BDS/GPS星載原子鐘的短期鐘差預(yù)報(bào)模型研究?

布金偉 左小清 常 軍 李小龍

(1昆明理工大學(xué)國土資源工程學(xué)院昆明650093)

(2國家測繪地理信息局第一大地測量隊(duì)西安710054)

(3東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院南昌330013)

1 引言

原子鐘是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)有效荷載的核心部分,其性能直接決定著導(dǎo)航定位和時頻傳遞的精度,高準(zhǔn)確度和高穩(wěn)定度的原子頻標(biāo)和時間系統(tǒng)是確保高精度導(dǎo)航定位的關(guān)鍵[1?2].當(dāng)前全球4大衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,美國的GPS(Global Positioning System)導(dǎo)航衛(wèi)星采用了銫原子鐘和銣原子鐘結(jié)合的方式,俄羅斯的GLONASS(Glonass Navigation Satellite System)導(dǎo)航衛(wèi)星和歐盟Galileo導(dǎo)航衛(wèi)星均采用銣原子鐘和被動型氫原子鐘結(jié)合的方式,而中國的BDS(BeiDou Navigation Satellite System)系統(tǒng)主要是由4顆MEO(Medium Earth Orbit)、5顆IGSO(Inclined Geosynchronous Satellite Orbit)和5顆GEO(Geostationary Earth Orbit)衛(wèi)星構(gòu)成的異構(gòu)星座,其原子鐘均采用銣原子鐘[3].由于BDS導(dǎo)航衛(wèi)星鐘是國產(chǎn)銣鐘,其精度和穩(wěn)定性相較于GPS和Galileo稍顯遜色,其星載衛(wèi)星鐘性能及預(yù)報(bào)模型的研究將成為我國導(dǎo)航定位工作的研究熱點(diǎn)[4].

衛(wèi)星鐘差的中短期預(yù)報(bào)對于衛(wèi)星鐘時間同步以及實(shí)時精密單點(diǎn)定位(PPP)有重要作用.近年來,國內(nèi)外學(xué)者針對鐘差預(yù)報(bào)工作開展了大量的工作,得到不少重要的結(jié)論.如國外學(xué)者Breakiron等人考慮了鐘差的周期性特點(diǎn)[5?6],提出利用附加周期項(xiàng)的2次多項(xiàng)式擬合模型,6 h的預(yù)報(bào)精度達(dá)到2 ns.Epstein等人針對GPS在軌Rb鐘,發(fā)現(xiàn)GPS衛(wèi)星采用卡爾曼濾波進(jìn)行預(yù)報(bào)時6 h的預(yù)報(bào)精度為8–9 ns,并且當(dāng)預(yù)報(bào)時間變長時,預(yù)報(bào)精度隨之降低[7].國內(nèi)學(xué)者王國成等人利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對4顆GPS衛(wèi)星鐘差連續(xù)進(jìn)行1 h和1 d的預(yù)報(bào)[8],分別取得了均方誤差優(yōu)于0.6 ns和1 ns的預(yù)報(bào)精度.程瑞江等人引入了GM(Gray Model)-LSSVM(Least Square Support Vector Machines)鐘差預(yù)報(bào)模型,采用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的遺傳算法對模型的參數(shù)選取過程進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化后的模型預(yù)報(bào)精度小于1.3 ns[9].目前,鐘差預(yù)報(bào)的現(xiàn)狀是衛(wèi)星鐘差模型多元化,但不具有較強(qiáng)的普遍適應(yīng)性,預(yù)報(bào)模型與衛(wèi)星鐘自身物理特性的結(jié)合不充分[10].因此,考慮到計(jì)算效率和計(jì)算精度,結(jié)合各模型的優(yōu)勢,探索適應(yīng)能力強(qiáng)、預(yù)報(bào)精度高的組合模型是未來鐘差預(yù)報(bào)模型的熱點(diǎn)方向[11].

