雙曲線解題十二招式理論與實(shí)踐

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體目標(biāo)提出：“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力?！苯虒W(xué)是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，要求教師不能墨守成規(guī)，要勇于創(chuàng)新、積累、總結(jié)、提高。數(shù)學(xué)解題招式理論，即對(duì)特定的數(shù)學(xué)問題形成特定的解題模式；解題招式實(shí)踐，即應(yīng)用解題招式理論解決實(shí)際問題。在雙曲線教學(xué)中，筆者在實(shí)踐中總結(jié)出了雙曲線解題十二招式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：

招式一：“建設(shè)現(xiàn)代化”。求軌跡方程步驟：建——建立直角坐標(biāo)系；設(shè)——設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)；現(xiàn)（限）——限制條件；代——代入計(jì)算；化——化簡(jiǎn)。

招式二：“雙曲線c最大”。c是a、b、c中最大的，c2=a2+b2，字母c形狀如雙曲線右支。

招式三：“誰正聽誰的”。給定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷是x型還是y型，看系數(shù)正的，再看分子是x還是y。

招式四：“實(shí)軸你真實(shí)啊”。雙曲線中，不論是x型還是y型，雙曲線圖像和實(shí)軸相交。

招式五：“通徑：上下通氣不咳嗽”。通徑音似通氣，電影 《紅高粱》主題歌歌詞“上下通氣不咳嗽”，即x型雙曲線通徑垂直于x軸。

招式六：“a、b、c總動(dòng)員”。飛機(jī)也來了：“a、b、c總動(dòng)員”，類同“玩具總動(dòng)員”，數(shù)字2形狀似同飛機(jī)，即x型雙曲線通徑上端點(diǎn)P坐標(biāo)

招式七：“點(diǎn)P在雙曲線上，滿足定義”。點(diǎn)P在雙曲線上，滿足定義|PF1|-|PF2|=2a.

招式八：“點(diǎn)P在雙曲線上，坐標(biāo)滿足方程”。點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線上，滿足方程

招式九：“點(diǎn)P在雙曲線上，地毯式轟炸”。焦點(diǎn)三角形面積公式其中字母b為炸彈英文首字母，數(shù)字2形狀似同飛機(jī)。

招式十一：“商標(biāo)d=b”。在雙曲線中，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半虛軸的長(zhǎng)，即d=b，如同商標(biāo)圖案。

應(yīng)用以上雙曲線解題十二個(gè)招式，可以破解雙曲線常見題型，提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

例1.推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：要求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，用招式一“建設(shè)現(xiàn)代化”。建——建立直角坐標(biāo)系；設(shè)——設(shè)點(diǎn)P（x，y）；現(xiàn)（限）——限制條件c＞a；代——代入化——化簡(jiǎn)，得

分析：要判斷是x型還是y型，用招式三“誰正聽誰的”即得，一看系數(shù)正的，是4，二看分子是y，得知是y型。

例3.F1、F2為雙曲線左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，∠F1PF2=90°，求焦點(diǎn)三角形△PF1F2面積S.

分析：F1、F2為雙曲線左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上∠F1PF2=90°，要求焦點(diǎn)三角形△PF1F2面積S，用招式九“點(diǎn)在雙曲線上，地毯式轟炸”，代入焦點(diǎn)三角形面積公式，即得5.

例4.已知科考隊(duì)員在相距6百米的海面上觀測(cè)某種海魚活動(dòng)軌跡，隊(duì)員甲比隊(duì)員乙遲4秒接收到海魚發(fā)出的聲音，假設(shè)海魚聲音在海平面?zhèn)鞑ニ俣葹槊棵?百米，求海魚活動(dòng)軌跡方程。

分析：要求海魚活動(dòng)軌跡方程，用招式一“建設(shè)現(xiàn)（限）代化”，以甲乙隊(duì)員所在直線為x軸，甲乙連線的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)海魚為點(diǎn)P，依題意點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支，2a=4，得a=2，而c=3，用招式二“雙曲線c最大”，c2=a2+b2，得b2=5，所求軌跡方程為

分析：要求焦點(diǎn)到漸近線的距離，用招式十一“商標(biāo)”，在雙曲線中，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半虛軸的長(zhǎng)，即d=b=1。

（1）因?yàn)樗箅p曲線過點(diǎn) （3，1），用招式七“點(diǎn)在雙曲線上，滿足定義”，得λ=2，所以，即得

（2）因?yàn)樗箅p曲線焦距為10，得c=5。當(dāng)λ＞0時(shí)，雙曲線為x型，4λ=25， 得所求雙曲線方程為當(dāng)λ＜0時(shí)，雙曲線為y型，所求雙曲線方程為

總之，在雙曲線解題教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生巧用所學(xué)招式、開展解題訓(xùn)練，能有效破解雙曲線常見題型，增強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)習(xí)的針對(duì)性，在靈活形象的招式變化練習(xí)中逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增添雙曲線課堂教學(xué)的趣味性，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和素質(zhì)的發(fā)展。

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