中學(xué)數(shù)列中的探索性問題分析

張應(yīng)花

（貴州盤州市第一中學(xué)）

在數(shù)學(xué)的探索性問題的分析中，我們可以將數(shù)列中的數(shù)學(xué)疑問看成是數(shù)學(xué)的做題前提、依據(jù)、方法和結(jié)論這四個部分構(gòu)成的一個體系，如果這四個部分中有兩個具有不確定性，則這類數(shù)學(xué)問題我們稱之為探索性問題。探索性問題可以分為如下幾種類型：條件探索性問題、結(jié)論探索性問題、存在探索性問題、規(guī)律探索性問題。

一、規(guī)律探索性問題

例如：數(shù)列{kn}中 k1=3，k2=6，已知 kn+2=kn+1-kn，那么求出k2009=？

從這個題中我們可以看出k3=k2-k1=3，k4=k3-k2=-3，k5=k4-k3=-6，k6=k5-k4=-3這時我們可以看到{kn}是一個有規(guī)律的數(shù)列分布，其循環(huán)周期為6，也就是說k2009=k5=k4-k3=-6

這道題從根本上來看，我們從分析的過程中找出了數(shù)列的周期性，從而將復(fù)雜的問題簡單化，但是這種問題的局限性在于其無法成為命題的證明。

二、條件探索性問題

這類問題的特點在于這種探索性問題的條件具有開放性，學(xué)生可以通過分析法根據(jù)結(jié)論與已知的條件來探索出前因來，但是這類問題需要解決的不是問題的充要條件，而是充分條件，學(xué)生只要具備良好的洞察力，問題都會解決掉。

已知正項數(shù)列{kn}的前 n 項和為 Sn，且 kn=S·nSn-1，（n≥2，Sn≠0），且已知 k=，求證為等差數(shù)列。1

證明：∵n≥2 時，kn=S·nSn-1

∴Sn-Sn-1=S·nSn-1

∴1/Sn-1/Sn-1=-1

∴1/Sn是公差為-1的等差數(shù)列。

從如上的問題的證明中，可以發(fā)現(xiàn)，對這種存在的條件探索性問題，其基本思路就是根據(jù)題中所給出的結(jié)果找出問題中存在的因，在做題的時候一定要先尋找使其結(jié)果成立的必要條件，然后再通過論證找到可以使結(jié)果成立的前因，即條件，在這一過程中，我們一定要考慮推理過程的可逆性，也就是在論證的過程中一定要說明你所持的條件為必要條件，確定條件是否多余要著眼于每個條件對所求或所證的對象的確定性，判定條件正誤多從構(gòu)造反例入手。

再如下題：Sn是數(shù)列{kn}的前 n 項和（n∈N*），k1=k=3n2kn+Sn-1.kn≠0，n=2,3,4,…

找出一個數(shù)k（為奇數(shù)）使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列{Z（}n∈N*）中的所有項都是數(shù)列{kn}中的項，并指出Zn是數(shù)列{kn}中的第幾項。

解析：由上面的證明中我們可以得出S1+S2=12，因此得出k2=12-2k，k3=3+2k.又因為數(shù)列{k2k},{k2k+1}都是以 k2，k3為首項，7 為公比的等比數(shù)列{Z（}n∈N*）中的所有項都是數(shù)列{kn}中的項，同時k為奇數(shù)，k2k+1為奇數(shù)，而Zn不是數(shù)列{k2n+1}中的項，那么就一定會是{k2n}的項。另外Z1=18，可以得出k=3，得出Zn是數(shù)列{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2

點評：這里面給出的k的數(shù)值是不確定也不唯一的，但是從他給出的限定的范圍來看k為奇數(shù)，可以確定k是任何的一個奇數(shù)，這就可以將最后的數(shù)值范圍確定在{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2。

三、存在性探索問題

這是一類在假定題中的數(shù)學(xué)對象存在或已經(jīng)知道的結(jié)論是成立的前提下，認可其中一部分的結(jié)論然后在這一基礎(chǔ)上進行邏輯思維推理時導(dǎo)出矛盾，推翻前面的假設(shè)的過程，然后給出的是正確的結(jié)論，這種反證法在解題的過程的利用起到了非常重要的作用。

已知數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2，且 an+2-an+1+an=0（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

解析：這道題中an+2-an+1+an=0（n∈N*）中已經(jīng)給出一部分數(shù)值，依據(jù)這部分題意可以求出an=10-2n。

點評：這種存在性探索的特點就在于問題與前提條件具有假定存在特點，根據(jù)這種假定存在性，可以尋找到存在的合理性，與數(shù)列最值有關(guān)的問題，都可以利用數(shù)列的單調(diào)性來完成解題的過程。

綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)，這四種解數(shù)列的方式，是根據(jù)數(shù)列不同的存在方式來求解的，因此在確定何種解題方式的時候，需要先明確題間關(guān)系與題的條件。

［1］優(yōu)春玲.淺談中學(xué)數(shù)列中的探索性問題［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012（1）.

［2］楊美璋.利用零數(shù)列求解探索性問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003（7）.