數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中提高學(xué)生“提出問題”能力的探索

上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校

徐 輝 (郵編：201801)

筆者曾執(zhí)導(dǎo)過一節(jié)公開課，題目是《圓錐曲線定義的應(yīng)用》.在這節(jié)課中采用了“給出問題-思考解決問題-提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式，以圓錐曲線的定義為載體，通過聯(lián)想與類比的方法，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)提出問題并進(jìn)行進(jìn)一步探究的能力，取得了比較好的教學(xué)效果.如下是部分教學(xué)片段實(shí)錄：

片段一從定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)角度進(jìn)行類比與拓展，提出相關(guān)新的問題.

圖1

師：(提出問題1)如圖1所示，F(xiàn)1、F2是以2a為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1作長(zhǎng)為m的弦AB交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離之和|AF2|+|BF2|.

生1：根據(jù)雙曲線的定義可得：

|AF2|+|BF2|=(2a+|AF1|)+(2a+|BF1|)=4a+m.

師：生1回答的非常好.他根據(jù)雙曲線的定義，利用雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離存在確定的關(guān)系這一性質(zhì)，把雙曲線上點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)F2的距離轉(zhuǎn)化為到另一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離來處理，從而使問題獲得解決.現(xiàn)在請(qǐng)大家思考，如果將這個(gè)問題中的雙曲線換為其它的圓錐曲線，你能提出一個(gè)什么樣的問題？

生2：我將雙曲線換為橢圓，可以得到這樣的問題：設(shè)F1、F2是以2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1作長(zhǎng)為m(m>0)的弦AB交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離之和|AF2|+|BF2|.結(jié)果是|AF2|+|BF2|=(2a-|AF1|)+(2a-|BF1|)=4a-m.

師：非常好.有沒有同學(xué)把這個(gè)問題的背景換為拋物線的？能得到一個(gè)什么樣的問題？(沉思)

圖2

生3：過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作長(zhǎng)為m的弦AB,求AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

師：你是怎么考慮這個(gè)問題的？

生3：我是這樣考慮的，由于拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，所以無法提出一個(gè)與前面橢圓及雙曲線類似的到另一個(gè)焦點(diǎn)的問題，但是拋物線還有一個(gè)重要的要素是準(zhǔn)線，因此就想到了過A、B向準(zhǔn)線作垂線AA1與BB1，如圖2，作好以后，根據(jù)拋物線定義，我發(fā)現(xiàn)|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,而AB長(zhǎng)為定值，故|AA1|與|BB1|的和為定值，從而梯形ABB1A1的中位線|MM1|為定值.

師：太漂亮了.雖然拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，但是生3還是在剛才前兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上，通過自己的努力，得到了一個(gè)與前面好象不同但又神似的新的問題.我覺得他的探索非常有意義，請(qǐng)大家看這樣的問題：

圖3

練習(xí)如圖3，圓O半徑為6，點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l是以點(diǎn)P為切點(diǎn)的圓的切線，兩定點(diǎn)A(-5，0)、B(5，0).一動(dòng)拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡是如下哪一種曲線的一部分( )

A．圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

生4：答案是B.反用剛才生3的結(jié)論即可得.

師：請(qǐng)你詳細(xì)敘述一下.

生4：由題意，|OP|是定值6，從而A與B到直線l距離之和為定值12，由拋物線的定義可知，|AF|與|BF|的和為定值12，即|FA|+|FB|=12>|AB|.從而選B.

師：回答的非常完美.從以上幾個(gè)問題，我們可以看出，在我們解題的過程，適當(dāng)?shù)貙?duì)問題的背景作一點(diǎn)改變，可能就會(huì)得到一個(gè)新的問題，從提出新問題到對(duì)新問題的研究，也正是我們?cè)鲩L(zhǎng)知識(shí)、掌握方法、提高能力的一個(gè)重要的過程.

圖4

片段二從定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從方法角度進(jìn)行類比與拓展，提出相關(guān)新的問題

師：(提出問題2)如圖4，在直線l:x-y+2=0上任意取一點(diǎn)M，經(jīng)過M點(diǎn)且以點(diǎn)F1(-1，0)、F2(1,0)為焦點(diǎn)作橢圓，求所作的所有橢圓中長(zhǎng)軸2a最短的橢圓的方程.

生5：我是這樣考慮的，由題意，點(diǎn)M具有兩重性，它既在直線l上又在橢圓上，故|MF1|+|MF2|=2a.要想求長(zhǎng)軸2a最短的橢圓的方程,其實(shí)就是要求2a的最小值，于是此題就歸結(jié)于如何在直線l上找一點(diǎn)M使得|MF1|+|MF2|最小.

