微銑削中考慮時(shí)變切削力系數(shù)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

劉 宇, 王振宇, 楊慧剛, 張義民

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽(yáng) 110819； 2.菏澤學(xué)院 蔣震機(jī)電工程學(xué)院，山東 菏澤 274015)

隨著微銑刀加工技術(shù)的不斷提高，微銑削的應(yīng)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣，如芯片上的微通道總線，微型燃料電池，微噴頭，光纖微孔等。然而銑削加工過(guò)程中的再生顫振問(wèn)題仍嚴(yán)重制約著機(jī)床的加工效率和工件的加工精度。

目前顫振預(yù)測(cè)的方法主要有四種：Altintas等[1]提出的定向法，該方法根據(jù)定向系數(shù)將二維銑削動(dòng)力學(xué)參數(shù)定向到切削合力方向，又被稱為準(zhǔn)單自由度法；Altintas等[2]提出的零階近似法，該方法給出了精確計(jì)算時(shí)變切削力的解析表達(dá)式，為精確近似時(shí)變的切削力提供了新的思路；Elbeyli等[3]提出的半離散法和Ding等[4]提出的全離散方法，將切削過(guò)程均分成若干等份，通過(guò)求解延時(shí)微分方程獲得銑削加工的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。此后，研究發(fā)現(xiàn)由于刀具的磨損、材料的分布不均勻、測(cè)量誤差、噪聲干擾、加工環(huán)境的變化、高主軸轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的非線性問(wèn)題以及是否使用冷卻液等，致使實(shí)際加工過(guò)程中切削力系數(shù)、固有頻率等都是不確定參數(shù)[5-6]，這些不確定參數(shù)又可根據(jù)是否與時(shí)間有關(guān)分為隨機(jī)參數(shù)和時(shí)變參數(shù)。穩(wěn)定性葉瓣圖對(duì)模態(tài)參數(shù)的變化特別敏感，因此這些參數(shù)的變動(dòng)必然對(duì)顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)產(chǎn)生很大的影響。在上述研究中，所有的方法都將加工系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料切削性能參數(shù)等看作確定性量。

針對(duì)加工過(guò)程中參數(shù)的隨機(jī)性問(wèn)題，有些學(xué)者提出了包含隨機(jī)參數(shù)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法。Duncan等首次提出了參數(shù)的不確定性對(duì)穩(wěn)定性葉瓣圖的影響，指出加工過(guò)程中的頻響函數(shù)和切削力系數(shù)都是隨機(jī)參數(shù)。Park等[7]將魯棒穩(wěn)定性引入到顫振預(yù)測(cè)模型中，并將固有頻率和切削力系數(shù)當(dāng)作不確定參數(shù)，通過(guò)對(duì)這些參數(shù)取最大最小值并結(jié)合魯棒穩(wěn)定性原理得出顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。Sims等[8]將模糊算法引入到顫振預(yù)測(cè)中，用隸屬度表示參數(shù)的變化范圍，并得到模糊穩(wěn)定性葉瓣圖。Totis[9]將概率算法引入車削過(guò)程中，建立了銑削動(dòng)態(tài)不確定模型，分析了系統(tǒng)的顫振魯棒穩(wěn)定性。Liu[10]將動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的可靠性分析引入車削系統(tǒng)的顫振預(yù)測(cè)中，得到一系列不同可靠度下的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。上述顫振預(yù)測(cè)方法雖然考慮到參數(shù)的隨機(jī)特性，但在其預(yù)測(cè)中都將隨機(jī)參數(shù)都看作時(shí)不變的，并沒(méi)有考慮因刀具磨損導(dǎo)致的刀刃半徑和切削力系數(shù)等參數(shù)的時(shí)變特征。

刀具磨損是一個(gè)時(shí)變的過(guò)程，因此在其影響下的刀刃半徑和切削力系數(shù)也是時(shí)變的。Li等[11]研究發(fā)現(xiàn)微銑削中刀具的磨損使得刀刃半徑和X，Y，Z方向上的切削力均逐漸增。Karandikar等[12]研究發(fā)現(xiàn)切向切削力和徑向切削力隨刀具磨損量的增加而增加。

