含預(yù)制孔容器內(nèi)爆問題的FEM-SPH耦合算法模擬

胡廷勛， 胡德安

(湖南大學(xué) 特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長沙 410082)

抗爆容器通常是指一定的爆炸物在其內(nèi)部爆炸時(shí)，對周圍環(huán)境不造成損壞和污染的一種密封抗壓容器。在軍事、科研、工業(yè)以及環(huán)保等領(lǐng)域都有應(yīng)用[1]，一般用于爆轟及爆炸效應(yīng)的試驗(yàn)研究，也可作為某種特殊要求的安全防護(hù)構(gòu)件。

內(nèi)爆容器實(shí)驗(yàn)研究成本昂貴，對實(shí)驗(yàn)環(huán)境和測試技術(shù)要求高，且受測試技術(shù)限制，所測實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)極為有限。相比較于實(shí)驗(yàn)研究，數(shù)值計(jì)算能夠更好地研究抗爆容器內(nèi)部爆炸載荷的特征和分布規(guī)律。光滑粒子流體動力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)方法作為一種具有無網(wǎng)格性質(zhì)和拉格朗日性質(zhì)的粒子法，能夠很自然的捕獲研究對象的運(yùn)動歷程，并且可以很容易地描繪出物質(zhì)交界面、自由表面以及運(yùn)動交界面等[2]。SPH方法的無網(wǎng)格特性也使得該方法可以在拉格朗日框架內(nèi)處理大變形問題，克服計(jì)算中大變形相關(guān)問題，故適宜采用SPH方法對高能炸藥爆炸過程進(jìn)行模擬分析。但是在小變形動力學(xué)問題中，SPH方法的精度和效率總體上沒有有限元(Finite Element Method, FEM)方法理想。因此，一個合理的方法就是在大變形區(qū)域應(yīng)用SPH算法，在小變形區(qū)域應(yīng)用傳統(tǒng)有限元方法進(jìn)行模擬分析[3]。

FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法根據(jù)等效塑性應(yīng)變自動將畸變FEM單元轉(zhuǎn)化為SPH粒子，既能避免單元畸變，又能減少了SPH計(jì)算區(qū)域，已成功應(yīng)用到爆炸、沖擊等問題的數(shù)值模擬中[4-6]。王吉等同時(shí)采用FEM算法、SPH算法和FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬Taylor碰撞問題，結(jié)果顯示自適應(yīng)耦合算法的結(jié)果更趨近于光滑粒子法，即畸變單元轉(zhuǎn)化為SPH粒子對模擬結(jié)果影響較小，無傳統(tǒng)FEM侵蝕算法刪除單元產(chǎn)生的誤差。因此，在FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法中，可以充分發(fā)揮SPH算法模擬大變形問題無單元畸變和FEM算法模擬小變形問題效率高的特點(diǎn)和優(yōu)勢。

目前，對容器內(nèi)爆問題的模擬主要采用有限差分法、有限體積法、任意拉格朗日歐拉(Arbitrary Lagrange-Euler, ALE)方法[7-9]等開展研究。基于歐拉格式的數(shù)值方法需要補(bǔ)充額外的算法追蹤界面，并且界面追蹤的精度要求越高，計(jì)算所需的時(shí)間越多。應(yīng)用FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法對容器內(nèi)爆問題的模擬可自然的追蹤移動界面，但相關(guān)研究還比較缺乏。本文結(jié)合相關(guān)實(shí)驗(yàn)，采用FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬含預(yù)制孔容器在內(nèi)爆載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)，同時(shí)也用LS-DYNA軟件中的ALE算法得到的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，研究FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬內(nèi)爆問題的適用性，為內(nèi)爆容器問題數(shù)值模擬研究提供有效途徑。

1 FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法

1.1 基本方程

將人工黏度和人工熱量考慮在內(nèi)的SPH離散格式表示的Navier-Stokes方程組可寫為[10]

(1)

式中：m為質(zhì)量;ρ為密度;e為內(nèi)能;να為速度分量;σαβ為總應(yīng)力張量;xα為空間坐標(biāo);t為時(shí)間;p為各向同性壓力;εαβ為黏性剪切應(yīng)力;∏ij為人工黏度;Hi為人工熱量;W為光滑函數(shù)。光滑函數(shù)選取三維空間的二次光滑函數(shù)，即

