行人SMD模型參數(shù)對人群-結構耦合動力特性的影響

王彩鋒， 高世橋， 牛少華， 劉海鵬

(北京理工大學 機電學院，北京 100081)

輕質、低頻、弱阻尼的人行橋在行人步行載荷下的振動和舒適度問題已成為研究熱點[1-2]。在人行橋的豎向振動分析中，目前大多數(shù)橋梁設計規(guī)范[3-5]將行人模擬為施加在結構表面的移動步行力，這種方法對單人過橋的振動響應預測很準確，但是當考慮人群過橋時，其計算結果往往對結構響應估計過大，這主要是由于忽略了行人-結構之間的相互作用，其中，除了結構振動在一定程度上影響行人步行力以外，更重要的是行人自身作為復雜的生物動力學系統(tǒng)，其存在會改變結構固有的動力特性[6-8]。

目前，關于人群-結構豎向耦合振動的研究還較少，其難點之一在于確定合理簡單的行人動力學模型。早期的研究將行人視為附加質量，隨著生物力學的發(fā)展，研究者嘗試將行人模擬為雙足倒擺(Bipedal Inverted Pendulum)模型[9-11]和單(或雙)自由度彈簧-質量-阻尼器振子(Singel/Two Degree-of-Freedom Spring-Mass-Damper Oscillator，S/TDOF SMD)模型，并取得一些進展，本文的研究僅限于后者。由于獲得步行人體的SMD模型參數(shù)比較困難，目前研究者大多借用生物力學中人腿剛度、阻尼的研究成果，或者已相對完善的靜止(站、坐)人體的SMD模型參數(shù)。例如，Caprani等[12-14]均采用SDOF SMD模型，參考生物力學成果，取行人剛度、阻尼和質量分別為滿足一定參數(shù)的隨機分布；劉隆等[15-18]均采用SDOF SMD模型，其中劉隆等采用人體坐姿下的確定性動力參數(shù)，何浩祥等和陳舟等均采用人體單腿站姿下的確定性動力參數(shù)；金飛飛[19]采用TDOF SMD模型，取雙腿站姿下的確定性動力參數(shù)。然而，①生物力學中的人腿動力參數(shù)是基于人體雙足模型獲得的，若沒有經(jīng)過土木結構振動實驗驗證，不一定能直接應用于行人SMD系統(tǒng)；②步行時人體姿勢的不斷變化以及肌肉的交替收縮與放松，使步行人體比靜止人體的頻率偏低，阻尼比偏高[20-21]；③上述研究大多僅針對某一特定頻率的結構，不同頻率的結構在行人SMD系統(tǒng)耦合作用下的動力特性可能不同，忽略人群中行人動力特性的差異可能導致模態(tài)參數(shù)的預測出現(xiàn)較大誤差。因此，行人SMD模型參數(shù)的合理性成為解決人群-結構耦合振動問題不容忽視的一個重要方面。

為此，鑒于豎向耦合振動中行人SMD模型的研究尚未成熟，本文從簡單方便的SDOF SMD模型入手，分析其動力參數(shù)的隨機特性，建立步行人群-結構耦合動力方程；針對不同頻率的結構和不同的人群規(guī)模，研究行人SMD模型參數(shù)對耦合系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的影響，以期為行人-結構耦合振動分析與設計提供一定參考。

1 行人SDOF SMD模型參數(shù)

文獻[22]給出兩種行人SDOF SMD模型，如圖1所示，模型a為彈簧-彈性質量-阻尼器系統(tǒng)，模型b為彈簧-彈性質量-阻尼器-剛性質量系統(tǒng)。兩種模型的主要區(qū)別在于行人總質量的分布不同，即模型a中mp為彈性質量，而模型b中mp1為彈性質量，mp0為剛性質量，二者之和約等于行人質量，kp和cp分別為行人剛度和阻尼。行人頻率fp和阻尼比ζp分別表示為

(a)模型a(b)模型b

圖1 行人SDOF SMD模型

Fig.1 SDOF SMD model of pedestrian

(1)