從上述研究現(xiàn)狀可以看出,目前衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)研究大部分集中在GPS導(dǎo)航衛(wèi)星,且任何一種單一模型都不可能完全適用于各種衛(wèi)星鐘差序列.此外對于我國BDS/GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的研究工作開展得還不夠具體和廣泛.因此,本文重點(diǎn)對BDS/GPS衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)模型進(jìn)行了深入的研究,在介紹4種單一模型(多項(xiàng)式模型(QR)、灰色模型(GM)、時間序列模型(ARMA)和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(GRNN))的基礎(chǔ)上,引入了經(jīng)典權(quán)組合模型(CM)和修正經(jīng)典權(quán)組合模型(Modified CM),最終得出了一些有意義的結(jié)論.

2 鐘差預(yù)報(bào)模型

2.1 多項(xiàng)式模型(QR)

常用的多項(xiàng)式鐘差預(yù)報(bào)模型主要包括1階模型、2階模型以及高階多項(xiàng)式模型.本文以2次多項(xiàng)式為例,其數(shù)學(xué)模型為:

式中,Δt=ts?t0,t0為衛(wèi)星鐘的參考時刻,x為ts時刻的衛(wèi)星鐘差觀測值,a0、b0、c0為鐘差模型參數(shù),考慮到衛(wèi)星鐘的物理特性,3個參數(shù)分別對應(yīng)的是鐘差(相位)、鐘速(頻率)、鐘漂(頻漂);是由于頻率的隨機(jī)誤差而引起的一種隨機(jī)鐘差.

該模型建模簡單,物理意義明確.對于GNSS(Global navigation satellite system)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)而言,1階模型和2階模型被分別應(yīng)用于GPS和GLONASS系統(tǒng)的廣播星歷實(shí)時鐘差預(yù)報(bào)中.考慮到不同原子鐘的頻率穩(wěn)定性及頻漂特性,一般情況下銫原子鐘(Cs)宜采用1次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合預(yù)報(bào),銣原子鐘(Rb)宜采用2次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合預(yù)報(bào)[12?13].

2.2 灰色模型(GM)

其中,a、u為模型參數(shù).

在實(shí)際計(jì)算中,以相鄰兩值的平均值和相鄰兩點(diǎn)的差代替微分方程中的x(1)和進(jìn)行離散化,可得到近似線性方程

根據(jù)最小二乘原理可求得參數(shù)β的估值

在顧及初始條件x(1)(1)=x(0)(1)時,微分方程的解為:

通過累減還原,可得到原始序列

灰色模型只需要少量的已知數(shù)據(jù)(4個以上的觀測值)就可以建立模型進(jìn)行預(yù)報(bào).該方法的優(yōu)點(diǎn)是減少了建模的數(shù)據(jù)量并且提高了建模速率,缺點(diǎn)是無法充分利用更多的已有數(shù)據(jù)來提高其預(yù)報(bào)精度.

2.3 時間序列模型(ARMA)

ARMA(Autoregressive Integrated Moving Average)模型是組合了自回歸模型(Autoregressive,AR)和滑動平均模型(Moving Average,MA)的一種綜合預(yù)測方法[14?15].ARMA模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中,p、q為正整數(shù),分別為該模型的自回歸階次和滑動平均階次;φ1,φ2,···,φp為模型參數(shù)或自回歸系數(shù);θ1,θ2,···,θq為模型參數(shù)或滑動平均系數(shù);at為白噪聲序列;xt為平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列.

2.4 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(GRNN)

廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Generalized Regression Neural Network,GRNN)結(jié)構(gòu)共有4層組成,分別為輸入層、模式層、求和層和輸出層[16?17].對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)輸入為X={x1,x2,···,xl}T,其輸出為Y={y1,y2,···,yk}T.輸入層神經(jīng)元的數(shù)目等于學(xué)習(xí)樣本中輸入向量的維數(shù),直接將輸入向量傳遞給模式層.模式層神經(jīng)元數(shù)目為學(xué)習(xí)樣本的數(shù)目n,模式層神經(jīng)元傳遞函數(shù)為:

式中,X為網(wǎng)絡(luò)輸入變量,Xi為第i個神經(jīng)元對應(yīng)的學(xué)習(xí)樣本,χ為光滑因子.

求和層中使用兩種類型神經(jīng)元求和.一種為對所有模式層神經(jīng)元的輸出進(jìn)行算術(shù)求和,其模式層與各神經(jīng)元的連接權(quán)值為1,傳遞函數(shù)為:

另一類計(jì)算公式為對所有模式層的神經(jīng)元進(jìn)行加權(quán)求和,模式層中第i個神經(jīng)元與求和層中第j個分子求和神經(jīng)之間的連接權(quán)值為第i個輸出樣本Yi中的第j個元素,傳遞函數(shù)為:

其中,yij為第i個輸出樣本Yi中的第j個元素.