0 ≤R≤ 2

(2)

式中：h為光滑長度。R=r/h，r為兩點(diǎn)間的距離。SPH方法在模擬炸藥爆炸和容器內(nèi)空氣時(shí)總應(yīng)力張量只考慮壓力作用，而在模擬容器時(shí)需考慮黏性剪切應(yīng)力項(xiàng)。

FEM相關(guān)理論已經(jīng)發(fā)展的很成熟，F(xiàn)EM模擬爆炸沖擊問題的基本方程詳見文獻(xiàn)[11]。

1.2 FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法

文中FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法采用三維四面體單元對含預(yù)制孔容器、炸藥及空氣進(jìn)行初始離散，計(jì)算過程中，以材料的等效塑性應(yīng)變?yōu)榕袚?jù)，當(dāng)表征材料的有限單元等效塑性應(yīng)變達(dá)到預(yù)設(shè)值時(shí)，單元自動轉(zhuǎn)換成SPH粒子。

單元轉(zhuǎn)化為粒子后，粒子的質(zhì)量、速度和質(zhì)心與原單元保持一致。粒子半徑d的計(jì)算公式為

(3)

式中：V為有限單元轉(zhuǎn)化成SPH粒子時(shí)的體積。

有限元四面體單元分三種情況轉(zhuǎn)化為SPH粒子，如圖1所示。單元A轉(zhuǎn)化為粒子A后，在接觸列表中刪除三角形面a-b-c和a-c-d，增加面a-b-d和b-c-d，而光滑粒子A只能固接在一個接觸面上，選擇其中面積最大面進(jìn)行耦合；光滑粒子B生成以后，原接觸主面e-f-g、e-g-h和e-h-f被刪除，新增加接觸主面f-g-h，粒子B與面f-g-h耦合；單元C的四個面在轉(zhuǎn)化為粒子后則全部刪除，粒子C與節(jié)點(diǎn)k耦合。針對以上單元和粒子的耦合，本文采用Johnson提出的耦合算法進(jìn)行處理，文獻(xiàn)[12]中給出了具體的耦合算法理論和公式。耦合算法用于處理同一物體內(nèi)部單元與粒子的相互作用。

(a)單元轉(zhuǎn)化為粒子前(b)單元轉(zhuǎn)化為粒子后

圖1 四面體單元轉(zhuǎn)化為粒子示意圖

Fig.1 Schematic diagram of the tetrahedral elements transformed into particles

FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法中存在三種接觸，即粒子-單元、單元-單元及粒子-粒子接觸，Johnson等[13-14]提出的對稱接觸、滑移界面算法以及粒子與單元接觸算法，能較好地處理單元-單元和單元-粒子之間的接觸。Campbell等[15]提出的粒子-粒子罰接觸算法，可較好地處理粒子-粒子之間的相互作用。接觸算法用于處理不同物體之間的相互作用。

本文所建立的模型中，炸藥與空氣采用共節(jié)點(diǎn)單元進(jìn)行初始離散，炸藥、空氣與容器之間的相互作用采用接觸算法進(jìn)行計(jì)算。炸藥、空氣與容器的等效塑性應(yīng)變判定值分別為0.05、0.01和0.5，能夠保證內(nèi)部炸藥與空氣起爆后迅速轉(zhuǎn)化為SPH粒子。新產(chǎn)生的粒子在后續(xù)的計(jì)算中，相關(guān)物理量通過SPH方程計(jì)算，并引入單元-粒子耦合算法。隨著單元不斷轉(zhuǎn)化成粒子，單元區(qū)域與粒子區(qū)域不斷發(fā)生變化，在計(jì)算中會不斷更新耦合界面。

2 材料模型

數(shù)值模擬中，TNT炸藥模型采用以下本構(gòu)方程[16]為

(4)

(5)

式中：Tr為室溫；Tm為熔化溫度。TNT炸藥本構(gòu)方程材料常數(shù)見表1。

空氣介質(zhì)在起爆后迅速轉(zhuǎn)化為SPH粒子，轉(zhuǎn)化時(shí)其體膨脹率比較小，計(jì)算時(shí)采用一般的黏性流體運(yùn)動公式，即[17]

(6)

