔聲能力顯著下降，這種現(xiàn)象稱作吻合效應(yīng)。 因入射角度的不同，會(huì)存在無數(shù)個(gè)吻合頻率，能產(chǎn)生吻合效應(yīng)的最低入射頻率稱為“臨界吻合頻率”簡稱臨界頻率[1]。聲輻射能力在吻合頻率附近達(dá)到最大值，因而聲輻射在激勵(lì)力的頻率大于和小于臨界頻率時(shí)表現(xiàn)出的特性是不同的。所以,研究板結(jié)構(gòu)的聲輻射與隔聲性能,臨界頻率和吻合頻率是必須討論的內(nèi)容[2]。Yairi等[3]討論了力作用下雙葉彈性板的聲輻射，并研究參數(shù)對其的影響。Bhattacharya等[4]對聲波的吻合效應(yīng)進(jìn)行了較詳細(xì)的綜述，并通過有關(guān)的實(shí)驗(yàn)解釋了有空腔的有限板，及無空腔的有限板的吻合效應(yīng)現(xiàn)象。Tsugihashi等[5-6]采用結(jié)構(gòu)耦合分析技術(shù)，對有限方板的吻合現(xiàn)象的特點(diǎn)進(jìn)行了解釋，并進(jìn)行了仿真應(yīng)用。這些成果進(jìn)一步推進(jìn)了隔聲中吻合效應(yīng)的研究，為更深入地研究吻合效應(yīng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。Dupont等[7]比較了微穿孔板和柔性板在板厚、孔隙率等變化下吻合效應(yīng)的變化情況。

Reynolds等[8-9]都詳細(xì)地討論了各向同性薄板的臨界頻率和吻合頻率。Heekl等[10-11]對厚板的臨界頻率和吻合頻率問題進(jìn)行了一些研究。Heekl在傳聲損失中考慮了剪切作用,但是并沒有給出這種情況下的臨界頻率的公式。Narayanan等討論了考慮剪切剛度時(shí)板的吻合頻率,但是由于公式過于復(fù)雜,而不便于使用。Cremer等和Heckl采用了材料在兩個(gè)正交主方向上的彎曲剛度值,分別求出這兩個(gè)方向上的臨界頻率。Beranek[12]將兩個(gè)主方向臨界頻率的幾何平均值作為板的臨界頻率值。Renji等[13]給出了各向同性厚板和對稱復(fù)合材料厚板的臨界頻率和吻合頻率的基本公式，并討論了各向異性行為和剪切變形對吻合頻率和臨界頻率的影響。王海軍等針對工程應(yīng)用中實(shí)際用到的各種尺寸、材質(zhì)的板,包括各向同性薄板、各向同性厚板(當(dāng)板比較厚時(shí)就需要考慮剪切效應(yīng)),各向異性薄板和各向異性厚板,得到了其臨界頻率和吻合頻率的計(jì)算公式，并總結(jié)了吻合效應(yīng)與共振的本質(zhì)區(qū)別。

近年來，多孔介質(zhì)材料在巖土工程、 地球物理以及生物工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，自Biot等[14-15]提出描述飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力特征方程以來，國內(nèi)外許多專家學(xué)者從不同角度對飽和多孔介質(zhì)中波的傳播問題進(jìn)行研究，包括多孔介質(zhì)動(dòng)力響應(yīng)問題的解析研究、數(shù)值模擬方法以及波的傳播特性等的研究。目前關(guān)于飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)問題的研究主要集中在幾何特征為無限半空間區(qū)域或有限厚度的巖土類材料，對于飽和多孔材料的吻合效應(yīng)分析研究遠(yuǎn)落后于對單相連續(xù)彈性介質(zhì)的研究[16]。

本文根據(jù)不可壓飽和多孔介質(zhì)理論和吻合效應(yīng)機(jī)理，研究了不可壓含液飽和彈性板的吻合效應(yīng)。對飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率的影響因素(板厚、孔隙率、滲透系數(shù)、入射角等)進(jìn)行了分析，比較了不同孔隙率下飽和多孔板和彈性板的吻合頻率隨厚度和入射角的變化情況，分析結(jié)果對多孔材料板結(jié)構(gòu)在振動(dòng)噪聲控制中的應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

