扁率對(duì)行星自由核章動(dòng)與低階本征模耦合影響的初步研究?

張冕黃乘利

(1中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)上海200030)

(2中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室上海200030)

(3中國(guó)科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

行星不是嚴(yán)格意義上的剛體,它們的自轉(zhuǎn)會(huì)使其形變,大多數(shù)行星的形狀可以近似看作2階橢球.1735年左右,巴黎科學(xué)院派遣了兩支測(cè)量隊(duì),一支去了秘魯,另一支去了拉普蘭,試圖用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定地球橢球的扁率.1743年,克萊勞發(fā)表了他的關(guān)于地球扁率是深度函數(shù)的著名微分公式,這一公式基于流體靜平衡的理論,所以至今還是基本成立的[1].除了克萊勞和拉道的經(jīng)典方法外,Lichtenstein完善了Liapounoff的積分方程法,Wavre提出了一種平衡曲面的方法,Macke發(fā)展了一套現(xiàn)代的位能守恒方法[1].此外,Chandrasekhar[2]用慣性矩的方法詳細(xì)討論和研究了一般星體的平衡形狀.

形變后的行星的平衡形狀通常可以看作1階橢球體,這會(huì)引起行星的某些物理性質(zhì)發(fā)生變化.這些變化引起的現(xiàn)象則可以反過來檢視行星的扁率.本文通過自由核章動(dòng)的變化和低階本征模的耦合來討論這個(gè)問題.自由核章動(dòng)(Free Core Nutation,FCN)是由于地核與地幔的旋轉(zhuǎn)軸不一致引起的一個(gè)近周日的旋轉(zhuǎn)模,它連接了天文觀測(cè)與地球內(nèi)部.核幔邊界處的扁率對(duì)此模周期有很大的影響,根據(jù)Neuberg等[3]和黃乘利[4]的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)只需把核幔邊界處的扁率增加5%,就可以使原本理論計(jì)算得到的460 sd的周期,變成與觀測(cè)一致的430 sd.本文則通過整體扁率的放縮,研究自由核章動(dòng)周期的變化.

土星在太陽系內(nèi)有著最大的扁率,它的高速旋轉(zhuǎn)和大扁率都會(huì)使低階本征模產(chǎn)生巨大的耦合.Vorontsov等[5]最早研究了土星在自轉(zhuǎn)和扁率影響下的自由振蕩,他們采用了擾動(dòng)法,即把自轉(zhuǎn)和扁率看作小擾動(dòng),對(duì)原始的無自轉(zhuǎn)和無扁率下的結(jié)果進(jìn)行修正.但是土星自轉(zhuǎn)很快,其低階的自由振蕩周期與自轉(zhuǎn)周期相比,已經(jīng)不適合看做小擾動(dòng),且土星的大扁率使低階的本征模強(qiáng)烈耦合,在此情況下使用擾動(dòng)法是值得商榷的.本文采用直接計(jì)算法對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了初步的討論.

2 扁率對(duì)自由核章動(dòng)的影響

Hough[6]于1895年利用由液態(tài)核和固體殼組成的兩層均質(zhì)地球模型預(yù)言了一個(gè)近周日的擺動(dòng),此即自由核章動(dòng).既然固體核是均質(zhì)的,那么它在核幔邊界處的動(dòng)力學(xué)扁率ec與其形狀扁率是一致的.利用這個(gè)模型可以得到一個(gè)退行的近周日擺動(dòng),它存在一個(gè)頻率:

其中,?、A和Ac分別是自轉(zhuǎn)角速度、整體的赤道慣性矩和內(nèi)核的赤道慣性矩,ν則是自由核章動(dòng)角頻率.對(duì)于初步地球參考模型(preliminary reference Earth model,PREM)[7],(1)式會(huì)得到350 sd的自由核章動(dòng)周期.但是Hough預(yù)測(cè)的自由核章動(dòng)在當(dāng)時(shí)并不被認(rèn)可,直到1926年,Jeffreys[8]利用地震學(xué)資料證實(shí)了液體核的存在.Hough[6]采用的是角動(dòng)量守恒法來計(jì)算自由核章動(dòng)周期,這是一種經(jīng)典而古老的方法,對(duì)于復(fù)雜的地球模型,現(xiàn)代常用的是由Smith[9?10]提出并完善的線形動(dòng)量法.它把復(fù)雜動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換成常微分方程組,把需要計(jì)算的變量進(jìn)行一定精度的截?cái)?并把這些變量從扁球體計(jì)算域轉(zhuǎn)換到等效的球體計(jì)算域.這些變量在地心處根據(jù)正則邊界條件構(gòu)造出初值,利用常微分方程組從地心積分到地表,之后在自由表面檢驗(yàn)是否滿足邊界條件來判斷是否為正確解.

