導(dǎo)航衛(wèi)星自主時(shí)間維持算法影響因素分析?

欽偉瑾 韋 沛 楊旭海 任曉乾

(1中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心西安710600)

(2中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710600)

(3中國(guó)科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

星上自主系統(tǒng)時(shí)間指的是導(dǎo)航星座在自主運(yùn)行模式下,所有星載鐘采用某種算法共同保持的紙面時(shí)間.由于星間雙向偽距解算的鐘差為相對(duì)鐘差,缺乏時(shí)間參考,不能確定每顆衛(wèi)星相對(duì)時(shí)間參考的絕對(duì)鐘差,隨著時(shí)間的累積,會(huì)出現(xiàn)鐘差整體漂移的情況,因此需要建立高準(zhǔn)確度和高穩(wěn)定度的星上系統(tǒng)時(shí)間作為參考[1?3].

2 星上自主系統(tǒng)時(shí)間計(jì)算模式

星上自主系統(tǒng)時(shí)間計(jì)算模式分為集中模式和分布模式.集中模式的原理是選定一顆主星上的主鐘,從星通過星間觀測(cè)值解算得到星間鐘差,然后以通信的方式傳給主星,主星利用所有衛(wèi)星在計(jì)算間隔內(nèi)的鐘差信息,根據(jù)加權(quán)平均算法計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間,以及各星載鐘相對(duì)系統(tǒng)時(shí)間的鐘差及鐘速,并更新導(dǎo)航電文,經(jīng)由星間鏈路發(fā)送給其他衛(wèi)星.拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.集中模式的優(yōu)點(diǎn)是能夠得到統(tǒng)一的時(shí)間參考,并且非主星上不需要搭載計(jì)算設(shè)備,缺點(diǎn)是對(duì)主星的依賴性較大.出于連續(xù)性考慮,在計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間時(shí)盡量做到無縫切換,出于安全性考慮,不僅要對(duì)每顆主星上的主鐘做熱備份,還要對(duì)主星做備份.

圖1 集中模式拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topology structure of centralized model

分布模式與集中模式原理相同,只是不需要選定主星,每顆衛(wèi)星都參與計(jì)算.拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示.優(yōu)點(diǎn)是各顆衛(wèi)星相對(duì)獨(dú)立,1顆衛(wèi)星出現(xiàn)問題,不會(huì)影響其他衛(wèi)星,缺點(diǎn)是星上的參考時(shí)間不統(tǒng)一,每顆衛(wèi)星都需要搭載計(jì)算設(shè)備,加重衛(wèi)星載荷負(fù)擔(dān).

分布模式生成的時(shí)間參考不唯一,不利于星上自主系統(tǒng)時(shí)間的計(jì)算和數(shù)據(jù)分發(fā),因此本文按照?qǐng)D1模式研究星上自主系統(tǒng)時(shí)間算法.

3 觀測(cè)方程

本文是在軌道已知的前提下進(jìn)行星間時(shí)間同步研究的.觀測(cè)值經(jīng)過歷元?dú)w化[4?5]后,在同一時(shí)刻接收無線電測(cè)距信號(hào),星間觀測(cè)方程為[6?7]:

其中,tr為接收時(shí)刻、XA(tr)為A星的接收時(shí)刻、XB(tr)為B星的接收時(shí)刻,ρAB為A星發(fā)射、B星接收時(shí)的偽距;ρBA為B星發(fā)射、A星接收時(shí)的偽距;TA(tr)為A星在tr時(shí)刻的鐘差;TB(tr)為B星在tr時(shí)刻的鐘差;δrelAB為A星發(fā)射、B星接收時(shí)的相對(duì)論效應(yīng);δrelBA為B星發(fā)射、A星接收時(shí)的相對(duì)論效應(yīng);分別為B星發(fā)射端和接收端時(shí)延;分別為A星發(fā)射端和接收端時(shí)延;εBA和εAB分別為B星發(fā)射、A星接收和A星發(fā)射、B星接收的隨機(jī)噪聲,c為光速.修正各項(xiàng)誤差后通過觀測(cè)方程(1)解算星間鐘差.

