高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的重要性探析

李 靜，蔡 文

(上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)，上海 200540)

一、引言

高中數(shù)學(xué)新課程改革中提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為“學(xué)生應(yīng)具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要與數(shù)學(xué)有關(guān)的基本能力和思維品質(zhì)，包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。其中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)可在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)上體現(xiàn)。[1]正確理解和靈活使用數(shù)學(xué)概念，對于掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算技能，發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的培養(yǎng)起決定性的作用。

數(shù)學(xué)概念課，即為如何科學(xué)地講述抽象數(shù)學(xué)概念并讓學(xué)生正確理解和準(zhǔn)確運(yùn)用的一堂課。關(guān)鍵要做到：1.要明確數(shù)學(xué)概念是什么，也就是要幫助學(xué)生習(xí)得概念，這涉及概念的名稱、定義、屬性和例證的分析；2.為什么這樣定義，分析概念形成的原因和形成的合理性；3.怎樣將習(xí)得的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用到各種具體情境中去解決相應(yīng)的問題。

數(shù)學(xué)概念的掌握是提高解題能力的前提，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。[2]數(shù)學(xué)概念對學(xué)生而言有雙重作用，既給出了事物是與否的標(biāo)準(zhǔn)，又刻畫了概念的本質(zhì)屬性，具有可操作性。如果能適時(shí)地將思維回歸到定義上，解決問題效果會(huì)很明顯。而在實(shí)際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對一些基本概念理解并不準(zhǔn)確，沒有全面認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，如基本不等式、子集與推出關(guān)系、函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值、曲線于方程、橢圓、雙曲線、拋物線等等。針對只能描述等式，而不能描述其前提條件和實(shí)際意義，知其然而不知其所以然的情況，教師應(yīng)加強(qiáng)概念教學(xué)的剖析及重點(diǎn)難點(diǎn)的分層突破，充分引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中靈活運(yùn)用概念，不僅可以起到簡化思維的作用，還可以培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。所以概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要。

二、數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的現(xiàn)狀、問題及原因

學(xué)生上數(shù)學(xué)概念課通常前半節(jié)課聽得似懂非懂，后半節(jié)感覺聽懂了，但是做題只能對照筆記，離開筆記無從下手。這種現(xiàn)象很普遍，這是由于概念課的學(xué)習(xí)和教學(xué)出現(xiàn)了問題。剖其原因，前半節(jié)課教師是在講解概念的形成和建立，學(xué)生認(rèn)為抽象，不愿花更多精力深入理解。后半節(jié)課是概念應(yīng)用、實(shí)際解題的過程，學(xué)生經(jīng)常會(huì)跟著教師的解題步驟一步步模仿下來，以為自己會(huì)做了，而不去想為什么這樣做，至于每一步的由來，就更不愿深入思考了。

1.從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度分析

以函數(shù)的奇偶性概念為例，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生最大的困惑是奇偶性問題的解題方法容易混淆。這個(gè)問題的解題，有時(shí)要從定義域出發(fā)，有時(shí)直接找f(-x),f(x)的關(guān)系，有時(shí)還需要舉例說明，有時(shí)又不能用舉例說明。因此，學(xué)生認(rèn)為這個(gè)問題太靈活，都屬于奇偶性問題，竟然有不同的解法。究其原因，學(xué)生習(xí)慣于只對解題方法進(jìn)行總結(jié)，而沒有回到數(shù)學(xué)的概念本質(zhì)上看問題。因此，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)課堂上跟著教師時(shí)，思路非常清晰，每個(gè)題目似乎都懂，然而課后自己做題，卻出現(xiàn)思路混亂、無從下手的現(xiàn)象。其實(shí)這樣的現(xiàn)象不只在這個(gè)問題上出現(xiàn)，學(xué)生在很多數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中都會(huì)碰到。

筆者認(rèn)為，產(chǎn)生這種問題的關(guān)鍵，是對數(shù)學(xué)概念的理解不到位，知其然，卻不知其所以然，課后做題時(shí)只能拿著筆記模仿解題過程，變成了套路的解題模式，解題過程往往容易遺忘。越不會(huì)做，越用大量的題目去練習(xí)，就產(chǎn)生了題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)習(xí)中不能舉一反三。課堂簡單化和碎片化的學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)概念課變成記憶性的學(xué)習(xí)過程，這樣的過程讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得艱難，而且學(xué)習(xí)效果不好，長時(shí)間得不到進(jìn)步，很多學(xué)生因此對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了興趣和信心。

