直觀實驗與邏輯推理的和諧統(tǒng)一
——和諧教學法在初中幾何教學中的應用

■李 娜

和諧教學不僅注重學生的親身體驗和實踐活動，更注重學生抽象思維能力的訓練與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而這兩點，恰恰對應了幾何教學的兩種基本方法——直觀實驗與邏輯推理。數學是以數量關系與空間形式(“數”與“形”)為主要研究對象的科學，幾何學是其中研究“形”的分支。形者，幾何圖形也。初中階段主要研究三角形、四邊形、圓等平面圖形。

幾何圖形最初來自客觀世界中物體的形狀，但它們比客觀原型更典型、更純粹、更一般。因此，一般地，研究圖形的形狀、大小和位置關系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。下面，我結合《等腰三角形的判定（第1課時）》的教學為例談一談自己對幾何教學中的直觀實驗與邏輯推理的理解。

一、教材分析

學科知識本身具有系統(tǒng)性，和諧教學要求要立體式宏觀把握教材，將本課知識納入更大的知識體系之中。七年級上、下兩冊包括“圖形認識初步”“相交線與平行線”“平面直角坐標系”“三角形”。學生要先后經歷“說點兒理”“說理”“簡單推理”幾個層次，教科書有意識地逐步強化關于推理的初步訓練，主要做法是在問題的分析中強調求解過程所依據的道理，體現事出有因、言之有據的思維習慣。八年級上冊“全等三角形”一章，開始正式出現證明，進入較完整的“符號表示推理”層次。從知識內容和學生年齡兩方面看，這時比較適宜學習以正規(guī)書寫格式表示推理證明，為作好由實驗幾何到論證幾何的過渡，教材注意逐步引導學生認識邏輯推理的必要性。從教材中正式出現推理證明后，后續(xù)內容注意“一以貫之”，即在“軸對稱”“四邊形”“相似”“旋轉”等內容中，都注意適當體現推理證明的作用，安排一定數量的例題和習題，使對推理論證的要求保持到必要的高度。而本課屬于《軸對稱》一章，恰逢實驗幾何到論證幾何的過渡的初始階段，因此，教學應特別注重實驗幾何和論證幾何的微妙關系。

二、多元導入——從發(fā)散思維到聚合思維

“導”的形式可以是“激趣”，可以是“設疑”，可以是“復習”。但是，無論哪種形式，“導”的目的只有一個，就是“入”，而“入”得深與淺、恰當與否，則是我們需要深入研究的問題。所謂“多元導入”，并不是一節(jié)課用多種方式導入，而是用一種方式導入，同時實現多種功能。

【我的設計】

老師一不留神打翻了墨汁，把等腰△ABC的一部分掩蓋了，只留下了一條底邊BC和一個底角∠C，你能還原等腰△ABC嗎？

學生一般能想到兩種方法:

方法1：作線段BC的垂直平分線;方法2：作∠ B=∠C。

教師追問：若∠B=∠C，能判斷△ ABC是等腰三角形嗎？學生往往會想到上節(jié)課學習的“等邊對等角”。這里，讓學生對比“平行線的性質與判定”的關系、“角平分線的性質與判定”的關系等等，引導學生從逆命題的角度開啟“等角對等邊”的學習。

這樣的設計，在設疑導入的同時，復習了等腰三角形的軸對稱性，還引發(fā)了學生對等腰三角形的判定和性質的互逆關系的思考。

三、新知形成——重視實驗幾何

體驗式學習是現代學習方式的重要特征之一，是指由身體性活動與直接經驗而產生的感情和意識?！翱匆豢础薄傲恳涣俊薄白鲆蛔觥钡戎庇^實驗活動在幾何學習的初始階段尤為重要，即使在推理幾何階段的學習中，直觀實驗也具有重要的輔助作用。我們常借助某些直觀特例來發(fā)現一般規(guī)律，探尋證明思路,理解抽象內容。

【我的設計】

給每位學生發(fā)一張三角形紙質學具，先請他們不借助其他工具，證明這個三角形的三個角都不相等；再將這個三個角都不相等的三角形剪成一個新三角形，使得這個新三角形中有兩個角是相等的，只能剪一次。