由(1)式可以看出:自由核章動(dòng)與核幔邊界處的扁率有著重要的聯(lián)系,Neuberg等[3]和黃乘利[4]的計(jì)算發(fā)現(xiàn):只需把核幔邊界處的扁率增加5%,就可以使原本用Smith方法計(jì)算自由核章動(dòng)得到的460 sd,變成與觀測(cè)一致的430 sd.需要強(qiáng)調(diào)的是:不能通過人為修改核幔邊界處的扁率令理論結(jié)算結(jié)果與觀測(cè)結(jié)果一致.與以往研究不同,本文通過整體放縮扁率剖面來計(jì)算扁率與自由核章動(dòng)的關(guān)系.

2.1 基本方程和邊界條件

在彈性各向同性的流體靜平衡的固體圈層中,小位移引起的周期振蕩的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成[9,11?12]

其中,λ和μ為L(zhǎng)ame參數(shù),為單位并矢.在等熵的無粘流體圈層中,小振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可以寫為[14]:

其中,ρ1和p1分別定義為:

其中,α為壓縮波波速.液體圈層中應(yīng)力張量可以寫成:

其中,G為引力常數(shù).在地心處要求各物理量必須正則.在自由表面處,需滿足如下條件:

2.2 地球模型和扁率

本文采用的是初步地球參考模型[7],把地球分為12層,去掉了對(duì)自由核章動(dòng)不敏感的海洋層.物理參數(shù)表示采用的是12層模型,而未知變量表示采用了3層模型:固體內(nèi)核、液體外核和固體的地幔(加地殼).之后對(duì)PREM模型進(jìn)行扁率改正,從Wavre的積分微分方程出發(fā)[1]:

等密度面(等勢(shì)面)r=r0[1+?2P2(θ)],其中,?2為系數(shù),r0為等效球面的半徑,P2為2階勒讓德函數(shù),θ為極角.解出方程(14)中的?2,在1階近似下可以得到扁率. 方程(14)可以使用Galerkin譜方法解得,使用方程(14)的優(yōu)點(diǎn)是:不需要像Clairaut方程一樣給出邊界條件,只需知道行星的平均等效半徑和密度剖面.這是因?yàn)镃lairaut方程是方程(14)進(jìn)行2次求導(dǎo)后的結(jié)果,丟失了信息.本文計(jì)算得到的扁率剖面與黃乘利[4]的結(jié)果是一致的,例如在核幔邊界處?2值都為0.00254656.

2.3 變量的表示

球坐標(biāo)系中球諧矢量變量可以表示為[12]:

2.4 計(jì)算方法

本文采用了Galerkin方法來計(jì)算自由核章動(dòng),而非Smith[10]的傳統(tǒng)方法.Seyed-Mahmoud等[15]曾用Galerkin方法解算過自轉(zhuǎn)可壓縮自引力流體的振蕩,得到了不錯(cuò)的結(jié)果.本文把Galerkin方法應(yīng)用到3層模型,來計(jì)算自由核章動(dòng).令未知量寫成冪級(jí)數(shù)的組合:

其中,ck是系數(shù).把試探函數(shù)χj乘到待解方程的兩邊,積分可以得到

其中,R是邊界.上式是對(duì)球體的積分,如果求解域?yàn)楸馇蝮w,則可寫成:

同時(shí)球域上的物理參數(shù)X(R)修正為扁球體上的. 加入邊界條件后,解算方程(23)就能得到本征模的頻率.

2.5 扁率對(duì)自由核章動(dòng)的影響

具體做法為:在得到扁率剖面f后,本文不在核幔邊界處修改扁率,因?yàn)檫@樣會(huì)使物理量變化太過突兀,而是采用了全局乘以一個(gè)系數(shù)進(jìn)行研究,即:

c與自由核章動(dòng)周期的計(jì)算結(jié)果列于表1,可以看出扁率對(duì)地球的自由核章動(dòng)影響很大.這與由Hough-Poincare模型得出的結(jié)論是一致的:Hough-Poincare模型下的自由核章動(dòng)周期T可以由(1)式推導(dǎo)出

可以看出自由核章動(dòng)周期與核幔邊界處扁率的倒數(shù)成正相關(guān).