近幾年模態(tài)測試技術的發(fā)展，使研究者可以基于空載和承載結構的模態(tài)特性，借助逆向工程方法計算行人SMD模型參數(shù)，表1列出了最近幾年的研究結果。由表1可以看出，大多數(shù)研究者的SMD模型參數(shù)具有統(tǒng)計分布性，但是其分布特征值或邊界值卻存在一定差別，并且與測試結構沒有明顯的聯(lián)系。例如，根據(jù)文獻[23]，質量70 kg、步頻2 Hz的行人的頻率為2.761 Hz，阻尼比為0.542；根據(jù)文獻[24]，行人的平均頻率為2.089 Hz，平均阻尼比為0.471；文獻[25-26]雖然針對同一結構，但前者給出的頻率和阻尼比均明顯小于后者；根據(jù)文獻[27]，行人頻率和阻尼比的95%分位點分別為4.13 Hz、0.572 Hz，遠大于文獻[28]對應的上邊界值。

表1 不同研究者的行人SDOF SMD模型參數(shù)

綜上比較可知，在不同的結構振動環(huán)境下，行人SMD模型參數(shù)具有較寬的取值范圍，應按隨機分布考慮，這可能是由于人體具有較強的振動自適應性。為了包含所有合理取值，本文采用行人頻率范圍1.0～4.5 Hz，阻尼比范圍為0.1～0.6，由于已知文獻中對于它們沒有統(tǒng)一的概率模型描述，本文假定它們?yōu)榫鶆蚍植??？紤]到模型a和模型b在預測結構模態(tài)特性時都比較出色，本文選擇相對簡單實用的模型a，其彈性質量按文獻[30]作保守估計，取均值70 kg、變異系數(shù)0.18的正態(tài)分布。

2 步行人群-結構耦合自由振動方程

考慮一列包含n個行人的人群上橋至完全離開橋梁，步行人群與人行橋組成的耦合系統(tǒng)如圖2所示，人行橋簡化為等截面簡支梁，長度L，單位長度質量mb，阻尼cb。每個行人模擬為移動的SMD系統(tǒng)，其中kp,w，cp,w，mp,w，zw，vw分別表示行人w的剛度、阻尼、彈性質量、豎向動位移和步速。記行人w到達人行橋左端的時間t=τw，假定步速恒定，則其到達人行橋右端的時間t=τw+L/vw。為方便研究，文中規(guī)定行人到達人行橋左端時表示在橋上，到達右端時表示不在橋上，則表示行人w是否在橋上的狀態(tài)函數(shù)Sw(t)定義為

Sw(t)=H(t-τw)-H(t-τw-L/vw)=

(2)

式中：H(·)為Heaviside函數(shù)，并定義H(0)=1以便與前面的規(guī)定保持一致，因此Sw(t)=1為行人w在橋上，Sw(t)=0為行人w不在橋上。

圖2 步行人群-結構耦合作用示意圖

若簡支梁的自由度數(shù)取N，則簡支梁與n個行人組成的耦合系統(tǒng)包含N+n個自由度，其矩陣形式的自由振動方程表示為

(3)

式中：U，M，C，K分別為廣義的位移向量、質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，其具體表達式分別如式(4)～式(7)所示。

U={q1,q2,…,qN,z1,z2,…,zn}T

(4)

(5)

式中：IN×N為N×N階單位矩陣；Mp=diag[mp,1S1(t),mp,2S2(t),…,mp,nSn(t)]。

(6)

式中：C11=Cb+Ψ。

Cb=diag(2ζ1ω1,2ζ2ω2,…,2ζNωN)

C12=[-cp,1ΦU[v1(t-τ1)]S1(t),-cp,2ΦU[v2(t-τ2)]S2(t),…,-cp,nΦU[vn(t-τn)]Sn(t)]；

C21=[-cp,1Φ[v1(t-τ1)]S1(t),-cp,2Φ[v2(t-τ2)]S2(t),…,-cp,nΦ[vn(t-τn)]Sn(t)]T；

Cp=diag[cp,1S1(t),cp,2S2(t),…,cp,nSn(t)]。

(7)

式中：K11=Kb+Ω。

K12=[-kp,1ΦU[v1(t-τ1)]S1(t),-kp,2ΦU[v2(t-τ2)]S2(t),…,-kp,nΦU[vn(t-τn)]Sn(t)]；

K21=[-kp,1Φ[v1(t-τ1)]S1(t),-kp,2Φ[v2(t-τ2)]S2(t),…,-kp,nΦ[vn(t-τn)]Sn(t)]T；

Kp=diag[kp,1S1(t),kp,2S2(t),…,kp,nSn(t)]。

人群上下橋過程中，式(3)中的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的元素及維數(shù)均為時變，傳統(tǒng)的振型分解法無法解耦，需采用復模態(tài)法求解耦合系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，引入

(8)

則式(3)的狀態(tài)空間方程為

(9)