研究表明微銑削中刀刃半徑的大小對(duì)切削力和顫振穩(wěn)定性都有顯著的影響。Bierman等[13]研究表明刀刃半徑的大小對(duì)系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性有顯著的影響。Afazov等[14-15]發(fā)現(xiàn)微銑削中刀刃半徑越大切削力越大，并用非線性方程描述了刀刃半徑與切削力系數(shù)之間的關(guān)系，繪制出了不同刀刃半徑下的穩(wěn)定性葉瓣圖。Jin等[16]建立了包含刀刃半徑的切削力系數(shù)模型，考慮略刀刃半徑對(duì)過(guò)程阻尼的影響進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。然而他們只是將刀具的大小當(dāng)作定值忽略了刀具磨損導(dǎo)致的刀刃半徑的隨機(jī)性和時(shí)變問(wèn)題。

針對(duì)加工參數(shù)的隨機(jī)特性和刀具磨損導(dǎo)致的參數(shù)的時(shí)變問(wèn)題，本文將動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠性分析思想引入到銑削加工系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性分析中，用伽馬過(guò)程描述刀刃半徑隨切削時(shí)間的變化關(guān)系，進(jìn)而得到了不同切削刻下切削力系數(shù)的大小。建立了顫振時(shí)變穩(wěn)定性和顫振時(shí)變可靠性模型，分析了微銑削加工中的時(shí)變穩(wěn)定性和時(shí)變可靠性并繪制出系統(tǒng)的時(shí)變穩(wěn)定性和時(shí)變可靠度曲線。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分為微銑削的力學(xué)建模，將切削力系數(shù)用含刀刃半徑的方程表示；第二部分為刀具的磨損量建模，用Gamma過(guò)程描述了刀刃半徑隨時(shí)間的變化關(guān)系；第三部分為系統(tǒng)顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模與分析與模型簡(jiǎn)化，給出了包含時(shí)間信息的極限切深與顫振可靠度的數(shù)學(xué)表達(dá)式；第四部分建立了系統(tǒng)給的時(shí)變可靠性模型；第五部分為算例研究；第六部分為結(jié)論。

1 刀刃半徑時(shí)變規(guī)律建模

Gamma過(guò)程是一個(gè)具有獨(dú)立、非減且時(shí)間和狀態(tài)都是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程。其增量服從Gamma 分布。由Li等[17-18]的論文可知刀具磨損是一個(gè)典型的連續(xù)時(shí)間、 連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程，并且由于其不可自我修復(fù)，因此也是一個(gè)增量非減的過(guò)程，故本文用Gamma過(guò)程來(lái)描述刀具的磨損量與時(shí)間之間的關(guān)系。定義r(t)(其中t的單位為小時(shí))為t時(shí)刻刀刃半徑的增量。由Gamma過(guò)程的定義可知其概率密度函數(shù)為

(1)

式中：Ga為Gamma分布函數(shù)；Γ為Gamma函數(shù)；μ，v(t)分別為伽馬分布中的尺度參數(shù)的倒數(shù)和形狀參數(shù)；I(0, ∞)為當(dāng)x∈[0, ∞]時(shí)其值為1, 否則為0的函數(shù)。R(t)的均值和方差分別表示為

(2)

Moriwaki等[19]研究表明，期望的劣化值與能量規(guī)律成正比，所以刀刃半徑增量的期望值可以表示為

(3)

式中：μ、b和c都是大于零的實(shí)數(shù)，可由曲線擬合得到。所以Gamma過(guò)程中的形狀參數(shù)可以表示為

v(t)=ctb

(4)

所以在t時(shí)刻是刀刃半徑的大小可表示為

(5)

式中：r0為加工初始時(shí)刻刀刃半徑的大?。籺時(shí)刻是刀刃半徑的均值可表示為

(6)

微銑刀磨損前后的形狀如圖1所示。

圖1(a)為微銑刀整體尺寸，圖1(b)為刀具磨損前的刀刃半徑大小，圖1(c)為磨損后刀刃半徑的大小。

2 包含刀刃半徑時(shí)變切削力系數(shù)建模

微銑削中由于切深較小一般在25 μm以下，微銑刀的刀刃半徑一般在3～20 μm[19]，因而刀刃半徑的變化直接影響切削力的大小。故，如何精確的建立刀刃半徑與切削力系數(shù)之間的關(guān)系成為了研究刀刃半徑對(duì)加工過(guò)程穩(wěn)定性影響的關(guān)鍵。本文結(jié)合了 Jin等論文中的切削力系數(shù)模型，研究了加工時(shí)間與切削力系數(shù)之間的關(guān)系具體表達(dá)式如下