表1 自由核章動(dòng)周期與扁率放縮系數(shù)的關(guān)系Table 1 The relation of FCN period and the coeffecient c

3 大扁率對(duì)土星低階本征模的影響

Vorontsov等人最早使用現(xiàn)代方法研究太陽系內(nèi)類木行星的自由振蕩[16].土星在太陽系內(nèi)有著最大的扁率,它的高速自轉(zhuǎn)和大扁率都會(huì)使低階本征模產(chǎn)生巨大的耦合.Vorontsov等[5]最早研究了土星在自轉(zhuǎn)和具有大扁率下的自由振蕩.他們采用了擾動(dòng)法,即把自轉(zhuǎn)和大扁率看作小擾動(dòng),對(duì)原始的無自轉(zhuǎn)和無扁率下的模型使用傳統(tǒng)的Alterman等[17]的方法進(jìn)行計(jì)算,再于結(jié)果上進(jìn)行小擾動(dòng)的修正.但是土星自轉(zhuǎn)是高速的,其低階的自由振蕩周期與自轉(zhuǎn)周期相比,已經(jīng)不適合看做小擾動(dòng),且土星的大扁率使低階的本征模強(qiáng)烈耦合,在此情況下使用擾動(dòng)法是值得商榷的.在Vorontsov和Zharkov之后,無人討論高速自轉(zhuǎn)和大扁率下的土星低階自由振蕩.本文采用直接計(jì)算法對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了初步的討論.

3.1 土星模型與控制方程

本文采用了多方模型來構(gòu)建土星模型,它是一種壓強(qiáng)和密度的關(guān)系[18]:

其中,P是壓強(qiáng),ρ是密度,K是一個(gè)常數(shù),常數(shù)l是多方指數(shù),表征星體的形態(tài):中子星可以用l在0.5到1之間的多方模型描述;恒星核、褐矮星、氣態(tài)巨行星甚至類地行星都可以用l=1.5的多方模型描述;主序恒星可以用l=3的多方模型描述[18].在行星科學(xué)研究中,氣態(tài)巨行星也可以用l=1的多方模型[19]描述.在具體解算有自引力、球?qū)ΨQ和多方流體的星體內(nèi)部的狀態(tài)時(shí),人們常采用一個(gè)無量綱的泊松方程:

其中,ξ是無量綱的半徑,定義為r=αξ,α為常數(shù);γ是與密度相關(guān)的量:ρ(ξ)=ρcγl(ξ),ρc是球心處的密度.(27)式的初始條件為γ(0)=1和γ′(0)=0(γ′是γ的導(dǎo)數(shù)). 本文取多方指數(shù)l=1.5,平均半徑Rp=58242 km,總質(zhì)量Mp=5.68×1026kg,自轉(zhuǎn)周期?0=10.55 h,計(jì)算得到土星模型,其半徑和密度的關(guān)系如圖1[20?21].

圖1 多方指數(shù)為1.5的土星密度剖面Fig.1 The Saturn’s density profile of the polytropic model with n=1.5

這樣得到的是球?qū)ΨQ的土星模型,對(duì)于2階扁球體的土星模型,則利用(14)式進(jìn)行2階扁球體的改正.經(jīng)過計(jì)算可以得到扁率剖面,在土星表面,本文多方模型的扁率為0.0918,這與實(shí)際的土星的扁率是很接近的.對(duì)于土星和木星低階的自由振蕩的計(jì)算,目前的主流做法還是采用彈性力學(xué)的手段,例如Vorontsov等[5]、Marley[22]、Gudkova等[23]和Fuller等[24]的計(jì)算方法,因?yàn)橥列呛湍拘遣皇峭昝赖臍鈶B(tài)行星,它們有固體核和液體圈層.作為初步研究,本文采用了1層土星模型,采用了2.1節(jié)中等熵的無粘流體圈層中小振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程:

方程(6)中的壓縮波波速可以寫為:

其中,β表示與完全絕熱分層情況下密度梯度的分離程度,它正比于局部Brunt-Vaisala頻率的平方:

本文采用了β=0的絕熱模型,以此解出α2.