設式(9)的解為

X=φert

(10)

式中：r為特征值；φ為特征向量。

將式(10)代入式(9)得到特征值問題

(rA+B)φ=0

(11)

求解式(11)得到N+n對復共軛特征值，其中簡支梁的特征值記為ri，則簡支梁的第i階固有頻率和阻尼比分別為

(12)

利用Newmark-β法自編程序對式(3)進行逐步積分，取系數(shù)γ=0.25，β=0.5以避免計算時的不收斂情況，計算中取簡支梁的自由度數(shù)N=5，時間步長0.002 5 s。

3 耦合系統(tǒng)基頻和阻尼比

由于步行人群對結構的第一階模態(tài)影響最顯著，且第一階模態(tài)對結構振動貢獻最大，故本文僅考慮耦合系統(tǒng)的第一階模態(tài)，重點分析在特定和隨機SMD模型參數(shù)下，不同頻率結構的耦合基頻和阻尼比的變化規(guī)律。其中，人行橋結構參數(shù)參考Zivanovic等的研究，選擇中等跨度的輕質人行橋，基頻fb范圍為1.5～8.0 Hz，分析步長0.1 Hz，阻尼比0.50%，跨度L=40 m，寬度B=4 m，單位長度質量mb=500 kg/m。人群長度2L，寬度B，人群密度ρ，包含行人數(shù)n=2ρBL，人群總質量與結構總質量之比(簡稱質量比)α=ρBmp/mb。需要說明的是，為消除人群步速差異帶來的影響，所有行人的步速和上橋時間間隔都一致，當橋上行人流達到穩(wěn)定狀態(tài)時(即既定人群密度)，人群在橋上均勻分布，人群-結構耦合系統(tǒng)也達到穩(wěn)定狀態(tài)，步速大小不會對耦合系統(tǒng)的動力特性產生影響，故文中步速統(tǒng)一取為合理范圍內的1.41 m/s。

3.1 SMD模型參數(shù)敏感性分析

分別分析行人頻率、阻尼比和彈性質量對不同頻率結構的耦合基頻和阻尼比的影響。算例中人群密度ρ=0.2 Ped/m2，行人頻率和阻尼比均取1節(jié)規(guī)定的范圍，分析步長分別為0.1 Hz和0.01 Hz，彈性質量取1節(jié)規(guī)定正態(tài)分布的90%置信區(qū)間，即范圍為44～96 kg，分析步長2 kg。

首先以空載結構基頻2 Hz，行人頻率2.75 Hz，阻尼比0.3，彈性質量70 kg為例。圖3所示為耦合作用下結構基頻foc和阻尼比ζoc的時程變化，可以看出，隨著人群的逐漸上橋，結構的基頻逐漸降低，阻尼比逐漸增大，當人行橋達到既定人群密度時，橋上行人數(shù)達到穩(wěn)定最大值32，基頻達到穩(wěn)定最小值1.844 Hz，基頻降低率(fb-foc)/fb=7.8%，阻尼比達到穩(wěn)定最大值2.20%，阻尼比增加率(ζoc-ζb)/ζb=3.40，此后隨著人群的逐漸下橋，結構基頻和阻尼比逐漸恢復至空載值。

(a)橋上行人數(shù)(b)結構基頻和阻尼比

(注：fb=2 Hz；fp=2.75 Hz；ζp=0.3；mp=70 kg)

圖3 典型的結構基頻和阻尼比

Fig.3 Typical natural frequency and damping ratio of occupied structure

圖6所示為行人彈性質量對結構基頻和阻尼比的影響，其中行人頻率2.75 Hz，阻尼比0.3。與前面類似，在頻率比fb/fp≈1.1附近(約3 Hz)，基頻的降低和阻尼比的增加均比較明顯，當彈性質量增大時，由質量比主導，基頻降低率和阻尼比增加率也增大。

3.2 隨機SMD模型參數(shù)的影響

分析隨機SMD模型參數(shù)對不同頻率結構在不同質量比(即人群密度)下的耦合基頻和阻尼比的影響。算例中質量比范圍為0.05～1，分析步長0.05，行人頻率、阻尼比和彈性質量均按照1節(jié)規(guī)定的隨機分布取值。每種設置進行500次Monte-Carlo模擬，每次模擬結果分別取結構達到既定人群密度時基頻和阻尼比的平均值，最后分析在90%的置信區(qū)間內，基頻和阻尼比的95%及5%分位點的變化規(guī)律，并將耦合基頻與附加質量模型結果進行對比。所有結果列于圖7，其中基頻的95%、5%分位點以及質量模型結果均除以空載基頻作歸一化處理，阻尼比取95%與5%分位點的比值。