2.從教師教學(xué)的角度分析

由于數(shù)學(xué)概念教學(xué)會(huì)受到課時(shí)、考試壓力等因素的影響，使數(shù)學(xué)不得不偏重解題訓(xùn)練。教師對學(xué)科內(nèi)涵的挖掘不到位，教師需要站在更高的高度對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究。課堂上過于偏重概念的應(yīng)用，忽視概念的理解、公式的推導(dǎo)過程，教師甚至直接給出結(jié)論。數(shù)學(xué)概念的抽象性，決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要學(xué)生有一定的思維力和理解力，這也是教學(xué)的難點(diǎn)。概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生普遍覺得枯燥，難度高，在短期實(shí)效上不容易有很大變化，普遍不夠重視。長期積累，就造成學(xué)生對概念的理解混亂，只知其一，不知其二，更不能很好地理解和運(yùn)用概念，會(huì)造成數(shù)學(xué)概念與解題不對稱的問題。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)能力將決定學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，通過大量的訓(xùn)練，學(xué)生即便熟練解題過程，過段時(shí)間也容易遺忘。在數(shù)學(xué)的教學(xué)上，教師不僅要重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，而且要引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

三、概念課教學(xué)的方法及實(shí)施

從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，更好地落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師要注重概念形成的過程教學(xué)。

1.概念引入

引入概念的過程主要是讓學(xué)生了解概念形成的過程，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的好機(jī)會(huì)，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，教師有必要設(shè)法幫助學(xué)生完成由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過渡。在教學(xué)中教師要注重概念的引入，概念引入的方法有：

(1)以最近發(fā)展區(qū)理論引入

最近發(fā)展區(qū)理論是由蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的。[3]他把學(xué)生的發(fā)展水平分為兩種：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，是學(xué)生沒有外界幫助下所具有的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過外界的幫助，即通過課堂學(xué)習(xí)所獲得的水平。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教學(xué)的難度應(yīng)該發(fā)生在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有一定難度的內(nèi)容，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，發(fā)揮學(xué)生的能力，超越他們的最近發(fā)展區(qū)，從而順利到達(dá)下一發(fā)展階段的水平。

比如冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，知識(shí)點(diǎn)的層層遞進(jìn)、其中的聯(lián)系和區(qū)別、知識(shí)的發(fā)展變化與銜接過程，體現(xiàn)了函數(shù)研究系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程。也可以進(jìn)一步研究：對于這三種新增加的函數(shù)，它們的函數(shù)值的增長快慢有何差別呢？我們通過對三個(gè)具體函數(shù)“y=3x,y=x100,y=log3x”的函數(shù)值(取近似值)的比較，來體會(huì)它們增長的速度，體會(huì)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像以及它們各自的增減性。由解析式可以推知函數(shù)的變化，同時(shí)也能夠熟練地由圖像還原至所學(xué)的解析式，達(dá)到靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解題的目的。

對于存在相互聯(lián)系的概念，一定要做好比較，防止負(fù)遷移，從而讓學(xué)生理解概念的本質(zhì)。例如圓、雙曲線、橢圓三個(gè)概念之間有聯(lián)系又有區(qū)別，通過對比，學(xué)生能方便地掌握各概念之間的內(nèi)涵與外延。教師要提前為學(xué)生設(shè)置好相似概念、有內(nèi)在聯(lián)系的概念的比較，學(xué)生應(yīng)用才會(huì)得心應(yīng)手。

(2)以生活為背景探究概念

數(shù)學(xué)源于生活，是生活的提煉與概括，教學(xué)中要盡量發(fā)掘可操作性的素材，使課堂氣氛和諧、學(xué)生思維活躍。

比如在講橢圓概念的過程中，教材以水杯傾斜產(chǎn)生的截面為例，讓學(xué)生知道什么是橢圓，形成對橢圓的初步印象。然后在課堂中讓學(xué)生動(dòng)手畫橢圓，學(xué)生通過觀察和動(dòng)手探究，可以對橢圓概念形成直觀感受，有利于概念的獲得，讓學(xué)生實(shí)際操作，體會(huì)畫橢圓的過程，從而引入橢圓的定義。

(3)以史實(shí)情境引入

利用數(shù)學(xué)史知識(shí)來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，讓學(xué)生在生動(dòng)的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法。

以“數(shù)列”為例， 我國古代數(shù)學(xué)家早就研究過等比數(shù)列的問題[4]，《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的題目“出門望九堤”： 今有出門重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？數(shù)學(xué)史反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部規(guī)律，讓學(xué)生能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。