圖2 分布模式拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Topology structure of distributed model

4 系統(tǒng)時(shí)間算法對(duì)星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能影響

系統(tǒng)時(shí)間的目的是通過不同的算法抑制原子鐘的主要噪聲,綜合得到相對(duì)于單臺(tái)原子鐘更加穩(wěn)定可靠的時(shí)間參考.星座自主導(dǎo)航時(shí),與地面站失去聯(lián)系,無法溯源到UTC(Coordinated Universal Time),只能通過精確建立系統(tǒng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型得到穩(wěn)定度更好的時(shí)間序列.本文主要研究在集中計(jì)算模式下,采用加權(quán)平均算法建立星上自主系統(tǒng)時(shí)間數(shù)學(xué)模型,并分析模型中的各因素對(duì)于星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能的影響從而選出最佳參數(shù).

4.1 星上自主系統(tǒng)時(shí)間計(jì)算模型

星間觀測(cè)值解出的鐘差數(shù)據(jù)clock(i,t)和clock(j,t)為相對(duì)鐘差(其中i、j為鐘的編號(hào)),是所有星載鐘相對(duì)主鐘的鐘差,為此首先需要采用等權(quán)的方式建立一個(gè)初始的參考時(shí)間系統(tǒng),并將各星載鐘的鐘差歸算到該參考時(shí)下[8?9],初始參考時(shí)間TA1(t)可按下式建立:

其中,pi為各鐘權(quán)重,n為鐘的數(shù)量.每臺(tái)鐘相對(duì)初始參考時(shí)間的鐘差可由下式得到:

至此,由星間觀測(cè)值解出的相對(duì)主鐘的鐘差就轉(zhuǎn)化為相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)時(shí)間的鐘差,解決了有n臺(tái)鐘參與計(jì)算卻有n?1列鐘差數(shù)據(jù)的問題.導(dǎo)航星座中計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間的星載鐘絕大多數(shù)為銣鐘,需要先扣除漂移才能進(jìn)行計(jì)算.利用數(shù)列xj(t)分別擬合出每臺(tái)鐘的速率vj.

利用(4)式扣除各鐘的鐘速.加權(quán)方法雖然一直改進(jìn),但基本原理沒有改變,都是用阿倫方差評(píng)定各鐘的穩(wěn)定度從而確定出每臺(tái)鐘的權(quán)重,方法如下:

其中,σi為指鐘標(biāo)號(hào),wi(t)為各鐘的歸一化權(quán)重,(5)式根據(jù)各鐘的穩(wěn)定度確定權(quán)重,(6)式和(7)式進(jìn)行各鐘權(quán)重的歸一化處理.性能優(yōu)良的鐘穩(wěn)定度較好,計(jì)算中所占權(quán)重較大,對(duì)于系統(tǒng)時(shí)間的影響也較大.當(dāng)性能優(yōu)良的鐘出現(xiàn)故障時(shí),嚴(yán)重影響系統(tǒng)時(shí)間的穩(wěn)定性和連續(xù)性.需要找到一種合理的方式對(duì)權(quán)重進(jìn)行約束,采用權(quán)上限的原則是為了限制性能好的鐘的權(quán)重?zé)o限增加的反饋效應(yīng)發(fā)生,降低好鐘對(duì)于最終結(jié)果的影響.最大權(quán)公式為:

式中A為經(jīng)驗(yàn)常數(shù),目前星載鐘的權(quán)上限選取原則還沒有成熟的結(jié)論,仍然依據(jù)地面鐘權(quán)上限選取原則進(jìn)行判定,經(jīng)驗(yàn)常數(shù)A采用法國(guó)權(quán)度局BIPM(Bureau International des Poidset Measures)規(guī)定的2.5,權(quán)重超限后必須重新歸一化.在建立初始時(shí)間參考的基礎(chǔ)上,由(2)–(9)式開始迭代計(jì)算TA1(t)?TA2(t):