“比較三個角”的操作為剪三角形提供了方向。通過“剪三角形”的操作，學生可以發(fā)現“在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”。剪三角形時在紙上留下的折痕，也為后面證明等腰三角形的判定定理中如何添加輔助線埋下了伏筆。

實驗幾何，可以理解為“通過對幾何圖形的旋轉、翻折、平移、拼接或拆分等各種操作來發(fā)現一些幾何事實或幾何關系”。雖然我們強調，要注重從“實驗幾何”向“論證幾何”的過渡，但是“實驗幾何”仍具有“論證幾何”無法取代的作用。翻看教材，不難發(fā)現，教材中大部分定理的給出，都是讓學生先通過畫圖、折紙、剪紙等活動，探索、發(fā)現幾何結論，然后再對結論進行推理論證。

四、邏輯推理——“一題多解”探方法，“多題歸一”悟本質

幾何的精妙在于圖形的千變萬化，但其“變”皆有邏輯可循。隨著教學研究的不斷深入，直觀實驗會在啟發(fā)誘導、化難為易、檢驗猜想等方面進一步大顯身手。但是，直觀實驗終歸是數學學習的輔助手段，數學不是實驗科學，它不能像物理、化學、生物等學科那樣，最后通過實驗來確定結論。實驗幾何只是學習幾何學的前奏，后面的樂曲建立在理性思維的基礎上，邏輯推理是把演奏推向高潮的主要手段。

【我的設計】

本課，我設計了如下三道練習：1．已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC。求證：AB=AC。2．把一張長方形的紙沿對角線折疊，重合部分是一個什么圖形？即在長方形ABCD中，把矩形沿對角線BD折疊，點C落在C′處。重疊部分△BED是等腰三角形嗎？說明你的理由。

學生在做第2題的時候往往會出現兩種不同的解法，我根據學生的解法及時總結：在證明兩條線段相等時，如果這兩條線段在一個△中，首選“等角對等邊”；如果這兩條線段在兩個△中，首選“全等三角形的對應邊相等”。完成兩道練習后，引導學生回味這兩道題。通過觀察兩道題的題干、問題以及圖形，引導學生發(fā)現規(guī)律：當角平分線與平行線組合時，往往能得到等腰三角形。

通過對第2題不同解法的梳理，歸納出證明兩條線段相等的方法，幫助學生形成解題策略，同時深化了對“等角對等邊”應用條件的認識。另外，通過對1、2兩題的對比，建立起了“角平分線+平行線”的數學模型，為學生今后解決類似問題提供了方便。

在此基礎上，我設計了一個新的問題：3．在△ABC中，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點D作直線EF//BC交AB于E，交AC于F。根據已知條件，自行推測可能的結論，并證明。

通過讓學生自行推測可能的結論，考查了學生對“角平分線+平行線”模型的掌握情況，同時也實現了知識向能力的轉化。

練習的目的是什么？是“做一題、會一類、通一片”！一題多解，從不同的角度解決同一個問題，雖采用的方法迥異，但都能達到同一個目的。在這個過程中，學生感受到了殊途同歸的奇妙。多題歸一，不同的題目采用的做法類似，可以找出此類問題的解題通法。

從以上分析，我們看出，在初中幾何教學中直觀實驗與邏輯推理二者不可偏廢，必須達到和諧的統(tǒng)一。學生通過直觀體驗和邏輯推理，學習幾何可以認識豐富多彩的幾何圖形，建立與發(fā)展空間觀念，掌握必要的幾何知識，培養(yǎng)運用這些知識認識世界與改造世界的能力。但是，這些并不是幾何的全部教育功能．從更深層次看，學習幾何的一個更重要的作用是：以幾何圖形為載體，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高理性思維水平。這正是自古希臘開始幾何教學一直倍受重視的主要原因。因此，從“實驗幾何”向“推理幾何”的過渡成為初中幾何教學必須面對的問題?！绑w驗活動是學生發(fā)展的根基，學生生命的本性便是活動?！蓖ㄟ^體驗活動培養(yǎng)邏輯推理能力成為初中幾何教學必須實現的教學目標。

（作者單位：天津市北辰區(qū)宜興埠鎮(zhèn)普育學校，天津 300402）

（編輯：左秀娟 校對：高 原）