圖5

師：分析的非常精辟.你作出結(jié)果了嗎？

師：剛才這位同學(xué)用點(diǎn)對(duì)稱求直線上點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小的方法完美地解決了這個(gè)問題.現(xiàn)在我們重新再來審視這個(gè)問題，你能得到一個(gè)類似的新的問題嗎？

生6：將問題的背景換為雙曲線，可以得到這樣的新問題：在直線l:x-y+2=0上任意取一點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)M且以點(diǎn)F1(-1，0)、F2(1,0)為焦點(diǎn)作雙曲線，求所作的所有雙曲線中實(shí)軸長(zhǎng)2a最短的雙曲線的的方程.

師：這樣的問題可以嗎？

生7：不能這么問.

師：為什么？

生7：如果這么問，這樣的雙曲線不存在.如圖6，在雙曲線中2a=||MF1|-|MF2||，顯然||MF1|-|MF2||有最小值0，此時(shí)點(diǎn)M在y軸上，滿足條件的雙曲線顯然不存在.故這種問法要修正.

師：如何修正？

生7：修正為求最大值.

師：修正為求最大值真的可以了嗎？

圖6

生8：修改為求最大值也不可以.因?yàn)?a=||MF1|-|MF2||≤|F1F2|=2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為直線l與x軸交點(diǎn)時(shí)成立，但此時(shí)點(diǎn)M在線段F1F2的外部，這怎么可能呢？

師：是啊，這怎么可能呢？那怎么辦？

圖7

生9：可以把F1、F2兩點(diǎn)的坐標(biāo)變一下，變?yōu)樵谥本€l與x軸的交點(diǎn)之外，比如設(shè)焦點(diǎn)F1(-3，0)，F(xiàn)2(3，0).如圖7.

師：好，那請(qǐng)大家繼續(xù)研究.

圖8

生10：由于2a=||MF1|-|MF2||，問題轉(zhuǎn)化為在直線l上取一點(diǎn)M，使2a=||MF1|-|MF2||最大.如圖8，作F2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q，連QF1并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，此時(shí)，2a=‖MF1|-|MF2‖=‖MQ|-|MF1‖≤|QF1|，而|QF1|是可以求出來的，于是問題得到了解決.

師：那好，請(qǐng)大家完成這個(gè)問題的求解.

師：對(duì)于剛才這個(gè)問題的解決，同學(xué)們都非常機(jī)智.我再問個(gè)問題，這個(gè)題目只能修改點(diǎn)F1與F2嗎？

生(笑)：不是的，還可以修改直線的位置，只要將直線與x軸的交點(diǎn)置于F1與F2之間即可.

師：剛才看到有同學(xué)對(duì)問題2有這樣的兩種解法，請(qǐng)大家一起欣賞下：

師：閱讀完這兩種解法，對(duì)于你的研究，你是否有所感想？

生：可以用這兩種方法解決剛才關(guān)于雙曲線的問題.

師：這個(gè)問題請(qǐng)同學(xué)們課后作為作業(yè)完成.

我們以為，每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，都應(yīng)該圍繞兩條主線展開，一條是圍繞如何發(fā)展學(xué)生的知識(shí)與方法技能等方面來展開，另一條是圍繞如何發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)與情感體驗(yàn)等方面來展開.而這兩個(gè)方面的開展都離不開學(xué)生主動(dòng)思考、積極參與到課堂教學(xué)的整個(gè)過程中來，某種程度來說，學(xué)生的積極參與遠(yuǎn)比僅靠教師的精妙講解效果要更好.

對(duì)于片段一，設(shè)計(jì)啟發(fā)讓學(xué)生提出的幾個(gè)思考題，每一個(gè)都是在上一個(gè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步思考而得到，每一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)的生成都是前一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的自然而然的延展.這不僅讓學(xué)生從已知到未知循序漸進(jìn)發(fā)現(xiàn)知識(shí)，同時(shí)也使學(xué)生通過猜想、探究等活動(dòng)拓展了學(xué)生的思維，潛移默化地提高了他們思維的品質(zhì).隨著問題的進(jìn)一步深入又將學(xué)生對(duì)知識(shí)的探討與思維的訓(xùn)練引上了更高的一個(gè)層次.好象所有知識(shí)的出現(xiàn)都是自然而然順理成章的，實(shí)際上又是以學(xué)生思維的一步步深化作為主線的，這樣就能很好地讓學(xué)生享受探究的成功體會(huì)到探究的樂趣，不斷刺激學(xué)生探究的欲望，同時(shí)也讓學(xué)生下一步的探究有一個(gè)適當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，而且每一步探究都能體會(huì)到前面的探究是有價(jià)值的，是有作用的，從而更一步培養(yǎng)他們探究的欲望與能力.學(xué)生在對(duì)問題的探究中思維始終處于主動(dòng)、積極、盎然的狀態(tài)之中，這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)顯然有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)收獲的提高，也有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