其中,TA2(t)為最終的星上紙面時(shí)間,也就是星上系統(tǒng)時(shí)間.至此,在新的系統(tǒng)時(shí)間下每臺(tái)鐘的鐘差由下式得到:

建立系統(tǒng)時(shí)間最終的目的是要服務(wù)用戶,建立精確的星載鐘預(yù)報(bào)模型,得到鐘差、鐘速和鐘漂3參數(shù),進(jìn)而更新導(dǎo)航電文.PRN6、PRN18和PRN28這3顆衛(wèi)星在計(jì)算期間星載鐘發(fā)生切換造成數(shù)據(jù)無法使用,因此共有27臺(tái)星載鐘參與計(jì)算,其中PRN24和PRN26是銫鐘,其他都是銣鐘.由以上各式可以看到,數(shù)據(jù)插值方法、數(shù)據(jù)長(zhǎng)度、更新頻度和取權(quán)方式是影響星上系統(tǒng)時(shí)間性能的主要因素,因此我們將從這4個(gè)方面分析比較初始系統(tǒng)時(shí)間的偏差和穩(wěn)定度[10?11].

4.2 數(shù)據(jù)插值方法對(duì)星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能影響

衛(wèi)星存在的不可見弧段將導(dǎo)致星間觀測(cè)值解算的相對(duì)鐘差是非連續(xù)不等間隔的序列,如圖3所示.對(duì)于在固定采樣時(shí)間的非等間隔數(shù)據(jù),比如衛(wèi)星雙向測(cè)量數(shù)據(jù)的采樣時(shí)間一般為每周一、周三和周五,可采用平均的方法來計(jì)算采樣間隔.星間鐘差的時(shí)間間隔帶有一定的隨機(jī)性,不能采用平均采樣間隔方法處理,只能進(jìn)行插值.因此選擇合適的數(shù)據(jù)插值方法顯得尤為重要.插值階數(shù)越高,越容易產(chǎn)生病態(tài)結(jié)果,三次樣條插值能避免此問題,分段三次Hermite插值是Lagrange插值的推廣,同時(shí)利用函數(shù)信息和導(dǎo)數(shù)信息,保證插值函數(shù)能更好地密合原來的函數(shù).

圖3 星間觀測(cè)值解算的星間鐘差Fig.3 Clock difference obtained by inter-satellite observations

為了研究數(shù)據(jù)插值方法對(duì)星上系統(tǒng)時(shí)間性能的影響,論文分別比較了三次樣條插值法(圖示為spline法)和分段三次Hermite插值法(圖示為pchip法)利用不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立系統(tǒng)時(shí)間的性能.在更新頻度和取權(quán)方式相同的情況下,比較數(shù)據(jù)長(zhǎng)度6 h、8 h和12 h建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差及穩(wěn)定度.

4.2.1 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6 h的星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能比較

如圖4所示,采用分段三次Hermite法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為111.5 ns,采用三次樣條法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為134 ns.

如圖5所示,采用分段三次Hermite法插值建立的系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為1.56×10?14,5天穩(wěn)為9.66×10?15,10天穩(wěn)為3.53×10?15;采用三次樣條法插值建立的系統(tǒng)時(shí)間天穩(wěn)為4.63×10?14,5天穩(wěn)為2.39×10?14,10天穩(wěn)為1.50×10?14.

圖4 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6 h建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.4 System time bias with 6 h data length

圖5 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6 h建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.5 System time stability with 6 h data length

4.2.2 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8 h的星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能比較

如圖6所示,采用分段三次Hermite法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為124.8 ns,采用三次樣條法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為142.6 ns.

如圖7所示,采用分段三次Hermite法插值建立的系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為1.43×10?14,5天穩(wěn)為8.72×10?15,10天穩(wěn)為3.46×10?15;采用三次樣條法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間天穩(wěn)為4.41×10?14,5天穩(wěn)為2.10×10?14,10天穩(wěn)為9.99×10?15.