(7)

式中：E為單位體積內(nèi)能；V為相對體積；C1、C2為材料常數(shù)?？諝獾某跏純?nèi)能為0，密度取1.225 kg/m3，初始相對體積取1.0，C1=C2=0.4。

對TNT炸藥爆炸的壓力-體積-能量特征的描述采用JWL方程，即

(8)

式中：VT為比容；E0為爆炸氣體密度與初始炸藥密度的比值；e為單位質(zhì)量炸藥的內(nèi)能；A、B、R1、R2、ω為擬合系數(shù)。在計(jì)算中還會用到炸藥初始密度ρ0，爆轟速度D，以及Chapman-Jouget壓力PCJ。TNT炸藥JWL方程相關(guān)參數(shù)見表2。

含預(yù)制孔金屬容器采用Johnson-Cook本構(gòu)模型和Mie-Gruneisen狀態(tài)方程進(jìn)行描述，即

(9)

表1 TNT本構(gòu)關(guān)系中的材料常數(shù)

表2 TNT炸藥JWL方程參數(shù)

表3 金屬容器材料參數(shù)

3 數(shù)值模型及結(jié)果驗(yàn)證

[7-9]中采用不同尺寸的含預(yù)制孔金屬容器進(jìn)行了內(nèi)爆加載實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)方案如圖2所示。本文建立了不同藥量TNT在不同厚度含預(yù)制孔容器內(nèi)的爆炸模型，數(shù)值模型與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)的試件尺寸、材料，預(yù)制孔形貌與位置、裝藥形狀、裝藥位置保持一致。模型中TNT炸藥為等長徑比圓柱形。由于模型的特點(diǎn)，采用三維實(shí)體建模。為了減小計(jì)算規(guī)模，建立1/2對稱模型。論文分別采用FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法和LS-DYNA軟件中ALE算法進(jìn)行模擬，如圖3所示，ALE算法中采用流固耦合定義容器與內(nèi)部爆炸流場的相互作用。數(shù)值模擬獲取爆炸過程中筒壁的Von-Mises應(yīng)力圖、鼓包半徑以及預(yù)制孔變化情況。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果、FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法結(jié)果及ALE算法結(jié)果的對比，研究FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬內(nèi)爆容器爆炸響應(yīng)的有效性。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

為保證本文模型能夠?qū)ψ罱K破壞形貌進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，論文參考文獻(xiàn)[18]，將含預(yù)制孔容器可能破壞區(qū)域的計(jì)算網(wǎng)格尺寸設(shè)置小于1 mm。

(a)FEM-SPH模型(b)ALE模型

(c)容器有限元模型(d)開孔局部放大

圖3 數(shù)值計(jì)算模型

Fig.3 Numerical model

3.1 15 g TNT炸藥內(nèi)爆加載下的薄壁容器

薄壁容器長度為250 mm，外徑為76 mm，厚度為3 mm。預(yù)制孔長度為5 mm，寬度為1 mm。圖4給出了實(shí)驗(yàn)和FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法得到的含預(yù)制孔容器在爆炸載荷作用下的最終形貌。實(shí)驗(yàn)以及數(shù)值模擬得到最終的鼓包半徑、收縮長度、預(yù)制孔寬度及長度如表4所示。另外，由于參考文獻(xiàn)中實(shí)驗(yàn)沒有給出內(nèi)爆加載下薄壁容器的動態(tài)響應(yīng)過程量，論文進(jìn)一步選取即有大變形又遠(yuǎn)離預(yù)制孔應(yīng)力集中區(qū)域的A點(diǎn)(示意圖如圖3(c)所示)的Von-Mises應(yīng)力值隨時(shí)間變化曲線對比分析ALE算法與FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法。由數(shù)值模擬結(jié)果可以知道，A點(diǎn)應(yīng)力值在50 μs左右達(dá)到最大值，故選取0～70 μs時(shí)間段進(jìn)行比較研究，如圖5所示。從圖表中可以看出，采用FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法得到的結(jié)果與LS-DYNA軟件中ALE算法模擬得到的結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果都比較吻合，定性的驗(yàn)證了FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬薄壁容器內(nèi)爆問題的有效性。