3.2 計(jì)算結(jié)果與討論

本文計(jì)算了無自轉(zhuǎn)球體、自轉(zhuǎn)球體和自轉(zhuǎn)橢球體下的低階本征模,結(jié)果見表2.本文先從球體非自轉(zhuǎn)的模型開始,得到了的基頻為145.2 min,相較于土星的自轉(zhuǎn)速度10.55 h已經(jīng)不能看做小量,擾動(dòng)法不是很適合于這種情況.同時(shí)得到的基頻周期是117.7 min,的基頻周期是103.2 min.

在有自轉(zhuǎn)的扁球體模型中,扁率會(huì)使得截?cái)噙M(jìn)一步增長(zhǎng).對(duì)于模,如果只截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為108.5 min;如果截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為107.9 min;如果截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為112.3 min;如果截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為112.8 min.對(duì)于模,如果只截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為109.3 min; 如果截?cái)嗟?會(huì)得到基頻周期為114.9 min; 如果截?cái)嗟? 會(huì)得到基頻周期為111.3 min; 如果截?cái)嗟? 會(huì)得到基頻周期為113.0 min.可見在大扁率下,截?cái)鄬?duì)低階本征模的影響是巨大的.

此外,Goldreich等[25]認(rèn)為類木行星的自由振蕩本征模的能量來自湍流對(duì)流,不同本征模的能量有兩種比例關(guān)系[26].第1種是等分法,即每個(gè)模的能量都是一樣的,這是強(qiáng)耦合的情況.第2種是每個(gè)模的能量正比于f?13/2(f是模的頻率),這是弱耦合的情況.如果ft＞1(t是對(duì)流流失的特征時(shí)間),則為弱耦合,反之為強(qiáng)耦合.現(xiàn)有的結(jié)果似乎暗示土星是弱耦合[22].本文也對(duì)這種能量比例對(duì)低階本征模的影響做了初步的計(jì)算,假設(shè)在有自轉(zhuǎn)的扁球體模型中, 對(duì)于模取截?cái)嘈问? 并寫成:

其中,c為系數(shù), 用來表征的振幅比. 需要說明的是: 這只是一個(gè)不嚴(yán)格的計(jì)算嘗試.不同模的能量比可以看做振幅比的平方.c=1時(shí),得到基頻的周期為111 min;c=0.1時(shí),可以得到基頻的周期為118 min;c=100時(shí),可以得到基頻的周期為108 min.而對(duì)于有自轉(zhuǎn)的球體,無論取怎樣的截?cái)?計(jì)算的結(jié)果都是同樣的125.7 min,可見:在大扁率的耦合作用下,低階本征模計(jì)算時(shí),需要考慮不同模的能量比例,而現(xiàn)在的研究都沒有包含這個(gè)約束條件.

表2 土星的低階本征模Table 2The lower degree normal modes of Saturn

對(duì)于土星這樣自轉(zhuǎn)十分迅速、扁率很大的行星,本文采用1階橢球近似,求得的內(nèi)部形狀和密度結(jié)構(gòu)與真實(shí)條件會(huì)有不小的差距.對(duì)于星體的平衡形狀,著名的錢德拉塞卡用慣性矩的方法做出了很多定性的討論[2].但若要實(shí)際解算扁率剖面來進(jìn)行本征模的計(jì)算,還是需要采用Clairaut(1階)、Darwin(2階)、Dennis(3階甚至更高)的方法,這些方法都是令橢球內(nèi)部點(diǎn)的重力位中某些系數(shù)為零求得的.除了Darwin的經(jīng)典計(jì)算2階扁率的方法外,Lichtenstein完善了Liapounoff的積分方程法,Macke發(fā)展了一套現(xiàn)代位能守恒方法,這些方法都可以計(jì)算高階的形狀[1].對(duì)于高階形狀,我們接下來擬采用很少人使用的Wavre的平衡曲面法進(jìn)行研究,這種方法有很多優(yōu)點(diǎn):(1)類似于廣義相對(duì)論中互相影響的物質(zhì)分布與時(shí)空幾何結(jié)構(gòu),Wavre理論可以把物理屬性結(jié)構(gòu)與幾何分層結(jié)構(gòu)完全分開.(2)Wavre理論不僅僅可以使用球諧函數(shù),還可以使用橢圓函數(shù),甚至放棄這些統(tǒng)一的特殊函數(shù)和全局坐標(biāo)系,使用微分幾何中的活動(dòng)標(biāo)架.這意味著可以拋棄傳統(tǒng)的球諧函數(shù)(三角函數(shù))的表示形式,例如r=R(1+c1sin2θ+c2sin4θ),而是直接用分層處的平均曲率J和分層厚度N來表示.這樣做的好處是:2階以上扁率用球諧函數(shù)表示的形狀,不是流體靜平衡的(Hamy-Pizzetti定理),而Wavre法配合活動(dòng)標(biāo)架法計(jì)算的曲面是嚴(yán)格平衡的.(3)Wavre理論還可以計(jì)算非流體靜平衡狀態(tài)下的形狀,例如土星的較差自轉(zhuǎn)使土星的形狀發(fā)生改變,這種情況其他方法難以施展.對(duì)于高階形狀對(duì)周期等的影響，將會(huì)在接下來的工作中繼續(xù).