圖6 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8 h建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.6 System time bias with 8 h data length

圖7 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8 h建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.7 System time stability with 8 h data length

4.2.3 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 h的星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能比較

如圖8所示,采用分段三次Hermite法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為59.15 ns,采用三次樣條法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差為71.87 ns.

如圖9所示,采用分段三次Hermite法插值建立的系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為1.58×10?14,5天穩(wěn)為5.75×10?15,10天穩(wěn)為2.76×10?15;采用三次樣條法插值建立的系統(tǒng)時(shí)間天穩(wěn)為4.94×10?14,5天穩(wěn)為1.77×10?14,10天穩(wěn)為6.88×10?15.

圖8 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 h建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.8 System time bias with 12 h data length

圖9 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 h建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.9 System time stability with 12 h data length

綜上所述,采用相同的更新頻度和不同的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度條件下,采用分段三次Hermite法插值建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間偏差較小且穩(wěn)定度較好,由此可以說明分段三次Hermite法與三次樣條法相比,對(duì)數(shù)據(jù)有較好的平滑作用,更適用于處理星間鐘差數(shù)據(jù).

4.3 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能影響

數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的實(shí)質(zhì)是利用多個(gè)長(zhǎng)時(shí)段的數(shù)據(jù)計(jì)算星上自主系統(tǒng)時(shí)間,以數(shù)據(jù)窗口的方式實(shí)現(xiàn),滑動(dòng)更新窗口內(nèi)的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的選取受限于主星的運(yùn)算能力、主星的存儲(chǔ)空間和鏈路的傳輸容量.滑動(dòng)窗口的大小由數(shù)據(jù)長(zhǎng)度決定,將前一數(shù)據(jù)段的末尾和后一數(shù)據(jù)段的初始位置進(jìn)行相位拼接,實(shí)現(xiàn)相位微調(diào),目的是為了得到一個(gè)更為平穩(wěn)的紙面時(shí)間.具體的研究方法是在數(shù)據(jù)更新頻度為1 h、采用1 h穩(wěn)定度取權(quán)的條件下,采用加權(quán)平均算法利用長(zhǎng)度為6 h、8 h、12 h、24 h和36 h的數(shù)據(jù)建立星上自主系統(tǒng)時(shí)間,給出系統(tǒng)時(shí)間偏差和系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度比較分析.

如圖10所示,在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6 h、8 h、12 h、24 h和36 h建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間經(jīng)過60 d后時(shí)間偏差分別為111.5 ns、124.8 ns、59.15 ns、16.23 ns和20.71 ns,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為24 h建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間偏差最小,總體上看,系統(tǒng)時(shí)間偏差隨著數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加越來越小.

圖10 不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.10 System time bias with different data lengths

如圖11所示,萬秒穩(wěn)以前不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度性能基本相當(dāng).萬秒穩(wěn)以后,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越短建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度越好.綜上所述,在相同的更新頻度、取權(quán)方式和數(shù)據(jù)插值方法條件下,不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間偏差有較為明顯的變化.時(shí)間偏差隨著數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加越來越小,不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度性能基本相當(dāng),從長(zhǎng)期穩(wěn)定度性能來看,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越長(zhǎng),星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度性能越差.在計(jì)算星上自主系統(tǒng)時(shí)間時(shí),數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越長(zhǎng),迭代次數(shù)相應(yīng)增多,計(jì)算復(fù)雜度相應(yīng)增大,對(duì)主星的計(jì)算能力要求越高;數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越長(zhǎng),數(shù)據(jù)量越大,占據(jù)主星內(nèi)存越大,對(duì)主星的載荷要求越高;數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越長(zhǎng),對(duì)于鏈路傳輸?shù)娜萘亢退俾实囊蠖枷鄳?yīng)增加.綜合以上各方面因素以及系統(tǒng)時(shí)間偏差和穩(wěn)定度情況,12 h的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度更適合于建立星上自主系統(tǒng)時(shí)間.