對(duì)于片斷二，是在學(xué)生研究完一個(gè)關(guān)于橢圓的最值問題的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生提出一個(gè)類似的雙曲線的最值的問題，學(xué)生在提出這個(gè)問題的過程，經(jīng)歷過“出錯(cuò)-修正-再出錯(cuò)-再修正”這樣反復(fù)探究的心理歷程，在這個(gè)過程之中，學(xué)生始終處于一種積極參與主動(dòng)探究的狀態(tài)之中，從而能促使學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深一步的理解并讓他們享受到積極的情感體驗(yàn)，在“潤(rùn)物細(xì)無聲”之中提高了他們思緒的品質(zhì)與探索的精神，并且，這樣的體驗(yàn)也會(huì)是他們喜愛數(shù)學(xué)喜愛探索的一種極為重要的促進(jìn)因素.當(dāng)然，在探究的過程中，始終堅(jiān)持對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，并提供必要的幫助，探究的主體一定是學(xué)生，這個(gè)探究的過程一定要放給學(xué)生，教師不能越俎代庖.

前面兩個(gè)片段，均通過一個(gè)問題的解決，啟發(fā)學(xué)生通過變換背景或是變換條件或是變換結(jié)論，用類比的方法主動(dòng)提出一個(gè)問題，然后對(duì)自己所提出的問題進(jìn)行探究，并在探究的過程中根據(jù)實(shí)際情況的變化不斷調(diào)整自己所提出的問題，或者說是采用了“給出問題-思考解決問題-提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式.這樣設(shè)計(jì)希望能達(dá)成兩個(gè)目的：一是將幾種圓錐曲線的不同定義在思維上將之整合為一個(gè)整體，提高學(xué)生對(duì)于定義的應(yīng)用意識(shí)；二是通過聯(lián)想與類比這一過程，發(fā)展學(xué)生主動(dòng)提出問題并進(jìn)行進(jìn)一步探究的欲望與能力.這樣的處理方法，最關(guān)鍵的地方在于如何讓學(xué)生“有感而發(fā)”.就是如何讓學(xué)生對(duì)已有的問題(或是問題解決的方法或是結(jié)論)能有所“感想”，并通過“感想”產(chǎn)生聯(lián)想，通過聯(lián)想引發(fā)探究，通過探究啟迪思維.

在前面所提的“給出問題-思考解決問題-提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式中，核心的要素是讓學(xué)生提出問題，提出問題的過程就是學(xué)生思考的過程，就是學(xué)生不斷提高的過程.我在培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的探索中，有這樣的幾點(diǎn)體會(huì)：

(1)課堂教學(xué)中要讓學(xué)生敢于提出問題.

這就要教師要與學(xué)生建立良好和諧的師生關(guān)系，營(yíng)造一個(gè)民主的教學(xué)氛圍.師生關(guān)系民主了，學(xué)生敢想、敢說、敢做了.自然有利于學(xué)生靜下心來想辦法、開動(dòng)腦筋提問題.

(2)課堂教學(xué)中要讓學(xué)生能提出問題.

這就要求要有培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識(shí)，創(chuàng)設(shè)提出問題的情景，善于用引導(dǎo)、暗示、激發(fā)等方式有意鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出新的問題并加以研究解決.

(3)課堂教學(xué)中要給學(xué)生一個(gè)提出問題的期望.

就是要讓學(xué)生感受到老師非常贊賞學(xué)生能提出新的問題.蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，因此，提出問題并加以探究是一個(gè)人與生俱來的心理追求，教師在教學(xué)過程中，要經(jīng)常給學(xué)生一個(gè)提出新問題的期望，鼓勵(lì)學(xué)生能主動(dòng)地、積極地、有意識(shí)地去提出新的問題，這樣時(shí)間長(zhǎng)了，學(xué)生便能將教師的期望內(nèi)化為自身的需要，從而形成他個(gè)人的提出問題并加以探索的優(yōu)良思維習(xí)性.

愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要.”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何高效地培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，還需要我們不斷的探索.

1 夏小剛,呂傳漢.美國(guó)數(shù)學(xué)教育中的提出問題研究綜述[J]. 比較教育研究,2006(2): 18-22

2 王發(fā)成,趙喜慶. 數(shù)學(xué)課堂應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2015(12):25

3 吳立建.數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生提出問題——《等腰三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)課》教學(xué)實(shí)踐及反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013(7):25-27