一題多解，促進(jìn)學(xué)生靈活思考
——以“雞兔同籠”問(wèn)題為例

江蘇灌南縣湯溝小學(xué)（222535）

【問(wèn)題緣起】在一次教研活動(dòng)上，我們數(shù)學(xué)教研組首先圍繞“數(shù)學(xué)好題”展開(kāi)討論，有的教師認(rèn)為教材中基礎(chǔ)性的題目就是“數(shù)學(xué)好題”，因?yàn)樗鼈兡苈鋵?shí)新課標(biāo)的知識(shí)和能力目標(biāo)；有的教師認(rèn)為奧數(shù)中的題目就是“數(shù)學(xué)好題”，因?yàn)樗鼈兡荛_(kāi)闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；有的教師認(rèn)為教材中能用多種方法來(lái)解決的一類題目就是“數(shù)學(xué)好題”，因?yàn)樗鼈儾粌H有助于不同思維層次的學(xué)生都尋找到適合自己的解決問(wèn)題方法，還有助于教師把握學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。接著，我們進(jìn)一步篩選“數(shù)學(xué)好題”的經(jīng)典范例，最終大家一致推選《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題、“進(jìn)水出水”問(wèn)題等為“數(shù)學(xué)好題”。

在實(shí)踐中，我們選擇一道典型的“雞兔同籠”題目“雞兔同籠，共17個(gè)頭，42條腿，問(wèn)雞和兔各有多少只？”來(lái)讓不同年級(jí)的學(xué)生解決。從上交的作業(yè)中，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都得到了正確答案，但是他們的解法并不相同。比如二年級(jí)學(xué)生，有的采用畫圖的策略，先畫出一些簡(jiǎn)單的幾何圖形表示雞和兔，在不斷修改中促使雞和兔的腿是42條，從而順利地找到雞和兔的數(shù)量；有的學(xué)生運(yùn)用乘法口訣來(lái)湊數(shù)，計(jì)算出雞和兔的數(shù)量。三、四年級(jí)學(xué)生除了畫圖、湊數(shù)以外，有的學(xué)生用列表法將所有可能的答案先羅列出來(lái)再進(jìn)行選擇；有的學(xué)生選擇用假設(shè)法來(lái)解決問(wèn)題，如先假設(shè)17個(gè)頭全是雞或者全是兔，再根據(jù)“雞與兔的腿相差2條”這個(gè)信息調(diào)整雞與兔的數(shù)量。五、六年級(jí)學(xué)生解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法更加多樣化，除了上述方法外，他們還能運(yùn)用列方程的方法來(lái)解決問(wèn)題，比如設(shè)雞有x只，那么兔有（17-x）只，根據(jù)“腿有42條”列出方程2x+4×(17-x)=42求出未知數(shù)x的值，最后推算出雞和兔的數(shù)量。

【本質(zhì)探求】“雞兔同籠”問(wèn)題是中國(guó)古代著名的趣題之一，它共有8種解法：（1）列表法；（2）畫圖法；（3）“金雞獨(dú)立”法：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只腳站立著，那么此時(shí)雞和兔地上的腳數(shù)是總腳數(shù)的一半，即雞的腳數(shù)與其頭數(shù)相同，而兔的腳數(shù)是其頭數(shù)的2倍；（4）吹哨法：假設(shè)雞和兔接受過(guò)特種部隊(duì)訓(xùn)練，吹一聲哨，它們抬起一只腳；再吹一聲哨，它們又抬起一只腳，這時(shí)雞都坐在地上，兔子還有兩只腳立著，這些腳都是兔子的，用此時(shí)的腳數(shù)除以2就是兔子的只數(shù)了；（5）假設(shè)法：假設(shè)全部是雞或者全部是兔；（6）“特異功能”法：假設(shè)雞有特異功能，把兩只翅膀變成2只腳，那么雞也有4只腳，或者假設(shè)雞和兔都有特異功能，雞飛起來(lái)，兔立起來(lái)，那么站在地上的腳全是兔子的；（7）砍足法：假如把每只雞砍掉1只腳、每只兔砍掉2只腳，則每只雞變成“獨(dú)角雞”，每只兔變成“雙腳兔”。若籠子里有一只兔子，則它的腳的總數(shù)就比頭數(shù)多1；（8）方程法：設(shè)雞或兔的只數(shù)為x，列出方程后計(jì)算出雞和兔的只數(shù)。

【教學(xué)反思】“數(shù)學(xué)好題”，一好在能夠一題多解，能讓不同思維層次的學(xué)生都能得到解題方法，二好在具有開(kāi)放性，能讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋、暢所欲言；三好在具有層次性，能讓不同思維層次的學(xué)生都能完成對(duì)應(yīng)層次的題目，如讓學(xué)優(yōu)生不斷挑戰(zhàn)高層次題。顯然，“雞兔同籠”問(wèn)題是一道數(shù)學(xué)好題，理由如下。

1.一題多解，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)思維?！半u兔同籠”問(wèn)題，能夠讓不同年級(jí)的學(xué)生都找到適合自己的解題方法。當(dāng)然，這些方法有的是低階思維，有的是高階思維，因此在中高年級(jí)教學(xué)時(shí)，教師不妨將學(xué)生動(dòng)腦筋想出來(lái)的方法進(jìn)行比較分析，引領(lǐng)他們從低階思維走向高階思維。

2.舉一反三，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。學(xué)生解決“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，“雞兔同籠”問(wèn)題還可延伸到購(gòu)物問(wèn)題、工程問(wèn)題、年齡問(wèn)題、劃船問(wèn)題等，只要把題中的事物看成“雞兔同籠”問(wèn)題中的“雞”和“兔”即可。而當(dāng)學(xué)生掌握“雞兔同籠”問(wèn)題的解題方法和學(xué)會(huì)建立“雞兔同籠”問(wèn)題模型后，他們遇到同類數(shù)學(xué)問(wèn)題或者相似的數(shù)學(xué)問(wèn)題就能舉一反三、觸類旁通。

總之，教師要充分利用每一道“數(shù)學(xué)好題”，讓學(xué)生經(jīng)歷充分思考、小組討論、全班分享、個(gè)人糾錯(cuò)等活動(dòng)，教師還要從一道“數(shù)學(xué)好題”走向一組“數(shù)學(xué)好題”，在一組題目中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型、靈活思考和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。