4 總結(jié)與展望

扁率對(duì)類地行星的自由核章動(dòng)有著巨大的影響,人們可以使用觀測(cè)得到的自由核章動(dòng)周期來研究類地行星內(nèi)部的結(jié)構(gòu).大扁率使得高速自轉(zhuǎn)的類木行星的低階本征模強(qiáng)烈耦合,其在球體模型與扁球體模型下計(jì)算得到的低階本征模的頻率有著很大的差距.其中不同本征模的能量分配比例會(huì)使結(jié)果有著明顯的差異,但當(dāng)前這方面的研究很少,本文嘗試計(jì)算了不同模能量比例引起的作用.計(jì)算類木行星的低階本征模頻率,可以研究其內(nèi)部結(jié)構(gòu),尤其是有豐富光環(huán)結(jié)構(gòu)的土星.Fuller等[24]已經(jīng)嘗試用其C環(huán)中波紋變化[27]來研究土星的低階本征模,以此來研究其內(nèi)部的結(jié)構(gòu).但是Fuller等[24]采用的是一個(gè)簡(jiǎn)單的球體模型,這與實(shí)際的大扁率扁球體是有一定差距的.本研究希望將來能用扁球體模型來研究土星的C環(huán)內(nèi)波紋變化與低階本征模的關(guān)系,從而更深入地了解土星的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

[1]Moritz H.Figure of the Earth:Geodesy and the Earth’s Interior.Karlsruhe:Wichmann,1990

[2]Chandrasekhar S.Ellipsoidal Figures of Equilibrium.New Haven:Yale University Press,1969

[3]Neuberg J,Hinderer J,Zrn W.On the Complex Eigenfrequency of the“Nearly Diurnal Free Wobble”and Its Geophysical Interpretation//McCarthy D D,Carter W E.Variations in Earth Rotation.Washington:American Geophysical Union,1990:11-16

[4]黃乘利.包含海洋和大氣的非剛體地球章動(dòng)研究.上海:中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái),1999

[5]Vorontsov S,Zharkov V.AZh,1981,58:1101

[6]Hough S S.RSPTA,1895,186:469

[7]Dziewonski A M,Anderson D L.PEPI,1981,25:297

[8]Jeffreys H.GeoJI,1926,1:371

[9]Smith M L.GeoJI,1974,37:491

[10]Smith M L.GeoJI,1977,50:103

[11]Wu X P,Wahr J M.GeoJI,1997,128:18

[12]Dahlen F A,Tromp J.Theoretical Global Seismology.Princeton:Princeton University Press,1998

[13]Rogister Y,Rochester M G.GeoJI,2004,159:874

[14]Graham G A C.Continuum Mechanics and Its Applications.Boca Raton:CRC Press,1989:797-823

[15]Seyed-Mahmoud B,Rochester M.PEPI,2006,156:143

[16]Vorontsov S V,Zharkov V N,Lubimov V M.Icar,1976,27:109

[17]Alterman Z,Jarosch H,Pekeris C L.RSPTA,1959,252:80

[18]Horedt G P.Polytropes:Applications in Astrophysics and Related Fields.Dordrecht:Kluwer Academic Publisher,2004:569-570

[19]de Pater I,Lissauer J J.Planetary Sciences.Cambridge:Cambridge University Press,2015:274-276

[20]張冕,黃乘利.天文學(xué)報(bào),2017,58:12

[21]Zhang M,Huang C L.ChA&A,2018,42:129

[22]Marley M S.Icar,1991,94:420

[23]Gudkova T V,Zharkov V N.AstL,2003,29:674

[24]Fuller J,Lai D,Storch N I.Icar,2014,231:34

[25]Goldreich P,Kumar P.ApJ,1988,326:462

[26]Goldreich P,Kumar P.ApJ,1990,363:694

[27]Hedman M M,Nicholson P D.AJ,2013,146:12