拋物線中的高考題

■河北省張家口市第二中學 王 瀟

由于拋物線方程的特殊性:一個一次項,一個二次項,拋物線問題越來越受到命題專家的青睞,下面讓我們一起來梳理吧。

重點題型一：拋物線的定義與平面幾何的完美結合

圖1

試題分析：由拋物線的準線為x=-1,所以|B F|=xB+1,|A F|=xA+1,設△A C F中A C邊上的高為h,則有

圖2

試題分析：根據(jù)已知作圖分析,如圖2。

由拋物線性質知|B F|=|BM|,而已知|B C|=2|B F|,則|B C|=2|BM|,∠C BM=6 0°。又因為直線過焦點,聯(lián)立解方程組可得,則此拋物線的方程為y2=9x或y2=3x。

梳理總結：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎,它能將兩種距離進行等價轉化。如果問題中涉及拋物線的焦點和準線,又能與距離聯(lián)系起來,那么應考慮應用拋物線的定義。如果題目再與平面幾何綜合起來,就有一定難度了,需要我們熟練掌握初中的平面幾何知識,才可以順利解決這類有一定難度的題目。

重點題型二：拋物線定義與最值的完美結合

試題分析：如圖3直線x=-1為拋物線的準線,點P到直線x=-1的距離等于到焦點F(1,0)的距離,由三角形兩邊之差小于第三邊知|P F|-|P Q|≤|Q F|,當P,Q,F三點共線時,P F與P Q的距離之差最

圖3

圖4

梳理總結：利用拋物線的定義可實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化。我們常常利用“兩點之間線段最短”,“三角形兩邊之和大于第三邊”,“三角形兩邊之差小于第三邊”等,將問題轉化。

重點題型三：拋物線與定值的巧妙結合

圖5

試題分析：由題知直線AM,BM的斜率存在且不為0,設直線MA的方程為y-3

因為直線MA,MB的斜率互為相反數(shù),所以直線M B的方程為

試題分析：(1)由題意知,A(1,1),B(4,-2),設點P的坐標為(xP,yP),切線l1:y-1=k(x-1),聯(lián)立物線與直線l1相切,解得。聯(lián)立l,1l2的方程,解得x,故點P

梳理總結：解析幾何中的定值問題是指某些幾何量的大小或代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關,不依參數(shù)的變化而變化,始終是一個確定的值。而在拋物線中,特殊的就是點的設法,根據(jù)方程的特點靈活設出點的坐標,如上例中設點M(,y0),再根據(jù)拋物線方程的特殊性:一個一次項,一個二次項,從而可求出定值。

重點題型四：拋物線與取值范圍問題的巧妙結合

試題分析：F(1,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),由題設y2)=λ(1-x1,-y1)。

聯(lián)立①、③解得x2=λ,依題意有λ＞0。

所以B(λ,2λ),或B(λ,-2λ),又F(1,0),得直線l的方程為:

(λ-1)y=2 λ(x-1),或(λ-1)y=-2λ(x-1)。

梳理總結：對于范圍問題,一般可以利用數(shù)形結合或轉化為函數(shù)的最值來求解。其本質還是由于拋物線方程的特殊性,如例9中可得x2=λ,從而將所求問題轉化。這種現(xiàn)象,在橢圓或者雙曲線中是不可能出現(xiàn)的,點的坐標都是很復雜的,所以求解橢圓或雙曲線問題時最常用的方法是設而不求,整體代入。而拋物線中則可以把點的坐標簡潔表示。

拋物線還有很多常見而特殊的題型,例如直線與拋物線的位置關系,拋物線的定點問題等。當然,對于拋物線問題我們也不能完全掉以輕心,因為拋物線也有很復雜的題目喲!

(責任編輯 趙 平)