淺談小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)策略

馮崇和

【編者按】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中要求數(shù)學(xué)課程要特別注重發(fā)展學(xué)生的“應(yīng)用意識(shí)”和“創(chuàng)新意識(shí)”。基于此，現(xiàn)行教材中，對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題環(huán)節(jié)做了重點(diǎn)設(shè)計(jì)。一線教師對(duì)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的培養(yǎng)也給予了應(yīng)有的關(guān)注。本期話題圍繞學(xué)生應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)策略展開(kāi)探討。

數(shù)學(xué)應(yīng)用是指人們用數(shù)學(xué)思想、方法解決實(shí)際問(wèn)題的顯性過(guò)程，但它不等同于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，也不等同于“應(yīng)用數(shù)學(xué)”。根據(jù)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成過(guò)程，我們可以用一張圖表示（圖1）。

數(shù)學(xué)應(yīng)用→數(shù)學(xué)應(yīng)用能力→數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)→數(shù)學(xué)意識(shí)

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是指應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的思維和策略，它包含兩個(gè)方面：其一，解數(shù)學(xué)題的能力；其二，將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)處理的能力。數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是一種從數(shù)學(xué)角度，用數(shù)學(xué)眼光觀察、分析周圍生活問(wèn)題的積極的心理傾向和思維反應(yīng)，具有可培養(yǎng)的主觀能動(dòng)性。數(shù)學(xué)意識(shí)是指?jìng)€(gè)體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，影響著個(gè)體的活動(dòng)方式，它是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的最終境界?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)作了具體化的描述：一方面，有意識(shí)利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題；另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)藏著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。

基于以上認(rèn)知和要求，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”、數(shù)學(xué)內(nèi)部“規(guī)律化”、數(shù)學(xué)知識(shí)“現(xiàn)實(shí)化”三個(gè)維度，簡(jiǎn)述小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)策略。

一、依托背景——現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”

斯托利亞指出，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以分為：經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化，數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三個(gè)階段。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們要關(guān)注知識(shí)的產(chǎn)生背景和實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成、應(yīng)用全過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，知識(shí)的產(chǎn)生來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部本身的需要。只有基于以上兩點(diǎn)需求的背景依托，才能真正地落實(shí)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的“數(shù)學(xué)化”。

1. 生活背景。

例如，教學(xué)“乘法分配律”（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)，圖2）一課時(shí)，我們可以讓學(xué)生自主借助生活背景，理解“乘法分配律”等式左右兩邊相等的道理。

絕大多數(shù)教師是按“生活引入—觀察猜想—舉例驗(yàn)證—?dú)w納概括”這樣的環(huán)節(jié)進(jìn)行本課的教學(xué)，忽略了生活背景的價(jià)值。背景價(jià)值不僅僅是“引入”作用，更重要的是在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“（6+4）×24=6×24+4×24”后，思考“等號(hào)左右兩邊的算式相等的理由有哪些？”經(jīng)過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流后，也就能找出相等的理由了：（1）計(jì)算結(jié)果都是240（根）；（2）解決的是同一個(gè)問(wèn)題，殊途同歸；（3）雖然先算的內(nèi)容不一樣（順序不一樣），但是最后都是求四、五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩；（4）左邊表示“10個(gè)24”，右邊表示“6個(gè)24與4個(gè)24的和，也是10個(gè)24”。其中，理由（1）～（3）都是利用生活背景進(jìn)行詮釋的，理由（4）是從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度進(jìn)行詮釋的。這樣學(xué)生經(jīng)歷了從生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從具體背景到算式意義，從帶量理解到無(wú)量抽象的過(guò)程，體會(huì)了生活背景的價(jià)值及限制，有利于更好地理解乘法分配律的本質(zhì)，真正地讓學(xué)生經(jīng)歷分配律產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)需要，從而有效落實(shí)從生活到數(shù)學(xué)的橫向數(shù)學(xué)化。

2. 圖形背景。

教學(xué)“乘法分配律”一課，在讓學(xué)生說(shuō)明等式左右兩邊相等的環(huán)節(jié)，教師追問(wèn)：“除了以上4個(gè)方面的理由外，還有其他的理由嗎？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考，經(jīng)過(guò)學(xué)生的思考與交流后，得到如下方法予以詮釋（圖3）：長(zhǎng)方形A與長(zhǎng)方形B的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積，所以（6+4）×24=6×24+4×24。

這樣，學(xué)生在“圖形背景”與“算式本質(zhì)”的關(guān)聯(lián)比較中，利用的是數(shù)與形的有效結(jié)合，依托的是直觀的圖形背景，水到渠成地理解了乘法分配律的意義，也實(shí)現(xiàn)了從直觀到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，真正地給學(xué)生呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

二、關(guān)注結(jié)構(gòu)——數(shù)學(xué)內(nèi)部“規(guī)律化”

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，不僅僅要關(guān)注數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，也要關(guān)注“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”在學(xué)習(xí)過(guò)程中的價(jià)值。只有關(guān)注“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，才能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從整體上建構(gòu)數(shù)學(xué)體系，從而實(shí)現(xiàn)“從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的內(nèi)部發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)與整體思維結(jié)構(gòu)的無(wú)縫鏈接。