(a)(b) (c)

圖1 微銑刀磨損前后刀刃半徑的變化對(duì)比

Fig.1 Comparison of cutting edge radius between new and wear tool in micro-milling

Kt(h,r(t))=αthdt+βthptr(t)qt=

(7)

Kr(h,r(t))=αrhdr+βrhprr(t)qr=

(8)

式中：Kt，Kr分別為切向切削力系數(shù)和徑向切削力系數(shù)；α,β,d,p,q為常數(shù)。本文Deform-2D仿真技術(shù)獲取微切削材料AL6061的切削力，進(jìn)而求取其切削力系數(shù)，刀具前角為5°，后角為7°，刀刃半徑r在[1,20] μm內(nèi)變化，切厚h在[0.5, 20]μm內(nèi)變動(dòng)，進(jìn)給速度為4.5 μm每刃，其余參數(shù)與Jin等均相同，網(wǎng)格單元尺寸為0.05μm。各參數(shù)擬合后的大小如表1所示。

表1 切削力系數(shù)的大小

3 微銑削中顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模

3.1 顫振穩(wěn)定性建模

如圖2所示，我們將mx,my,kx,ky,cx,cy定義為兩自由度銑削模型在X方向和Y方向上的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼，h表示曲面法向方向的動(dòng)態(tài)切削厚度，h=x(t)-x(t-T)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下

(9)

(10)

式中：N為銑刀刀刃數(shù)；φi為第i個(gè)齒的回轉(zhuǎn)角，F(xiàn)t,i,Fr,i分別為第i個(gè)齒在切向和徑向方向上的分力，其大小可以表示為

圖2 微銑削力學(xué)模型

(11)

Fr,j=KrFt,j

(12)

式中：a為軸向切深；將上述公式寫(xiě)成矩陣的形式如下

(13)

式中：Kt為切向切削力系數(shù)；Δx,Δy分別為X和Y方向上當(dāng)前和上一周期的位移差，即切厚。αxx,αxy,αyx,αyy為平均定向因子，其表達(dá)式分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：φj為浸入角；φst,φex分別為銑刀的切入角和切出角，槽銑時(shí)其大小分別為0和π。Kn為徑向切削力系數(shù)與切向切削力系數(shù)的比值，具體表達(dá)式如下

Kn(h,r(t))=Kt(h,r(t))/Kr(h,r(t))

(18)

將上述時(shí)變平均定向因子代入式(20)和式(21)，然后將代入后的值代入式(19)時(shí)變特征方程，如下所示

a0(r(t))Δ2+a1(r(t))Δ+1=0

(19)

a0(r(t))=φxx(iω)φyy(iω)×

(αxx(r(t))αyy(r(t))-αxy(r(t))αyx(r(t)))

(20)

a1(r(t))=αxx(r(t))φxx(iω)+αyy(r(t))φyy(iω)

(21)

式中：φxx,φyy分別為銑削系統(tǒng)在X和Y方向上的頻響函數(shù)。為繪制系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖我們用切削時(shí)間t處刀刃半徑的均值代替該時(shí)刻的刀刃半徑大小。求解式(19)可得系統(tǒng)的時(shí)變特征值λ(E[r(t)])，及其對(duì)應(yīng)的時(shí)變特征值的實(shí)部Re(λ(E[r(t)]))和虛部Im(λ(E[r(t)]))。則系統(tǒng)在t時(shí)刻的極限切深可表示如下

(22)

(23)

(24)

3.2 顫振穩(wěn)定性簡(jiǎn)化模型

為便于計(jì)算微銑削顫振時(shí)變可靠度，我們將Kn看作常數(shù)，大小為加工初始時(shí)刻切向切削力和徑向切削力系數(shù)的比值。由式(14)～式(17)可知銑削系統(tǒng)的平均定向因子αxx,αxy,αyx,αyy均為常數(shù)，則同一主軸轉(zhuǎn)速在不同切削時(shí)刻下對(duì)應(yīng)的特征值也是固定的，所以系統(tǒng)的極限切深和主軸轉(zhuǎn)速可簡(jiǎn)化為

