高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題研究

李海茹

（山西省運(yùn)城市風(fēng)陵渡中學(xué)，山西 運(yùn)城）

高中導(dǎo)數(shù)部分一直是高中生和教師的重點(diǎn)關(guān)注對(duì)象，但由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)本身的復(fù)雜性、抽象性讓部分學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的把握不夠到位，再加上少數(shù)教師的專(zhuān)業(yè)知識(shí)不足、教學(xué)方法不當(dāng)，也使得部分學(xué)生的導(dǎo)數(shù)解題陷入困境。所以學(xué)好導(dǎo)數(shù)就需要學(xué)生反復(fù)練習(xí)和大量記憶，加上教師優(yōu)秀的教學(xué)方法作為引導(dǎo)，只有兩方共同作用，才能真正讓學(xué)生在導(dǎo)數(shù)試題上的成績(jī)獲得提高。

一、學(xué)生所遇到的問(wèn)題

首先，導(dǎo)數(shù)公式記憶以及運(yùn)算求解能力薄弱，由于導(dǎo)數(shù)中需要記憶的公式比較多，形式復(fù)雜，所以很多學(xué)生在公式運(yùn)用方面錯(cuò)誤率比較高，比如在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中以及函數(shù)的和差、積商的求導(dǎo)法則容易混淆和遺漏。

其次，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解不夠透徹。部分學(xué)生誤把導(dǎo)函數(shù)為零的解看成是極值點(diǎn)，我們研究函數(shù)的性態(tài)必須在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)思考，所以只有明確函數(shù)的定義域，求答案的時(shí)候才有意義，也就是我們常說(shuō)的定義域優(yōu)先原則。在求切線方程的時(shí)候，許多學(xué)生混淆了點(diǎn)“在”與“過(guò)”的區(qū)別，如果求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，則該點(diǎn)必過(guò)切點(diǎn)；若是求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，則無(wú)論該點(diǎn)是否在曲線上都應(yīng)該另設(shè)切點(diǎn)而求解，事實(shí)上為防止漏解，學(xué)生在做題時(shí)都可先另設(shè)切點(diǎn)來(lái)解。在利用函數(shù)圖象借助數(shù)形結(jié)合解題時(shí)，往往學(xué)生不能夠全面考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，很多學(xué)生只顧函數(shù)的片面特性，忽略全面分析函數(shù)整體性態(tài)與趨勢(shì)。

最后，部分學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)但是導(dǎo)數(shù)壓軸題解題技巧性還是欠缺，另一部分學(xué)生的基礎(chǔ)還不夠牢固，對(duì)基本概念理解存在模糊，甚至求導(dǎo)計(jì)算還不夠熟練，解題欠缺技巧，不能充分結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法去解題。

二、導(dǎo)數(shù)試題解題策略

1.導(dǎo)數(shù)幾何意義試題的解題策略

導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表示就是這樣f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率，其切線方程可以寫(xiě)成y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。近年來(lái)關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的題型大致分為兩種類(lèi)型，分別是曲線上一點(diǎn)處的切線方程和過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線方程，前者一般用直接求導(dǎo)法來(lái)解決，后者一般用待定切點(diǎn)法來(lái)轉(zhuǎn)化解決。

例1.已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（2，7），則a=_______。

本題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點(diǎn)坐標(biāo)”為橋梁，注意題目中是“處”還是“過(guò)”。本題求解時(shí)，先求導(dǎo)得到切線斜率，再求切線方程，進(jìn)而利用條件構(gòu)造關(guān)于a的方程求解。

2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)的解題策略

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題的有力工具，為解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)及其個(gè)數(shù)等問(wèn)題提供了程序化的解決方法，大大地降低了函數(shù)在思維上的難度。

例2.已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x。（Ⅰ）討論它的單調(diào)性

本題第（Ⅰ）問(wèn)涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，即求導(dǎo)后利用基本不等式，可得f′（x）≥0，知f（x）為增函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程只能在定義域內(nèi)進(jìn)行，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值時(shí)要注意對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)、極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)必須為零，而導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，f′（x）=0是點(diǎn)x0取得極值點(diǎn)的必要條件而非充分條件；求函數(shù)的最值與求函數(shù)極值的不同，求導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)各導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大值還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。

3.導(dǎo)數(shù)中求參問(wèn)題的解題策略

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的壓軸題一般都需要求參，關(guān)于求參問(wèn)題覆蓋的知識(shí)面很廣，方法也很多，類(lèi)型也有好多個(gè)。學(xué)生面對(duì)求參問(wèn)題普遍存在“入手易、深入難；會(huì)而不對(duì)、會(huì)而不全”等問(wèn)題。這就需要教師對(duì)恒成立求參問(wèn)題、存在性求參問(wèn)題、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參問(wèn)題、已知零點(diǎn)或極值點(diǎn)求參問(wèn)題、已知切線方程求參問(wèn)題進(jìn)行深入講解，并對(duì)參數(shù)分離、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探究。

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx。（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，在單調(diào)（0，+∞）遞增；（Ⅱ）若對(duì)于任意x1，x2∈［-1，1］都有求m的取值范圍。

本題的第（Ⅱ）問(wèn)主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，并求解參數(shù)。同時(shí)要運(yùn)用分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想。函數(shù)遇到解答題特點(diǎn)經(jīng)常是起點(diǎn)低、落點(diǎn)高，一般情況下提供的條件非常容易入手，可能是相同條件下單獨(dú)的小問(wèn)題，每問(wèn)均考查不同的知識(shí)點(diǎn)，始終要注意在恒成立求參問(wèn)題時(shí)需要合理轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的性質(zhì)求解，使不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)到達(dá)完美的統(tǒng)一。

總之，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中起著橋梁的作用，因此，我們對(duì)導(dǎo)數(shù)解題策略的研究，將有助于為學(xué)生日后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)，并且在學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程中起著承上啟下的重要作用。