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(b)FEM-SPH模型計(jì)算結(jié)果

圖4 薄壁容器實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬獲得的最終形貌

Fig.4 The final morphology obtained by the experiment and numerical simulation for the thin-walled vessel

圖5 A點(diǎn)的Von-Mises應(yīng)力

3.2 600 g TNT炸藥內(nèi)爆加載下的厚壁容器

厚壁容器長度為1 000 mm，外徑為93.5 mm，厚度為18.5 mm。預(yù)制孔長度為15 mm，寬度為2 mm。針對內(nèi)爆載荷作用下的厚壁容器，文獻(xiàn)[9]研究表明預(yù)制孔裂紋會沿著絕熱剪切帶方向擴(kuò)展，此時(shí)將呈現(xiàn)絕熱剪切為主導(dǎo)的韌性斷裂模式。圖6所示為實(shí)驗(yàn)得到的最終形貌與FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法計(jì)算得到的結(jié)果的比較。從圖中可以看出，采用FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)得到的孔口破壞形貌有一定差別，但基本能反應(yīng)出絕熱剪切破壞。表5中進(jìn)一步比較了實(shí)驗(yàn)、FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法與ALE算法計(jì)算得到的鼓包半徑、收縮長度、孔口的寬度和剪切角，從表中可以看出FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法與ALE算法模擬結(jié)果具有較好的一致性，并且與實(shí)驗(yàn)獲得的剪切破壞角度吻合較好。表5中數(shù)值模擬計(jì)算得到的孔端點(diǎn)距離與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差距，這是由于含預(yù)制孔容器在內(nèi)爆加載下金屬材料存在斷裂破壞，這部分理論在本構(gòu)方程描述中還有待進(jìn)一步完善。另外，ALE算法得到的孔口的寬度也與ALE界面追蹤算法的精度有關(guān)，兩種數(shù)值模擬方法的結(jié)果也僅是定性的比較驗(yàn)證FEM-SPH模型的合理性。

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(b)FEM-SPH模型計(jì)算結(jié)果

圖6 厚壁容器實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬獲得的最終形貌

Fig.6 The final morphology obtained by the experiment and numerical simulation for the thick-walled vessel

論文為了進(jìn)一步分析FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬內(nèi)爆問題的有效性，選取A1點(diǎn)的Von-Mises應(yīng)力值對FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法與ALE算法進(jìn)行比較研究，A1點(diǎn)的位置示意如圖3(c)所示。由數(shù)值模擬結(jié)果可知，A1點(diǎn)Von-Mises應(yīng)力值在100 μs左右達(dá)到最大值，所以選取0～120 μs時(shí)間段進(jìn)行研究。圖7所示為FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法以及ALE算法得到的A1點(diǎn)在0～120 μs的Von-Mises應(yīng)力。從圖7中可以看出，由FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法得到的A1點(diǎn)的Von-Mises應(yīng)力值與LS-DYNA中的ALE算法得到結(jié)果吻合較好。本模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步闡述了FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬內(nèi)爆厚壁容器爆炸響應(yīng)的合理性。

圖7 A1點(diǎn)的Von-Mises應(yīng)力

表4 薄壁容器實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬得到的最大鼓包半徑、收縮長度、孔口寬度及長度

表5厚壁容器實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬得到的最大鼓包半徑、收縮長度、孔口的寬度和剪切角

Tab.5Themaximumbulgingradius,finallength,widthandshearangleoftheholeobtainedbytheexperimentandnumericalsimulationsforthethick-walledvessel

鼓包半徑/mm收縮長度/mm孔端點(diǎn)距離/mm剪切破壞角度/(。)實(shí)驗(yàn)FEM-SPHALE111106998998110697245.042.050.4

4 容器內(nèi)介質(zhì)的動態(tài)響應(yīng)

在炸藥與靶體距離較近或者嵌入靶體內(nèi)部的情況下，F(xiàn)EM-SPH自適應(yīng)耦合算法模擬爆炸問題一般都忽略炸藥周圍空氣對爆炸毀傷效應(yīng)的影響。由于內(nèi)爆容器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，空氣介質(zhì)會對容器的爆炸毀傷效應(yīng)產(chǎn)生顯著影響。因此，本文在前面模型計(jì)算中，考慮了空氣的影響，并且初始模型全部采用單元進(jìn)行離散，充分利用FEM計(jì)算效率高的特點(diǎn)。計(jì)算過程中，將大變形處的單元自動轉(zhuǎn)化為SPH粒子，再利用SPH方法模擬大變形計(jì)算精度高、無網(wǎng)格依賴的特點(diǎn)進(jìn)行模擬計(jì)算。圖8給出了厚壁容器內(nèi)70 μs前炸藥和空氣介質(zhì)的離