4.4 更新頻度對(duì)星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能影響

在星上自主系統(tǒng)時(shí)間計(jì)算中,在固定數(shù)據(jù)長(zhǎng)度(即總的數(shù)據(jù)量不變)的情況下,更新頻度與每小時(shí)數(shù)據(jù)量的乘積決定了更新數(shù)據(jù)量的大小.更新數(shù)據(jù)量的大小決定了進(jìn)出滑動(dòng)窗口的數(shù)據(jù)量的大小,也就是進(jìn)入滑動(dòng)窗口多少數(shù)據(jù)量,就要移出多少數(shù)據(jù)量.具體的研究方法是在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 h,以1 h穩(wěn)定度取權(quán)的條件下,針對(duì)更新頻度分別為1 h、2 h和3 h采用加權(quán)平均算法計(jì)算星上自主系統(tǒng)時(shí)間,給出系統(tǒng)時(shí)間偏差和穩(wěn)定度結(jié)果并進(jìn)行比較分析.

圖11 不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.11 System time stability with different data lengths

如圖12所示,更新頻度1 h、2 h和3 h建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差分別為59.15 ns、67.45 ns和61.9 ns.不同更新頻度建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度如圖13所示.

圖12 不同更新頻度建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.12 System time bias with different update frequencies

圖13 不同更新頻度建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.13 System time stability with different update frequencies

4.5 取權(quán)方式對(duì)星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能影響

系統(tǒng)時(shí)間算法是按優(yōu)化時(shí)間穩(wěn)定度的思想來設(shè)計(jì)的,每個(gè)原子鐘按照頻率穩(wěn)定度優(yōu)劣加權(quán).建立星上自主系統(tǒng)時(shí)間的目的是希望得到較為穩(wěn)定的短期穩(wěn)定度.通常情況下,系統(tǒng)時(shí)間的穩(wěn)定度優(yōu)于每一臺(tái)鐘的穩(wěn)定度.具體的研究方法是:數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 h,更新頻度為1 h,分別以1 h、2 h和3 h穩(wěn)定度取權(quán),采用加權(quán)平均算法計(jì)算星上自主系統(tǒng)時(shí)間,給出系統(tǒng)時(shí)間偏差和穩(wěn)定度結(jié)果并進(jìn)行比較分析.

如圖14所示,分別以1 h、2 h和3 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間60 d后時(shí)間偏差分別為59.15 ns、47.91 ns和34.9 ns,3 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間偏差較小.

圖14 不同取權(quán)方式建立的系統(tǒng)時(shí)間偏差Fig.14 System time bias with different weighting solutions

如圖15所示,以1 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為1.58×10?14,5天穩(wěn)為5.75×10?15,10天穩(wěn)為2.76×10?15;以2 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為1.75×10?14,5天穩(wěn)為9.32×10?15,10天穩(wěn)為2.48×10?15;以3 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間,天穩(wěn)為2.37×10?14,5天穩(wěn)為1.13×10?14,10天穩(wěn)為4.70×10?15.3種取權(quán)方式建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間的穩(wěn)定度幾乎相同,以1 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度整體較好.

圖15 不同取權(quán)方式建立的系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度Fig.15 System time stability with different weighting solutions

5 結(jié)論

本文在利用GPS數(shù)據(jù)仿真星間偽距解算星間鐘差的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了星上系統(tǒng)時(shí)間的計(jì)算模型,研究了模型中的4個(gè)重要參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)時(shí)間偏差和穩(wěn)定度的影響.結(jié)果表明:在相同的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度、更新頻度和數(shù)據(jù)插值方法下,以1 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間穩(wěn)定度整體較好,但系統(tǒng)時(shí)間偏差性能略差,以3 h穩(wěn)定度取權(quán)建立的星上自主系統(tǒng)時(shí)間偏差性能較好,但中長(zhǎng)期穩(wěn)定度略差.綜合考慮,星上自主系統(tǒng)時(shí)間對(duì)中長(zhǎng)期穩(wěn)定度要求更高,因此選擇相對(duì)較短的穩(wěn)定度取權(quán)方式(如以1 h穩(wěn)定度取權(quán))更利于星上自主系統(tǒng)時(shí)間性能的提升.

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