輸出層中的神經(jīng)元數(shù)目等于學(xué)習(xí)樣本中輸出向量的維數(shù)k,各神經(jīng)元將求和層的輸出相除,神經(jīng)元j的輸出對應(yīng)估計(jì)結(jié)果

2.5 組合模型

2.5.1 經(jīng)典權(quán)組合模型

組合模型是采用加權(quán)平均值的方法組合多種單一模型得到的預(yù)測鐘差序列.該方法通過給定不同預(yù)測模型一定的權(quán),取加權(quán)后的平均值為組合的預(yù)報(bào)結(jié)果,其中權(quán)值的確定是關(guān)鍵.假設(shè)有i個單一預(yù)測模型,則組合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[18?20]:

根據(jù)定權(quán)方法和約束條件的不同,加權(quán)平均值法可以分為多種形式,如:經(jīng)典權(quán)、最優(yōu)權(quán)方法等.本文介紹經(jīng)典權(quán)方法,其定權(quán)方法如下:

設(shè)有一組觀測序列X=(x(1),x(2),···,x(n)),通過單一模型得到的擬合值序列為,得到的殘差序列為,可以求出殘差序列的均方誤差.由此經(jīng)典權(quán)方法的定權(quán)公式可表述為:

2.5.2 修正經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型

在進(jìn)行鐘差的擬合和預(yù)報(bào)過程中,可以發(fā)現(xiàn)有些建模方法的擬合精度很高,但其預(yù)報(bào)精度卻不一定好.因此在進(jìn)行多時段連續(xù)預(yù)報(bào)時,可以考慮用各模型歷史時段的預(yù)報(bào)精度來修正當(dāng)前的組合權(quán)值,改善僅僅依靠擬合精度定權(quán)的不可靠性.其修正原理如下:選取i個單一預(yù)報(bào)模型分別進(jìn)行連續(xù)多時段預(yù)報(bào),并將其預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行線性組合.在進(jìn)行第i時段的預(yù)報(bào)時,可以獲得單一模型的前i?1個時段的預(yù)報(bào)誤差序列,由此可以建立學(xué)習(xí)權(quán).第i個模型在第i?1個時段的預(yù)報(bào)誤差序列為εi(i?1),其對應(yīng)的均方誤差.對于單一模型在第i時段的學(xué)習(xí)權(quán)可定義為[18?20]:

建模權(quán)是根據(jù)預(yù)報(bào)時段的前一個時段擬合誤差建立的,學(xué)習(xí)權(quán)是對過去多個時段預(yù)報(bào)精度的一種表征指標(biāo).綜合考慮擬合誤差和預(yù)報(bào)誤差對當(dāng)前時段各單一模型權(quán)值的影響得到修正權(quán),用nω表示,其定義式為[18?20]:

根據(jù)(16)式得到各單一模型的修正權(quán),再采用(13)式的方法即可得到修正經(jīng)典權(quán)組合模型的預(yù)報(bào)結(jié)果.

3 試驗(yàn)分析

試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心提供的2015-11-23–2015-12-06共14 d的連續(xù)精密鐘差數(shù)據(jù),采用4種單一模型和2種組合模型進(jìn)行短期鐘差預(yù)報(bào).

目前,BDS系統(tǒng)在軌運(yùn)行的衛(wèi)星按其軌道類型分為3類,文中每類衛(wèi)星各取1顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù),衛(wèi)星號分別為C04(GEO Rb)、C07(IGSO Rb)、C14(MEO Rb).GPS系統(tǒng)在軌運(yùn)行的衛(wèi)星按衛(wèi)星鐘類型分為6類,每類中各取1顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù),衛(wèi)星號分別為G04(Block IIA Rb)、G09(Block IIA Cs)、G16(Block IIR Rb)、G31(Block II-M Rb)、G27(Block IIF Rb)、G24(Block IIF Cs). 對以上9顆衛(wèi)星進(jìn)行試驗(yàn)分析,用1 d的鐘差數(shù)據(jù)建立模型,共進(jìn)行10次連續(xù)1 d的預(yù)報(bào).將預(yù)報(bào)結(jié)果與精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行比較,來評估每種模型的預(yù)報(bào)精度.