(4)以直觀圖形引入

把抽象的概念用直觀的圖形表示出來，可以讓其變?yōu)橥ㄋ滓锥母拍睢?/p>

比如函數(shù)的單調(diào)性，用具體圖像的上升和下降趨勢，引出數(shù)學(xué)上單調(diào)性的概念。數(shù)學(xué)圖形比較直觀，而數(shù)學(xué)語言晦澀難懂。比如“對于給定區(qū)間I上的函數(shù)y=f(x)，如果對于屬于這個(gè)區(qū)間I的自變量的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1

2.概念建立

概念建立一般有兩種方法：一種是概念的直接形成，另一種是概念的同化。

概念的形成是通過大量形象具體的例子概括出這些概念的特性。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，以歸納的方法概括出這一類事物的本質(zhì)屬性。比如函數(shù)概念中奇偶性，從生活中各種對稱美的圖片引入；函數(shù)的單調(diào)性，從各類圖像的上升下降趨勢引入；反三角函數(shù)可以由已知三角比求角的問題引入等等。

概念的同化是以學(xué)生原有的概念為基礎(chǔ)，通過直接下定義的方式向?qū)W習(xí)者揭示概念的本質(zhì)屬性。比如復(fù)數(shù)概念的形成，在原有實(shí)數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)充，并定義。再如橢圓、雙曲線、拋物線的概念等。進(jìn)行新舊概念的區(qū)別聯(lián)系, 突出新概念的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。

3.概念的鞏固和應(yīng)用

如何對學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效的鞏固?首先要認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)識(shí)記概念與保持概念的過程,也就是加深理解與靈活運(yùn)用的過程。我們可以通過概念辨析、變式演練的方法進(jìn)行鞏固。

比如函數(shù)的最值概念，通過辨析，進(jìn)一步理解概念中的重要詞句。如設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，判斷命題真假：

(1)存在常數(shù)M，使對任意x∈R,都有f(x)M成立，則M是f(x)的最大值。

(2)若存在x0∈R，使對任意x∈R,x≠x0,都有f(x)

(3)若存在x0∈R，使對任意x∈R, ,都有f(x)f(x0)成立，則f(x0)是f(x) 的最大值。

針對最值的存在性和不唯一性進(jìn)行講解。通過概念的變式辨析，學(xué)生可以對最值問題有一個(gè)全方位的理解，并進(jìn)一步理解、深化和鞏固概念，進(jìn)而熟練掌握使用概念解題的方法。

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，解決問題能力的培養(yǎng)是非常關(guān)鍵的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的，就是用于解決實(shí)際問題。在概念教學(xué)中，不能簡單地進(jìn)行抽象概念的介紹，要讓學(xué)生通過實(shí)際的例題和情景去掌握概念，進(jìn)而升華概念。概念獲取的一般規(guī)律是由特殊到一般，而它的應(yīng)用則是從一般到特殊。學(xué)生掌握概念是主動(dòng)在頭腦中進(jìn)行積極思維構(gòu)架的過程，不僅要學(xué)會(huì)新的知識(shí)，而且還要使已有知識(shí)再一次形象化、具體化，最終形成網(wǎng)絡(luò)化。

概念學(xué)習(xí)的高級(jí)階段是概念的應(yīng)用，一般分為兩個(gè)層次：(1)在掌握領(lǐng)會(huì)的基礎(chǔ)上，將習(xí)得的概念用于解決同類問題；(2)能夠?qū)λ鶎W(xué)概念進(jìn)行有效的加工，融會(huì)貫通，用所學(xué)的概念解決新情景中的問題。[5]

比如在解決同類問題中，我們學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)，研究這些性質(zhì)的價(jià)值在于研究新函數(shù)時(shí)，可以通過研究以上性質(zhì)得到其大致函數(shù)圖像特征。