1 形成吻合效應(yīng)的條件

平面聲波以入射角θ向薄板透射時(shí)，在板內(nèi)除了脹縮波外，同時(shí)將激發(fā)產(chǎn)生彎曲波。如圖1所示，當(dāng)入射聲波向右上方傳播時(shí)，板中產(chǎn)生向上傳播的彎曲波。設(shè)入射聲波的波前到達(dá)AC一線時(shí)，在板上A處開始振動(dòng)，產(chǎn)生相應(yīng)的彎曲波。經(jīng)過一定時(shí)間后，彎曲波傳播至板上B處。如果這時(shí)入射聲波的波前剛好也到達(dá)B，那么入射聲波和彎曲波在B處的相位完全一致，互相迭加后，B處的振動(dòng)將得到加強(qiáng)。依次類推，隨著彎曲波向上的傳播，板振動(dòng)將隨距離越來越強(qiáng)烈。這種現(xiàn)象叫做吻合效應(yīng)，它是兩種類型的波動(dòng)在空間迭加時(shí)相位上相互吻合的結(jié)果?？梢钥闯?，吻合效應(yīng)與強(qiáng)迫振動(dòng)過程中的共振現(xiàn)象是類似的，只是在共振中振動(dòng)隨時(shí)間不斷加強(qiáng)，而在吻合效應(yīng)中振動(dòng)隨空間不斷加強(qiáng)。

圖1 斜入射時(shí)的彎曲波

當(dāng)板產(chǎn)生吻合效應(yīng)時(shí)，振動(dòng)越來越強(qiáng)烈，但實(shí)際上板振動(dòng)也不會(huì)無限制地增大。因?yàn)榘鍍?nèi)部或多或少地存在阻尼，并且板振動(dòng)輻射聲波也會(huì)產(chǎn)生輻射阻尼。這類似于振動(dòng)系統(tǒng)受迫共振時(shí)，由于存在阻尼使振動(dòng)振幅不會(huì)無限增大。

由圖1可知，產(chǎn)生吻合效應(yīng)的條件

(1)

(2)

如果彎曲波的相速cb小于空氣中的聲速c0，sinθ將大于1，θ角相應(yīng)為虛數(shù)，不會(huì)產(chǎn)生吻合效應(yīng)；反之當(dāng)cb≥c0時(shí)，取適當(dāng)?shù)摩冉强偰軡M足產(chǎn)生吻合效應(yīng)的條件。在實(shí)際隔聲問題中，聲場一般為擴(kuò)散，因此這時(shí)總能產(chǎn)生吻合效應(yīng)。由上可知，是否會(huì)產(chǎn)生吻合效應(yīng)的分界點(diǎn)是cb=c0。對于給定的板，彎曲波的相速cb隨頻率增大，因此存在一定的頻率fcr，使相應(yīng)的相速cb等于空氣中聲速c0。這個(gè)確定的頻率叫做板的臨界頻率。當(dāng)聲波頻率f等于或大于臨界頻率fcr時(shí)，cb≥c0，存在相應(yīng)的入射角θcr，使式(1)滿足。這個(gè)與頻率f相應(yīng)的入射角θ叫做臨界角。

由上可知，當(dāng)ffcr時(shí)，將產(chǎn)生吻合效應(yīng)，板強(qiáng)烈振動(dòng)，此時(shí)板中自由彎曲波將向外大量輻射聲，從而使板的聲輻射能力大大增加，隔聲性能(透射損失)也顯著變化。

2 飽和多孔薄板的臨界頻率和吻合頻率

考慮一含液飽和的平板置于xoy平面內(nèi)如圖2所示，采用Biot多孔介質(zhì)波動(dòng)理論，考慮固相和液相不可壓縮，基于經(jīng)典板理論，其薄板的振動(dòng)控制方程為[17]

(3)

圖2 波入射到平面上的示意圖

式(3)的解可以設(shè)為如下形式[18]

w=Aej(ωt-kxx-kyy)

(4)

將式(4)代入式(3)得到

(5)

(6)

如圖2所示，當(dāng)波速為c0的入射波以入射角θ射到板上。將激勵(lì)起的彎曲波的波速是c0/sinθ。當(dāng)它等于板上自由振動(dòng)彎曲波的波數(shù)cb時(shí)，就會(huì)發(fā)生吻合效應(yīng),這時(shí)頻率就是吻合頻率。所以把cb=c0/sinθ代入式(6)中得到

(7)

求解式(7)，最終可得到吻合頻率的公式為

(8)

