充分條件與必要條件的判斷技巧

孫大猛

（安徽省壽縣第二中學）

技巧1.利用定義判斷

具體思路為：（1）首先分清條件是什么，結(jié)論是什么；（2）接著嘗試用條件推結(jié)論（說明充分性），或用結(jié)論（作為條件）推條件（作為結(jié)論）（說明必要性）；（3）最后指出條件是結(jié)論的什么條件。

例1.“a＞b”是“l(fā)og2a＞log2b”的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解：當a或b取負數(shù)時，對數(shù)的真數(shù)小于零，此時對數(shù)無意義，反之，若“l(fā)og2a＞log2b”則 a＞b＞0，故選 B.

點評：在判斷充分條件、必要條件、充要條件時，首先要弄清哪一個是“條件”，哪一個是“結(jié)論”，同樣是A?B若A作為條件，B作為結(jié)論，則A是B的充分條件，若把B作為條件，A作為結(jié)論，則A是B的必要條件，其次在判斷是A蘊含B，還是B蘊含A，即到底向哪一邊推才能得出正確結(jié)果，兼顧這兩個方面就能做出正確的選擇。

技巧2.借助原命題與其逆否命題為等價命題理解充分條件與必要條件

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，可知如果命題“若p，則q”為真，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，可見命題中蘊含著邏輯條件，運用邏輯條件也可判斷命題的真假，這就是命題與邏輯條件之間的關(guān)系：（1）用命題真假判斷邏輯條件，（2）用邏輯條件判斷命題的真假，（3）命題的真假與邏輯條件的循環(huán)轉(zhuǎn)化。原命題與其逆否命題是“同真同假”的等價命題，當我們直接判斷原命題的真假有困難時，可以轉(zhuǎn)化為判斷與其等價的逆否命題的真假，從而聯(lián)系到充分條件與必要條件的判斷，這一點在充分、必要條件的判斷時經(jīng)常用到。

例2.已知p：方程x2+x-m=0沒有實根，q：m≤0則p是q的什么條件？

在本學期我所帶的班級，上課提問學生時，大部分學生在給出的結(jié)果是即不充分也不必要條件，問題原因，學生給出的答案是：該方程沒有實根解得m≤-，不是m≤0，故左邊推不出右邊，探其錯因是學生忽略了因為m≤-，所以m≤0這個邏輯關(guān)系，但是這個命題轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假就容易多了，很顯然原命題為真，故其逆否命題也必為真，則所問的問題左邊能推出右邊，所以答案應是充分不必要條件；再比如判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么條件。

點評：等價的兩個命題同真同假，對于某些命題可直接從正面考慮，但是有些問題從正面考慮時可能過程冗繁或難以找到切入點，這時，若改變思考角度，將問題轉(zhuǎn)化，從其等價命題入手，可迅速獲解。

技巧3.借助子集的概念理解充分條件與必要條件

人教A版選修2-1教材13頁習題B組第一題給出這樣一個題目：

1.已知 A=｛x｜x 滿足條件p ｝，B=｛x｜x 滿足條件q ｝

（1）如果A?B，那么p是q的條件；

（2）如果B?A，那么p是q的條件；

（3）如果A=B，那么p是q的條件；

用集合的觀點解釋條件則有：①若A含于B，則p是q的充分條件，②若B含于A，則p是q的必要條件，③若A=B，則p和q互為充要條件?？梢龑W生把此事實形象地記為“小范圍推出大范圍”。

例3（.1）若p（:x+1）（x-3）=0，q：x=3，則p是q的什么條件？

（2）若 p：x＞4，q：x＞3，則 p 是 q 的什么條件？

解析：根據(jù)上面的結(jié)論，由小范圍推出大范圍可得：（1）中p是q的必要不充分條件，（2）中p是q的充分不必要條件。

點評：對充分條件與必要條件理解的關(guān)鍵兩條是：（1）充分在前，必要在后；（2）小范圍推出大范圍。

技巧4.舉反例法

當用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，是正難則反數(shù)學思想的一個重要應用，從而簡化解題過程，這種方法適合于解選擇題，特別是選擇只涉及范圍問題時尤為明顯。

例4方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是（ ）

A.0＜a≤1 B.0＜a≤1 C.a＜1 D.a≤1

解：利用特殊值驗證：當a=0時，x=-，排除 A，B；當 a=1時，x=-1，排除 C.因此選 D.

點評：作為選擇題，利用舉反例法避免了復雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時間，提高了解題的速度，因此同學們在平時的訓練中多積累素材，注意解題方法和技巧的選擇使用。

當然高考中對充分必要條件考查都是與其他知識的綜合，都是對平時所學的基礎(chǔ)題進行變式、重組，這就要求同學們在了解掌握充分必要條件的基礎(chǔ)上，還要加強前后知識的聯(lián)系，舉一反三，熟練地運用以上技巧加深對知識的理解與運用。

［1］張人利.教學有效性判斷是評課的基本依據(jù)［J］.現(xiàn)代教學，2007（Z1）.

［2］索桂芳，任學印.新課程體系下合作學習教學模式的構(gòu)建［J］.課程·教材·教法，2006（8）.