疏而不漏有妙招
——關(guān)于動點問題中分類討論的幾種技巧

湖北省宜昌市第九中學

竇正安 (郵編：443000)

分類討論思想是數(shù)學中重要的思想方法之一，對于增強學生邏輯思維的嚴密性大有裨益.在若干數(shù)學問題中，動點問題因常伴有分類討論而成為學生們的一大困惑.在分類討論時如何才能做到不重不漏呢？筆者擷取幾例加以剖析，以饗讀者.

1 根據(jù)幾何性質(zhì)確定動點位置

解題思路運用幾何性質(zhì)確定動點位置的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何性質(zhì)分析出動點所在的軌跡，畫出軌跡便可找出點的位置.

圖1

(1)求M、N兩點的坐標；

簡解(1)M(3,0)，N(0,4)；

圖2

當點P在直線MN的下方時，用上述的方法同理可求得P3(0，0).

2 畫“趨勢線”確定動點位置

解題思路畫“趨勢線”確定動點位置的基本做法就是讓動點在其軌跡上動起來，畫出對應(yīng)的趨勢線，有幾種情況便一目了然了.

圖3

例2如圖3，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由.

分析根據(jù)題意分析出EF=BD是解決第(2)題的基礎(chǔ)，而能否正確寫出EF的長度表達式是本題的關(guān)鍵.

簡解(1)拋物線的函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3，直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+1；

(2)易求D(1，4)、B(1，2)，則BD=2，由題意知:EF=BD=2，設(shè)E(n，n+1)，則F(n，-n2+2n+3)，

當E在F點的上方時，

當E在F點的下方時，

EF=(-n2+2n+3)-(n+1)=-n2+n+2=2，

解之得：n1=0，n2=1(舍)，此時n+1=1，

故E(0，1)；

點評本題的關(guān)鍵是E點和F點的上下位置不確定，如果能畫出E點在直線AB上運動時對應(yīng)的EF的趨勢線，便會直觀地發(fā)現(xiàn)E、F上下位置的不同情況，同時結(jié)合EF=2也可以直觀地發(fā)現(xiàn)一共有3種情況，對于計算的最終結(jié)果給予了最直觀的印證.

3 運用數(shù)形結(jié)合 彌補思維缺失

解題思路運用數(shù)形結(jié)合的思想以數(shù)解形，即把幾何問題代數(shù)化，從而避免分類的不完整，彌補思維上的缺失.

例3同例2

分析在上題中根據(jù)題意易知EF=BD=2.如果我們忽視了E、F的上下位置，那么怎樣做才能彌補思維的缺失呢？很簡單，只要在求EF表達式的時候加上絕對值就不會漏解了.

簡解由題意知:EF=BD=2，

設(shè)E(n，n+1)，則F(n，-n2+2n+3)，

則EF=|(n+1)-(-n2+2n+3)|=|n2-n-2|=2，

所以n2-n-2=2或n2-n-2=-2，

點評我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.本題若從代數(shù)的角度考慮問題，則無需討論E、F兩點的上下位置，只需在求EF的表達式時加上絕對值，便可回避因忽視兩點上下位置而漏解的錯誤.正可謂：形有數(shù)時可入微！