(25)

極限切深對(duì)應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速可表示為

(26)

(27)

為檢驗(yàn)簡(jiǎn)化后的模型精度，本文令Kn的值為0.357 7,并在同一加工條件下選取主軸轉(zhuǎn)速分別為40 000和60 000時(shí)比較了顫振穩(wěn)定性模型化簡(jiǎn)前后其極限切深隨加工時(shí)間的變化，如圖3所示。其不同切削時(shí)刻下極限切深的波動(dòng)大小如表2所示。

(a)(b)

圖3 簡(jiǎn)化前后的極限切深對(duì)比

Fig.3 Comparison between model and simplified model of the limit cut depth

由圖3和表2可知顫振時(shí)變穩(wěn)定性模型簡(jiǎn)化后對(duì)其極限切深的影響很小，最大波動(dòng)率為4.57%。所以本文在進(jìn)行時(shí)變顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)時(shí)將徑向切削力系數(shù)和切向切削力系數(shù)的比值看作定值。

表2 模型簡(jiǎn)化前后極限切深的波動(dòng)率

4 微銑削顫振時(shí)變可靠性建模與計(jì)算

4.1 顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模

定義銑削加工過(guò)程中當(dāng)軸向切深小于對(duì)應(yīng)主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深時(shí)系統(tǒng)可靠，否則不可靠，則系統(tǒng)的功能函數(shù)可以表示為

g(X)=blim-b0

(28)

式中：b0為銑削過(guò)程中加工的軸向切深；g(X)為系統(tǒng)失效的概率密度函數(shù)，系統(tǒng)的時(shí)變可靠度可以表示為

(29)

式中：XR為積分區(qū)間。定義加工過(guò)程中考慮時(shí)變參數(shù)的顫振可靠性分析為顫振時(shí)變可靠性分析。

4.2 顫振時(shí)變穩(wěn)定性計(jì)算

則將式(25)代入式 (28)和式(29)可得包含時(shí)變切削力系數(shù)的功能函數(shù)和顫振時(shí)變可靠度，如式(30)、式(31)所示

(30)

(31)

由式(31)可知，在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí)，刀刃半徑的大小是影響系統(tǒng)顫振可靠度大小的唯一因素。由式(7)和式(8)知在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí)系統(tǒng)的切削力系數(shù)隨刀刃半徑的增加而單調(diào)遞增，因此，在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí)，刀刃半徑的概率分布直接決定了系統(tǒng)的顫振可靠度，故系統(tǒng)的顫振時(shí)變可靠度可簡(jiǎn)化成如下形式

(32)

式中：0～rtb為積分區(qū)間；XR，rtb為給定主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深為b0時(shí)對(duì)應(yīng)的刀刃半徑大小。可由式(33)求得。

(33)

由于式(33)不存在解析解，故本文采用二分法計(jì)算給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下對(duì)應(yīng)的顫振臨界點(diǎn)的刀刃半徑rtb大小。當(dāng)rtb有解時(shí)，對(duì)式(32)進(jìn)行定積分可得該時(shí)刻下的顫振可靠度

(34)

式中：γ為不完全Gamma函數(shù)具體如式(35)所示

(35)

式中：a,z,η為已知量。當(dāng)式(33)無(wú)解時(shí)，若在二分法的求解范圍[ra,rb]的端點(diǎn)值大于零則Pr(X)=0，否則Pr(X)=1。

4.3 給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深和顫振可靠度曲線

顫振時(shí)變可靠度是用來(lái)描述加工過(guò)程中不發(fā)生顫振的概率。計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 顫振時(shí)變可靠度流程圖

在銑削過(guò)程中軸向切深b0主軸轉(zhuǎn)速Ω和進(jìn)給速度υ一定時(shí)，將式(6)計(jì)算得到的不同時(shí)刻下的刀刃半徑的均值代入式(9)和式(10)得時(shí)變切削力系數(shù)，然后將其先后代入式(14)～式(21)的系統(tǒng)在不同切削時(shí)間下的特征值。然后將其代入式(25)可得t時(shí)刻下的極限切深，由式(26)和式(27)可得對(duì)應(yīng)極限切深下的主軸轉(zhuǎn)速，進(jìn)而可得系統(tǒng)在t時(shí)刻的穩(wěn)定性葉瓣圖。將計(jì)算得到的不同切削時(shí)間下的特征值代入式(33)得到積分上限r(nóng)tb由式(34)可得在給定加工條件下切削時(shí)間為t時(shí)系統(tǒng)的顫振可靠度值。然后以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，以t時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的可靠度為縱坐標(biāo)畫(huà)圖，得系統(tǒng)在給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的顫振時(shí)變可靠度曲線。