由式(6)不難看出，隨著入射聲波的入射角的不同，薄板有無數(shù)個(gè)吻合頻率。當(dāng)θ=90°時(shí)，吻合頻率取最小值。所以，臨界頻率為

(9)

對于單相彈性薄板，式(8)和式(9)中不含ρf、kf項(xiàng)，且φ→0，此時(shí)，式(8)和式(9)可退化為

(10)

(11)

式(10)或式(11)與王海軍等的研究中給出的彈性薄板的吻合頻率和臨界頻率完全一致。

3 數(shù)值算例

為了對飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率進(jìn)行參數(shù)分析，選取飽和多孔介質(zhì)的材料物理力學(xué)參數(shù)為：ν=0.25，ρs=2 660 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3，E=3.6×108Pa，對于不同板厚h、不同入射角θ以及不同孔隙率φ、不同滲透系數(shù)kf下飽和多孔板的吻合頻率fc0進(jìn)行分析。

圖3給出了孔隙率φ=0.1，滲透系數(shù)kf=1.9×10-5m4·N-1·s-1的條件下，不同入射角θ=30°,45°,60°,90°，板厚h=0.05～0.25 m下，飽和多孔板吻合頻率fc0的變化規(guī)律。從圖中可以看出，當(dāng)飽和多孔板的密度ρ、 孔隙率φ、 滲透系數(shù)kf、入射角θ一定時(shí)，吻合頻率fc0隨著厚度h的增加非線性減小且變化速率逐漸變?。划?dāng)改變?nèi)肷浣铅葧r(shí)，吻合頻率隨著入射角θ的增大而減小，當(dāng)入射角θ=90°時(shí)，吻合頻率達(dá)到最小，為臨界頻率fcr；入射角以及板厚對吻合頻率和臨界頻率的影響比較明顯。

為了分析孔隙率φ，滲透系數(shù)kf對吻合頻率fc0的影響，取θ=30°，h=0.2 m，圖4給出了滲透系數(shù)在kf=10-1m4·N-1·s-1，10-3m4·N-1·s-1，10-6m4·N-1·s-1三種情況下，孔隙率φ=0.05～0.5時(shí)，飽和多孔板吻合頻率的變化曲線?？梢钥闯觯柡投嗫装宓奈呛项l率隨孔隙率的增加近似線性增加；孔隙率對吻合頻率的影響較明顯，而滲透系數(shù)的變化對飽和多孔板的吻合頻率幾乎沒有影響。

為了得出彈性板和飽和多孔板吻合頻率之間的關(guān)系，我們分別對比了不同孔隙率下飽和多孔板和彈性板的吻合頻率隨厚度、入射角的變化規(guī)律，如圖5、圖6所示。可以看出，彈性板的吻合頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于飽和多孔板的吻合頻率，且它們的吻合頻率隨板厚和入射角變化的趨勢相同，都隨板厚和入射角的增加非線性減小，彈性板的變化速率更大。

圖3 不同入射角下，吻合頻率隨厚度變化

Fig.3 Relations between plate thickness and coincidence frequency under different incident angle

圖4 不同滲透系數(shù)下，吻合頻率隨孔隙率變化

Fig.4 Relations between porosity and coincidence frequency under different permeability

圖5 吻合頻率隨板厚的變化

Fig.5 Relations between plate thickness and coincidence frequency

圖6 吻合頻率隨入射角的變化

Fig.6 Relations between incident angle and coincidence frequency

4 結(jié) 論

基于Biot飽和多孔介質(zhì)理論， 通過理論分析獲得了飽和多孔板吻合頻率和臨界頻率的計(jì)算公式，通過數(shù)值算例、參數(shù)分析，討論各影響因素對飽和多孔板吻合頻率和臨界頻率的影響規(guī)律，并對比了彈性板和不同孔隙率下飽和多孔板的吻合頻率，數(shù)值結(jié)果表明：

(1)飽和多孔板的厚度、入射角和孔隙率對吻合頻率的影響較大，滲透系數(shù)對飽和多孔板的吻合頻率幾乎沒有影響。

(2)飽和多孔板的吻合頻率隨板厚、入射角的增大而減小，隨孔隙率的增大而增大；當(dāng)入射角等于90°時(shí)，吻合頻率最小，為臨界頻率。

(3)在相同條件下，彈性板的吻合頻率和臨界頻率總大于飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率，它們的吻合頻率隨厚度和入射角變化的趨勢相同。

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