3.1 單一預(yù)報(bào)模型分析

采用上述9顆衛(wèi)星2015-11-23–2015-12-06共14 d的連續(xù)精密鐘差數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù),各顆衛(wèi)星的鐘差序列如圖1所示.

圖1 各顆衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)序列圖(2015-11-23—2015-12-06)Fig.1 Data sequence diagram of satellite clock difference(2015-11-23—2015-12-06)

分別采用2015-11-23–2015-12-05單日的鐘差序列作為各模型的建模序列,依次預(yù)報(bào)2015-11-24–2015-12-06單日的鐘差序列,共進(jìn)行10次連續(xù)1 d的預(yù)報(bào).對幾種預(yù)報(bào)模型的比較文中主要采用均方誤差來衡量其預(yù)報(bào)精度,均方誤差計(jì)算公式為

式中,l為預(yù)報(bào)歷元個數(shù).

3.1.1 多項(xiàng)式模型分析(QR)

對于銫原子鐘(Cs)宜采用1次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合預(yù)報(bào),銣原子鐘(Rb)宜采用2次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合預(yù)報(bào).文中采用2015-11-23單日的數(shù)據(jù)建立多項(xiàng)式模型,預(yù)報(bào)2015-11-24的鐘差序列.

統(tǒng)計(jì)多顆衛(wèi)星連續(xù)10次1 d的擬合和預(yù)報(bào)均方誤差,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.然后分別將各顆衛(wèi)星的10次擬合和預(yù)報(bào)的均方誤差取平均值,得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示.

圖2 QR模型擬合(左)和預(yù)報(bào)(右)的RMS值統(tǒng)計(jì)Fig.2 RMS statistics of fitting(left)and prediction(right)of the QR model

表1 QR模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值平均值統(tǒng)計(jì)Table 1 The average RMS statistics of fitting and prediction of the QR model

根據(jù)圖2左圖QR模型的擬合結(jié)果,可以看出G09(Block IIA Cs)和G24(Block IIF Cs)號衛(wèi)星擬合均方誤差較大,其余衛(wèi)星的擬合均方誤差均在亞納秒級.圖2右圖的預(yù)報(bào)結(jié)果和表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明,對于不同衛(wèi)星的鐘差序列,QR模型的預(yù)測結(jié)果差異較大.G27(Block IIF Rb)號衛(wèi)星鐘的多個單天預(yù)報(bào)精度的平均值達(dá)到1.21 ns.利用QR模型對BDS衛(wèi)星鐘進(jìn)行短期預(yù)報(bào),其平均預(yù)報(bào)精度在14 ns左右,總體預(yù)報(bào)效果均差于GPS衛(wèi)星鐘.

3.1.2 灰色模型分析(GM)

對9顆衛(wèi)星建立灰色模型,統(tǒng)計(jì)多顆衛(wèi)星連續(xù)10次1 d的擬合和預(yù)報(bào)均方誤差,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示.然后分別將各顆衛(wèi)星的10次擬合和預(yù)報(bào)的均方誤差取平均值,得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.

圖3 GM模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值統(tǒng)計(jì)Fig.3 RMS statistics of fitting and prediction of the GM model

表2 GM模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值平均值統(tǒng)計(jì)Table 2 The average RMS statistics of fitting and prediction of the GM model

由圖3和表2分析可知,對于鐘差變化不穩(wěn)定的序列(如C04號衛(wèi)星鐘),GM模型預(yù)報(bào)1 d的精度較差,其平均預(yù)報(bào)誤差最大達(dá)到73 ns.而對于GPS衛(wèi)星鐘,GM模型對G16(Block IIR Rb)衛(wèi)星鐘進(jìn)行連續(xù)多個單日預(yù)報(bào),其預(yù)報(bào)精度的平均值在1 ns以下.總體預(yù)報(bào)效果BDS衛(wèi)星鐘均差于GPS衛(wèi)星鐘.