5 算例研究

5.1 擬合Gamma過(guò)程參數(shù)

Gamma過(guò)程中參數(shù)的具體數(shù)值可由數(shù)據(jù)擬合得到。實(shí)驗(yàn)中采用WC/Co材料的不帶涂層的兩刃銑刀，刀刃半徑為3 μm，切削材料為AL6061。主軸轉(zhuǎn)速為65 000 r/min，進(jìn)給速度為4.5 μm每齒，切深為45 μm。 實(shí)驗(yàn)中刀刃半徑與切削時(shí)間的關(guān)系[20]如圖5(a)中的圓點(diǎn)所示。我們通過(guò)數(shù)據(jù)擬合方式獲得刀刃半徑的Gamma過(guò)程的模型參數(shù)，并繪制了刀刃半徑在不同切削時(shí)刻下的Gamma分布和均值，如圖5(a)中各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的曲線和方塊所示。其中“方塊”在“圓”和“三角形”中間，如圖5(a)中局部放大的部分。圖5(b) 為Gamma過(guò)程預(yù)測(cè)的刀刃半徑在不同切削時(shí)刻下的標(biāo)準(zhǔn)差。

(a)(b)

圖5 刀刃半徑的擬合結(jié)果

Fig.5 Fitting results of cutting edge radius

Gamma過(guò)程的擬合參數(shù)大小如表3所示。

表3 Gamma過(guò)程擬合參數(shù)

5.2 微銑削加工過(guò)程中顫振時(shí)變穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

本文選用超精密立式數(shù)控銑床(Kern Micro 2255) 進(jìn)行銑削加工的顫振穩(wěn)定性研究，該銑削加工系統(tǒng)的刀尖點(diǎn)模態(tài)參數(shù)[21]如表4所示。

由式(25)～式(27)可得系統(tǒng)在不同切削時(shí)間下的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖如圖6所示。圖6顯示隨著切削時(shí)間的增加其葉瓣圖逐漸降低。

表4 銑削系統(tǒng)的刀尖點(diǎn)模態(tài)參數(shù)

5.3 計(jì)算給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)顫振時(shí)變可靠度

圖7分別比較了顫振時(shí)變可靠度與刀刃半徑和極限切深隨切削時(shí)間的變化關(guān)系，圖7(a)顯示隨著切削時(shí)間的增加系統(tǒng)的刀刃半徑逐漸增加，系統(tǒng)的顫振可靠度逐漸降低。圖7(b)中顯示隨著切削時(shí)間的增加系統(tǒng)的極限切深和顫振可靠度均逐漸降低。

圖6 不同加工時(shí)刻下的穩(wěn)定性葉瓣 Fig.6 Time-varyingchatterstabilitylobediagram(a)(b) 圖7 顫振可靠度與刀刃半徑和極限切深隨切削時(shí)間的對(duì)比關(guān)系 Fig.7 Therelationshipbetweenreliabilityandtooledgeradius,criticaldepthwithcuttingtime

6 結(jié) 論

微銑削加工過(guò)程由于刀具的尺寸小，主軸轉(zhuǎn)速高使得加工過(guò)程中道具磨損較快。而刀具磨損使得刀刃半徑和切削力系數(shù)隨加工時(shí)間明顯增加，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，使得傳統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法很快失效。本文提出的顫振時(shí)變穩(wěn)定性預(yù)測(cè)和時(shí)變可靠性分析方法將刀具磨損的影響考慮到顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)中。在不同的加工時(shí)刻上獲得了不同的葉瓣圖。并在給定切深和主軸轉(zhuǎn)速的情況下給出了系統(tǒng)的極限切深和顫振可靠度隨切削時(shí)間的變化關(guān)系，使得顫振預(yù)測(cè)的結(jié)果能夠準(zhǔn)確的反應(yīng)不同加工時(shí)間上的顫振穩(wěn)定性。

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