(a) 基頻降低率

(b) 阻尼比增加率

圖4 行人頻率對結構基頻和阻尼比的影響(ζp=0.3，mp=70 kg)

Fig.4 Effect of pedestrian frequency on natural frequency and damping ratio of occupied structure(ζp=0.3，mp=70 kg)

(a) 基頻降低率

(b) 阻尼比增加率

圖5 行人阻尼比對結構基頻和阻尼比的影響(fp=2.75 Hz，mp=70 kg)

Fig.5 Effect of pedestrian damping ratio on natural frequency and damping ratio of occupied structure(fp=2.75 Hz，mp=70 kg)

(a) 基頻降低率

(b) 阻尼比增加率

圖6 行人彈性質量對結構基頻和阻尼比的影響(fp=2.75 Hz，ζp=70 kg)

Fig.6 Effect of pedestrian sprung mass on natural frequency and damping ratio of occupied structure(fp=2.75 Hz，ζp=70 kg)

(a) 歸一化耦合基頻

(b) 2.0 Hz結構耦合基頻

(c) 4.4 Hz結構耦合基頻

(d) 7.0 Hz結構耦合基頻

(e) 阻尼比95%與5%分位點之比

通常來講，質量比增大時，耦合基頻和阻尼比的差異增大，并且對阻尼比的影響大于基頻。由圖7(a)可以看出，當空載結構基頻較低時(例如圖7(b)中2.0 Hz)，基頻的95%和5%分位點都小于1，隨質量比的增大呈降低趨勢，此時質量模型結果介于二者之間，表明質量模型具備一定的參考性；當空載結構基頻提高時(例如圖7(c)中4.4 Hz)，基頻的95%和5%分位點可能小于1也可能大于1，隨質量比的增大可能降低也可能提高，即此時結構基頻可能低于也可能高于空載基頻，應用質量模型有可能失效，例如，Silva等和Toso等的研究中空載結構基頻4.27 Hz，實驗發(fā)現(xiàn)當質量比分別為0.055、0.13和0.167時，歸一化基頻分別為0.986、0.94和0.904，Shahabpoor的研究中空載結構基頻4.44 Hz，實驗發(fā)現(xiàn)當質量比分別為0.03、0.049和0.074時，歸一化基頻分別為1.006、1.008和1.01，可見結構基頻或降或增可能與空載基頻有一定關系；當空載結構基頻進一步提高時(例如圖7(d)中7.0 Hz)，基頻的95%和5%分位點都大于1，即耦合基頻通常高于空載基頻。

由圖7(e)可以看出，當空載結構基頻較低時，阻尼比95%與5%分位點之比一般大于2，表明阻尼比的變化范圍較大，質量比增大時，比值也增大，即阻尼比隨機性變強。例如，Kasperski的研究中，空載結構基頻1.8 Hz，實驗發(fā)現(xiàn)當質量比在范圍0.009～0.024時，阻尼比比空載狀態(tài)增加了100%～160%，質量比越大，阻尼比的隨機分布越寬，這與本文的分析吻合。當結構基頻較高時(例如高于5 Hz)，無論質量比如何變化，阻尼比的差異均較小。

4 結 論

(1)行人SMD模型參數(shù)具有較強的隨機性，應考慮為一定范圍內的隨機分布，作為參考，本文取行人頻率為1～4.5 Hz的均勻分布，阻尼比為0.1～0.6的均勻分布，彈性質量為均值70 kg、變異系數(shù)0.18的正態(tài)分布。

(2)在空載結構基頻與行人頻率之比不高于1.1、特別是約為1.1的頻率范圍內，結構受行人SMD系統(tǒng)的影響較大，耦合基頻和阻尼比的變化比較明顯。

(3)結構基頻可能降低，也可能提高，這與空載結構基頻和人群規(guī)模都有關系；人群規(guī)模越大，結構基頻和阻尼比的隨機散布就越大，尤其對于空載基頻處于行人頻率范圍內的結構，這種趨勢更明顯，此時不宜采用確定性的行人SMD模型參數(shù)。

步行人群-結構的豎向相互作用比較復雜，本文只進行了初步研究，仍需要在不同的結構和人群工況下進行大量的現(xiàn)場實測，以獲取更全面和精確的行人SMD模型參數(shù)及結構模態(tài)參數(shù)。

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