3.1.3 時間序列模型分析(ARMA)

鐘差序列一般都具有明顯的趨勢項(xiàng),是非平穩(wěn)序列.需要通過1次差分的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理,再采用動態(tài)數(shù)據(jù)建模方法(DDS)建立ARMA模型,即為ARIMA(p,d,q)模型,其中d=1[20].

統(tǒng)計(jì)多顆衛(wèi)星連續(xù)10次1 d的擬合和預(yù)報(bào)均方誤差,結(jié)果如圖4所示.然后分別將各顆衛(wèi)星的10次擬合和預(yù)報(bào)的均方誤差取平均值,得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示.

表3 ARMA模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值平均值統(tǒng)計(jì)Table 3 The average RMS statistics of fitting and prediction of the ARMA model

圖4 ARMA模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值統(tǒng)計(jì)Fig.4 RMS statistics of fitting and prediction of the ARMA model

由圖4和表3分析可知,對于BDS衛(wèi)星鐘,C04號衛(wèi)星鐘鐘差序列變化不穩(wěn)定,ARMA模型預(yù)報(bào)1 d的精度較差,其平均預(yù)報(bào)誤差達(dá)到27 ns.而對于GPS衛(wèi)星鐘,ARMA模型分別對G09(Block IIA Cs)和G24(Block IIF Cs)衛(wèi)星鐘進(jìn)行連續(xù)多個單天預(yù)報(bào),其預(yù)報(bào)精度的平均值稍大,其余GPS衛(wèi)星鐘鐘差序列變化穩(wěn)定.總體預(yù)報(bào)效果BDS衛(wèi)星鐘均差于GPS衛(wèi)星鐘.

3.1.4 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析(GRNN)

利用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行鐘差短期預(yù)報(bào),在進(jìn)行廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模前,需先對鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理,再對其進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練,最后得到的擬合和預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)累加還原為最終的擬合和預(yù)報(bào)鐘差序列.

統(tǒng)計(jì)多顆衛(wèi)星連續(xù)10次1 d的擬合和預(yù)報(bào)均方誤差,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示.然后分別將各顆衛(wèi)星的10次擬合和預(yù)報(bào)的均方誤差取平均值,得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示.

圖5 GRNN模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值統(tǒng)計(jì)Fig.5 RMS statistics of fitting and prediction of the GRNN model

由圖5和表4分析可知,對于BDS衛(wèi)星鐘,3種類型的衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘鐘差序列變化都不穩(wěn)定,說明了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的異常狀態(tài)會嚴(yán)重影響GRNN模型預(yù)報(bào)的精度.而對于GPS衛(wèi)星鐘,其預(yù)報(bào)精度都在6 ns以內(nèi),其中,G16(Block IIR Rb)號衛(wèi)星連續(xù)多個1 d平均預(yù)報(bào)精度達(dá)到亞納秒級.總體預(yù)報(bào)效果BDS衛(wèi)星鐘均差于GPS衛(wèi)星鐘,甚至差距較大.

表4 GRNN模型擬合和預(yù)報(bào)的RMS值平均值統(tǒng)計(jì)Table 4 The average RMS statistics of fitting and prediction of the GRNN model

3.1.5 單一模型綜合對比分析

單一模型對單顆衛(wèi)星進(jìn)行連續(xù)10次1 d的預(yù)報(bào)可以得到10個均方誤差,分別對這10個值取平均值(ˉσ)和取最大均方誤差與最小均方誤差求極差(ε=σmax?σmin)作為表5和表6中的預(yù)報(bào)精度指標(biāo).為了便于直觀分析每種模型對每種類型衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)精度情況,圖6和圖7分別給出了單一模型預(yù)測精度統(tǒng)計(jì)圖和預(yù)測均方誤差的極差統(tǒng)計(jì)圖.