對于新情景中的實(shí)際應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也可結(jié)合生活生產(chǎn)實(shí)際以及科技發(fā)展過程中遇到的問題，檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解程度和對概念應(yīng)用的靈活程度，從而了解學(xué)生運(yùn)用已學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)解決問題的能力。通過對概念的實(shí)際應(yīng)用，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對概念理解的偏差，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略和方法。當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)用概念出現(xiàn)問題時(shí)，我們就能很好地得到反饋信息并且及時(shí)解決教學(xué)問題。比如橋梁的設(shè)計(jì)、噴水池設(shè)計(jì)、稅收、郵件與郵費(fèi)問題，學(xué)校百草園魚池的設(shè)計(jì)，可以利用函數(shù)不等式、幾何等工具的最優(yōu)化思想解決。比如上海教育出版社出版的高一年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)教材中第61頁的研究性課題：上海出租車計(jì)價(jià)問題。了解上海出租車計(jì)費(fèi)規(guī)則，要經(jīng)歷調(diào)查研究的過程；將調(diào)查所得信息數(shù)學(xué)化處理，也可加入因擁堵而等待的時(shí)間，建立車費(fèi)與行車?yán)锍痰暮瘮?shù)關(guān)系式；可以根據(jù)出行目的地的遠(yuǎn)近，進(jìn)行簡單的優(yōu)化分析，如何乘車，可以最大程度降低出行成本。涉及寫分段函數(shù)，并求最值的問題。體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實(shí)際問題的基本能力。

四、實(shí)施成效

1.學(xué)生作業(yè)質(zhì)量上的變化

很多學(xué)生在解題過程中依賴上課筆記，尋找對應(yīng)的解題過程，由于一知半解，解題過程中會(huì)產(chǎn)生很多錯(cuò)誤，比如證明奇函數(shù)過程中，f(-x)=-f(x)成立，就下結(jié)論是奇函數(shù)，定義域遺漏考慮；奇偶性證明時(shí)會(huì)有舉例說明；在說明非奇非偶函數(shù)時(shí)不會(huì)否定等。通過數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從“總結(jié)解題方法”轉(zhuǎn)變成“探討為什么是這樣的解題過程”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的探討，學(xué)生的錯(cuò)誤明顯減少。

2.學(xué)生聽課效率上的變化

在課堂實(shí)例中，教師應(yīng)把握課堂的重點(diǎn)難點(diǎn)，合理設(shè)置有效提問，啟發(fā)學(xué)生分層解剖概念，引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，把所有問題回歸到數(shù)學(xué)概念。通過對數(shù)學(xué)概念的強(qiáng)化教學(xué)，也使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有明顯提高，學(xué)習(xí)的注意力更加集中。數(shù)學(xué)不同題型的解題過程不再是需要記憶的部分，所有解題思路的關(guān)鍵從概念定義入手，引導(dǎo)學(xué)生抓住定義的本質(zhì)特征、成立條件，從更高層面分析定義的內(nèi)涵和外延。對概念的熟練掌握和應(yīng)用，可以以不變應(yīng)萬變，解題方法圍繞概念進(jìn)行，避免解題方法和知識(shí)點(diǎn)的碎片化，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)起到事半功倍的效果。

3.學(xué)生測試評(píng)價(jià)上的變化

筆者所教授班級(jí)的數(shù)學(xué)成績在平行班中一直名列前茅。筆者認(rèn)為這與重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)、強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的理解是分不開的，這也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升的重要原因之一。

五、總結(jié)及反思

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該化繁為簡，把抽象問題變?yōu)榫唧w問題，努力揭示數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問題之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，通過實(shí)際情景的分析和學(xué)生自主探索，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。[6]將核心素養(yǎng)目標(biāo)滲透到教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過科學(xué)合理的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展、自我超越、自我升華。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，發(fā)展學(xué)生的理性思維能力，讓學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中得到自主的發(fā)展。教師對概念的講解要從實(shí)際情景出發(fā)，精心設(shè)計(jì)體驗(yàn)過程，要及時(shí)有效地解決教學(xué)過程中產(chǎn)生的問題；采用不同的教學(xué)方法，讓學(xué)生通過觀察、分析，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。為學(xué)習(xí)新知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生真正理解掌握概念，讓學(xué)生從死記硬背和“標(biāo)準(zhǔn)”解題步驟中解放出來。

這就決定了教師需要站在更高層面，對數(shù)學(xué)概念有更深層次的理解，分析每個(gè)例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)概念的生成正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性。[7]數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般過程是：讓學(xué)生了解概念產(chǎn)生的情景，理解概念的內(nèi)涵和外延，熟悉表達(dá)方式，熟記概念形成的條件，掌握如何正確靈活使用概念來解決實(shí)際問題。

概念和定義的熟練掌握在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展以及向高端數(shù)學(xué)思維過渡的過程中極其重要，每位教師都要重視概念課教學(xué)，熟練運(yùn)用各種教學(xué)方法和教學(xué)手段，加強(qiáng)概念定義的教學(xué)，幫助學(xué)生夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，優(yōu)化課堂教學(xué)效率。