1. 知識(shí)技能結(jié)構(gòu)。

在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”（人教版四年級(jí)下冊(cè)）一課時(shí)，學(xué)生通過(guò)量、剪、拼、折等操作活動(dòng)，經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證”的探究過(guò)程，得出結(jié)論。為了增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，教師可緊緊抓住“三角形內(nèi)角和是180度”這一數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，立刻進(jìn)行追問(wèn)：“如果是四邊形，它的內(nèi)角和又是多少度呢？五邊形、六邊形……”因?yàn)閷W(xué)生有了“三角形內(nèi)角和180度”的知識(shí)基礎(chǔ)和轉(zhuǎn)化思想的已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步的思考探究、比較交流，完善了多邊形內(nèi)角和的知識(shí)體系，從而在串聯(lián)遷移中實(shí)現(xiàn)從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)到一類知識(shí)的整體認(rèn)知，即由點(diǎn)及面，由特殊到一般的抽象過(guò)程。

2. 思想方法結(jié)構(gòu)。

無(wú)疑，數(shù)學(xué)的課堂是數(shù)學(xué)化思考的課堂，一節(jié)有思考的數(shù)學(xué)課是不斷向前推進(jìn)和向上生長(zhǎng)的。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的規(guī)律時(shí)，教師可以再進(jìn)一步追問(wèn)：“還有沒(méi)有其他方法？”教師將學(xué)生思維再一次引向深入、求異、創(chuàng)新。學(xué)生再次的合作討論交流，迸發(fā)出創(chuàng)新思維火花，得到如下詮釋的方法（圖4）。

通過(guò)不同方法的聯(lián)系、呈現(xiàn)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不管用哪一種方法，它們的本質(zhì)都是利用轉(zhuǎn)化思想將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，它們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)都是三角形的內(nèi)角和。

本課中的前一環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)的是知識(shí)技能的結(jié)構(gòu)化，側(cè)重的是一類知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，而后一環(huán)節(jié)則是圍繞轉(zhuǎn)化思想，實(shí)現(xiàn)的是學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)化，側(cè)重的是用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的思維和策略的結(jié)構(gòu)化，從而推動(dòng)“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的內(nèi)部發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的規(guī)律化。這個(gè)過(guò)程不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，更是數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用過(guò)程，自然學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)也就有效增強(qiáng)。

三、應(yīng)用模型——數(shù)學(xué)知識(shí)“現(xiàn)實(shí)化”

學(xué)習(xí)的目的在于“用”，而數(shù)學(xué)模型正是用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一座橋梁。應(yīng)用意識(shí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。這里的意識(shí)是一種主動(dòng)意識(shí)，是主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，一是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的過(guò)程；二是要突出學(xué)生能主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。弗萊登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)“現(xiàn)實(shí)化”的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化的過(guò)程，恰恰是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，讓學(xué)生主動(dòng)地找到數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)地“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，進(jìn)而落實(shí)數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)。

1. 釋模。

數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化，意味著學(xué)生要主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解釋現(xiàn)實(shí)世界、刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。因此，在一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)完成后，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地去思考現(xiàn)實(shí)生活中有哪些問(wèn)題屬于這一知識(shí)點(diǎn)，這一知識(shí)點(diǎn)和哪些現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象是相關(guān)的。同時(shí)還要求學(xué)生主動(dòng)地應(yīng)用知識(shí)去分析、解釋這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題是否合理。

2. 用模。

發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，一方面要展示數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，盡量揭示知識(shí)產(chǎn)生的背景和知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程。另一方面，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，主動(dòng)尋求數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景；在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，尋求合理解決問(wèn)題的策略。例如，在教學(xué)完“圓的面積”一課（人教版六年級(jí)上冊(cè)）后，可以設(shè)計(jì)如下一組問(wèn)題：

（1）在一張正方形紙中畫一個(gè)最大的圓，圓的面積是正方形面積的幾分之幾？（圖5）

（2）明明在大小相同的正方形內(nèi)設(shè)計(jì)了一個(gè)的圖案，其中涂色部分的面積相等嗎？為什么？（圖6）

（3）用三張同樣大小的正方形紙，按下面方式剪出不同規(guī)格的圓片，剪完后哪張紙剩下的廢料多？你有什么發(fā)現(xiàn)？（圖7）

三個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從基礎(chǔ)到應(yīng)用，從封閉到開(kāi)放，學(xué)生在分析解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要主動(dòng)思考、主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，真正地去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般方法，使現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，從而形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

總之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，需要讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化”“數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化”的實(shí)踐路徑，一方面關(guān)注數(shù)學(xué)的產(chǎn)生背景和實(shí)踐應(yīng)用，另一方面重視數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程和嚴(yán)謹(jǐn)邏輯，使學(xué)生既能理解數(shù)學(xué)與外部化背景關(guān)系，也能體味數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。這樣的過(guò)程既凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，又注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，從而使學(xué)生擁有用數(shù)學(xué)的眼光看世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界和用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省廈門市教育科學(xué)研究院）