表5 單一模型預(yù)測精度對比(單位:ns)Table 5 Comparison of prediction accuracy of single model(unit:ns)

圖6 單一模型預(yù)測精度統(tǒng)計(jì)圖Fig.6 The statistical chart of the prediction accuracy for single model

表6 單一模型預(yù)測均方誤差的極差對比(單位:ns)Table 6 The range contrast of RMS for single model prediction(unit:ns)

圖7 單一模型預(yù)測均方誤差的極差統(tǒng)計(jì)圖Fig.7 The range statistical chart of RMS for single model prediction

結(jié)合表5、表6以及圖6、圖7分析可知:(1)比較分析4種單一模型在不同衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)效果,其精度差異較大.因此,應(yīng)該根據(jù)衛(wèi)星鐘的特點(diǎn)及模型的適用性,對不同的衛(wèi)星選擇合適的預(yù)報(bào)模型;(2)從不同模型對同一顆衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)精度來看,對于GPS衛(wèi)星鐘,4種模型基本可以達(dá)到相同量級的預(yù)報(bào)精度.針對BDS衛(wèi)星鐘,QR、GM和ARMA 3種模型基本可以達(dá)到相同的預(yù)報(bào)效果,而GRNN模型的預(yù)報(bào)效果較差;(3)GNRR模型均方誤差的極差值在BDS衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)中基本都處于60 ns以上,說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在鐘差序列狀態(tài)異常多變的情況下預(yù)報(bào)精度不穩(wěn)定.與QR、GM和ARMA 3種模型預(yù)報(bào)精度對比,用GNRR模型在一部分GPS衛(wèi)星鐘的短期鐘差預(yù)報(bào)中可以得到較穩(wěn)定且高精度的結(jié)果(如G16(Block IIR Rb)、G27(Block IIF Rb)號衛(wèi)星).

3.2 組合預(yù)報(bào)模型分析

綜合以上所述4種模型的預(yù)報(bào)結(jié)果來看,其鐘差序列變化不穩(wěn)定,難以獲得穩(wěn)定且高精度的短期預(yù)報(bào)結(jié)果.因此,這里對于組合預(yù)報(bào)模型的研究主要針對6顆GPS(G04(Block IIA Rb)、G09(Block IIA Cs)、G16(Block IIR Rb)、G31(Block II-M Rb)、G27(Block IIF Rb)、G24(Block IIF Cs))衛(wèi)星鐘進(jìn)行短期預(yù)報(bào)分析,不再對BDS衛(wèi)星鐘進(jìn)行深入討論.

采用武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心提供的2015年11月23日至2015年12月6日共14 d的連續(xù)精密鐘差數(shù)據(jù),預(yù)報(bào)方案為用1 d數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并預(yù)報(bào)1 d,連續(xù)進(jìn)行10次1 d的預(yù)報(bào)試驗(yàn).分別采用經(jīng)典權(quán)方法和修正經(jīng)典權(quán)方法對4種單一預(yù)報(bào)模型(QR、GM、ARMA和GRNN)的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行組合,得到經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型和修正經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型.文中從6顆GPS衛(wèi)星中選取了4顆(分別為G16(Block IIR Rb)、G24(Block IIF Cs)、G27(Block IIF Rb)、G31(Block II-M Rb))衛(wèi)星精密鐘差序列進(jìn)行試驗(yàn),得到6種模型連續(xù)多次預(yù)報(bào)的均方誤差,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖8所示.表7為各衛(wèi)星在單一模型和組合模型下連續(xù)10次1 d預(yù)報(bào)得到的綜合精度對比統(tǒng)計(jì)結(jié)果,主要通過3個指標(biāo)來衡量(ˉσ、σ和ε).

圖8 單一模型和組合模型預(yù)報(bào)GPS衛(wèi)星鐘的精度統(tǒng)計(jì)圖Fig.8 The statistical chart of GPS satellite clock accuracy for single model and combined model prediction

表7 單一模型和組合模型預(yù)報(bào)GPS衛(wèi)星鐘的精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 7 The statistical results of GPS satellite clock accuracy for single model and combined model prediction