散分布。從圖中可以看出炸藥和空氣介質(zhì)單元轉(zhuǎn)化為SPH粒子的過程，并且容器內(nèi)壁處由于接觸力的作用，使得單元更先轉(zhuǎn)化為SPH粒子。

SPH方法作為一種具有無網(wǎng)格性質(zhì)和拉格朗日性質(zhì)的粒子法，研究對象的運(yùn)動歷程能夠很自然地被捕獲，可以很好地描述容器內(nèi)部空氣介質(zhì)的爆轟變化過程，能夠更方便描述爆轟過程對于周圍環(huán)境的影響。本文薄壁容器和厚壁容器在爆炸載荷作用下內(nèi)部介質(zhì)的運(yùn)動歷程分別如圖9和圖10所示。從圖9和圖10中可以看出，由于厚壁容器的長度是薄壁容器長度的4倍，盡管厚壁容器內(nèi)的炸藥藥量增加了，但是空氣從厚壁容器的兩個端口噴出的時(shí)間還是滯后，并且模擬結(jié)果中可以明顯看到空氣粒子從容器預(yù)制孔中噴出。

圖11和12給出了薄壁容器和厚壁容器內(nèi)測點(diǎn)的壓力曲線，圖中A2和A3點(diǎn)距各自炸藥中心的距離與炸藥中心到容器壁的距離一致。從圖中可以看出，TNT炸藥在空氣中形成壓力脈沖的時(shí)間為微秒級，由于厚壁容器內(nèi)的炸藥藥量更大，使得其壓力脈沖峰值更高，脈沖持續(xù)時(shí)間更長。薄壁容器測點(diǎn)A2處的壓力峰值為220 MPa，壓力脈沖持續(xù)時(shí)間約為40 μs。厚壁容器測點(diǎn)A3處的壓力峰值為420 MPa，壓力脈沖持續(xù)時(shí)間約為60 μs。

(a) t=15 μs

(b) t=20 μs

(c) t=25 μs

(d) t=30 μs

(e) t=40 μs

(a) t=20 μs

(b) t=40 μs

(c) t=60 μs

(d) t=100 μs

(e) t=150 μs

(f) t=300 μs

(a) t=20 μs

(b) t=40 μs

(c) t=70 μs

(d) t=100 μs

(e) t=150 μs

(f) t=200 μs

(a)A2點(diǎn)位置(b)A2點(diǎn)壓力變化

圖11 薄壁容器內(nèi)測點(diǎn)A2處的壓力變化

圖12 厚壁容器內(nèi)測點(diǎn)A3處的壓力變化

Fig.12 Pressure curve of pointA3 in the thick-walled vessel

5 結(jié) 論

本文建模過程中考慮空氣的影響，采用三維FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法對不同藥量下不同厚度內(nèi)爆容器的爆炸響應(yīng)過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。通過與實(shí)驗(yàn)及LS-DYNA軟件中ALE算法的對比，表明FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法能夠有效再現(xiàn)帶預(yù)制孔內(nèi)爆容器的爆炸鼓包過程和開孔損傷破壞過程。FEM-SPH自適應(yīng)耦合算法可為容器內(nèi)爆載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)提供有效的模擬計(jì)算途徑。

論文研究給出了有限單元轉(zhuǎn)化為SPH粒子的過程，表明接觸界面處的單元更先轉(zhuǎn)化為粒子。并且單元轉(zhuǎn)化為SPH粒子后，SPH方法可以較容易的捕獲內(nèi)爆容器內(nèi)炸藥和空氣介質(zhì)的運(yùn)動過程，獲得容器內(nèi)測量點(diǎn)的壓力脈沖。論文研究結(jié)果表明，本文模型模擬結(jié)果符合內(nèi)爆容器的規(guī)律特征，可為內(nèi)爆容器研究提供參考。

參 考 文 獻(xiàn)

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