結(jié)合圖8和表7分析可知:(1)G16(Block IIR Rb)衛(wèi)星的經(jīng)典權(quán)和修正權(quán)的3個指標(biāo),修正經(jīng)典權(quán)平均精度較高,預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性也較高,可以更好地平衡各單一模型的預(yù)報(bào)精度.從其他3類原子鐘(G24(Block IIF Cs)、G27(Block IIF Rb)、G31(Block II-M Rb))的預(yù)報(bào)精度結(jié)果也可以得到相似的結(jié)論;(2)同一種模型應(yīng)用于不同的衛(wèi)星鐘,其預(yù)報(bào)精度差異較大.對于G27(Block IIF Rb)衛(wèi)星,QR模型精度最高,對于G16(Block IIR Rb)衛(wèi)星,QR模型的預(yù)報(bào)精度最差而GM模型的預(yù)報(bào)精度相對較高;(3)在進(jìn)行連續(xù)多時段預(yù)報(bào)中,修正經(jīng)典權(quán)組合模型綜合考慮了擬合誤差以及多個歷史時段的預(yù)報(bào)誤差,因此其預(yù)報(bào)精度在一定程度上優(yōu)于經(jīng)典權(quán)組合模型,該方法在保證預(yù)報(bào)可靠性的前提下提高了預(yù)報(bào)精度.綜合上述分析得出結(jié)論:線性組合模型算法簡單實(shí)用,是單一模型的凸組合.該種組合模型的預(yù)報(bào)精度不會大于由單一模型預(yù)報(bào)得到的最大均方誤差,甚至有時還會得到優(yōu)于所有單一模型的預(yù)報(bào)精度.

4 結(jié)論

本文主要對BDS/GPS星載原子鐘的短期鐘差預(yù)報(bào)模型的建模特點(diǎn)以及6種模型(QR模型、GM模型、ARMA模型、GRNN模型、經(jīng)典權(quán)組合模型和修正經(jīng)典權(quán)組合模型)的預(yù)報(bào)效果進(jìn)行比較分析,得出如下結(jié)論:

(1)單一模型在連續(xù)10次短期預(yù)報(bào)中,3顆BDS衛(wèi)星鐘(C04(GEO Rb)、C07(IGSO Rb)、C14(MEO Rb))的鐘差預(yù)報(bào)精度跳躍性很大,各單一預(yù)報(bào)模型在10次連續(xù)預(yù)報(bào)中的極差均至少在50 ns以上,這也間接反映了BDS鐘差數(shù)據(jù)變化規(guī)律的不穩(wěn)定;而對于6顆GPS衛(wèi)星鐘G04(Block IIA Rb)、G09(Block IIA Cs)、G16(Block IIR Rb)、G31(Block II-M Rb)、G27(Block IIF Rb)、G24(Block IIF Cs)的預(yù)報(bào)精度變化比較平穩(wěn),各單一預(yù)報(bào)模型在10次預(yù)報(bào)中的極差最大值不高于19 ns.因此,數(shù)據(jù)本身對其預(yù)報(bào)效果影響很大.

(2)同一種預(yù)報(bào)模型應(yīng)用在不同類型的衛(wèi)星鐘序列中,預(yù)報(bào)精度差異較大.因此,應(yīng)該根據(jù)衛(wèi)星鐘特點(diǎn)以及模型的適用性,對不同的衛(wèi)星鐘選擇合適的預(yù)報(bào)模型.

(3)通過對比不同模型的預(yù)報(bào)效果,在鐘差序列狀態(tài)多變的情況下,GNRR模型容易受到嚴(yán)重影響,導(dǎo)致其預(yù)報(bào)精度較差,對于C14(MEO Rb)衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)的極差值達(dá)到975.00 ns;對于G27(Block IIF Rb)衛(wèi)星鐘,4種單一模型中預(yù)報(bào)精度最高的是QR模型,符合G27號衛(wèi)星鐘差序列的變化趨勢.

(4)分別采用經(jīng)典權(quán)和修正經(jīng)典權(quán)組合模型對鐘差序列進(jìn)行預(yù)報(bào),修正經(jīng)典權(quán)可以得到比經(jīng)典權(quán)預(yù)報(bào)穩(wěn)定性更高的結(jié)果.并且該組合模型的預(yù)報(bào)均方誤差不會大于由單一模型預(yù)報(bào)得到的最大均方誤差,甚至有時還會得到優(yōu)于所有單一模型的預(yù)報(bào)精度.

本文主要針對BDS/GPS星載原子鐘的短期鐘差預(yù)報(bào)模型進(jìn)行研究,而對BDS/GPS衛(wèi)星鐘差的中期和長期預(yù)報(bào)的規(guī)律進(jìn)行研究和分析,將是下一步研究工作的重點(diǎn).

致謝感謝審稿專家在審閱本文的過程中指出的問題和給出的詳細(xì)建議.感謝武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心提供的BDS和GPS衛(wèi)星精密鐘差產(chǎn)品數(shù)據(jù).

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