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    盤點(diǎn)圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形

    2018-02-26 07:40:39甘肅省秦安縣第二中學(xué)張鎖定
    關(guān)鍵詞:余弦定理雙曲線定值

    ■甘肅省秦安縣第二中學(xué) 張鎖定

    由橢圓或者雙曲線上的一點(diǎn)及其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。以焦點(diǎn)三角形為背景的試題,是各類考試中一道靚麗的風(fēng)景線,可以很好地考查同學(xué)們的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

    題型一 橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題

    常用結(jié)論:已知F1、F2為橢圓1(a>b>0)上的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則△M F1F2的面積

    x2

    +y2

    =

    a2b2

    又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以|P F1|+①

    由余弦定理可知,|P F1|2+|P F2|2-2|P F1||P F2|c o s6 0°=|F1F2|2=4。 ②

    ①式兩邊平方得|P F1|2+|P F2|2+2|P F1|·|P F2|=2 0。 ③

    評(píng)注:解橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積問題,通常要用到橢圓的定義,余弦定理。本題還可以直接利用公式S△F1PF2=b2t a n

    解析:由橢圓方程x2

    +y2

    =1,知a=2,43 c=1。由橢圓定義,可得|P F1|+|P F2|=2a=4,且|F1F2|=2。在△P F1F2中,∠P F1F2=9 0°,所以|P F2|2=|P F1|2+|F1F2|2,從而(4-|P F1|)2=|P F1|2+4,則

    (2)設(shè)F1、F2是橢圓焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|P F1|∶|P F2|=5∶1,則△F1P F2的面積等于____。

    解析:由橢圓方程得a=3,b=2,c=5,|F1F2|=2 5,所以|P F1|+|P F2|=2a=6。又|P F1|∶|P F2|=5∶1,所以|P F1|=5,|P F2|=1。

    由余弦定理可得,c o s∠F1P F2=

    所以s i n∠F1P F2=1-c o s2∠F1P F2

    題型二 焦點(diǎn)三角形的周長問題

    常用結(jié)論:1.已知F1、F2為橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則△P F1F2的周長恒為定值2a+2c。

    2.已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),直線l過焦點(diǎn)F1且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),則△F2A B的周長恒為定值4a。

    1A、B兩點(diǎn),且△A B F2的周長為1 6,那么橢圓C的方程為____。

    因此,b2=a2-c2=4。

    解析:因?yàn)閍2=2 5,b2=1 6,所以c2=a2-b2=9,c=3。由橢圓的定義可知,|P F1|+|P F2|+2c=2a+2c=1 6。

    所以△P F1F2的周長為1 6。

    解析:由雙曲線方程可知,a=4,b=3,c=5。故A(5,0)恰為雙曲線的右焦點(diǎn),線段P Q過雙曲線的右焦點(diǎn),則P、Q都在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義知,|P F|-|P A|=2a,|Q F|-|Q A|=2a。

    兩式相加得,|P F|+|Q F|-(|P A|+|Q A|=4a。

    則|P F|+|Q F|=4a+|P Q|=4×4+1 2=2 8。

    對(duì)此,教師在平時(shí)的教學(xué)中可以讓學(xué)生在閱讀時(shí)養(yǎng)成積累寫作素材的好習(xí)慣,調(diào)動(dòng)學(xué)生寫作的積極性,讓學(xué)生能夠在寫作的過程中大膽進(jìn)行創(chuàng)新,展示自我,另外,教師也要對(duì)學(xué)生的寫作進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓膭?lì),讓學(xué)生逐漸喜歡上寫作,培養(yǎng)其寫作的積極性,增加寫作和閱讀的熱情。

    所以△P Q F的周長為|P F|+|Q F|+|P Q|=2 8+1 2=4 0。

    題型三 焦點(diǎn)三角形中的幾何性質(zhì)問題

    解析:在△P F1F2中,|F1F2|=2c,

    由橢圓定義可得,|P F1|+|P F2|=2a。

    評(píng)注:解答本題先利用直角三角形的知識(shí),把|P F1|和|P F2|都用c表示,再利用橢圓的定義,最后得出橢圓的離心率。

    變式3 (1)已知F1、F2分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C右支上的一點(diǎn),P F1⊥P F2,∠P F2F1=6 0°,則雙曲線C的離心率為____。

    解析:在△P F1F2中,|P F1|=|F1F2|

    由雙曲線的定義可知,|P F1|-|P F2|

    (2)已知F1、F2為橢圓下焦點(diǎn),點(diǎn)M(3,2)在橢圓上,求∠F1MF2的角平分線l所在的直線方程。

    解析:由題意知,F1(0,2),F2(0,-2),M(3,2),所以|MF1|=3,|MF2|=5。

    設(shè)角平分線l與y軸的交點(diǎn)為A(0,y0),由角平分線性質(zhì)可得

    題型四 焦點(diǎn)三角形中的定值問題

    A.定值

    B.非定值,但存在最大值

    C.非定值,但存在最小值

    D.非定值,且不存在最值

    圖1

    解析:設(shè)∠I F1F2=α,∠I F2F1=β。

    則kIF1·kIF2=-t a nαt a nβ。延長F1P到點(diǎn)Q,且|P Q|=|P F2|,則∠F2P Q=2α+-(α+β)。

    解析:由題意知a2=4,b2=1 2,所以c2=1 6,F1的坐標(biāo)為(-4,0),F2的坐標(biāo)為(4,0)。

    設(shè)內(nèi)切圓與△P F1F2的三條邊P F1、P F2、F1F2分別相切于F、E、D三點(diǎn),由已知條件及雙曲線的定義可得:

    2a=|P F1|-|P F2|=(|P F|+|F F1|)-(|P E|+|E F2|)=|F F1|-|E F2|=|F1D|-|F2D|=(xD+c)-(c-xD)=2xD,所以xD=a=2,xM=xI=xD=2。

    設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由M為△P F1F2

    把x0=6代入雙曲線方程解得y0=4 6,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4 6)。

    由兩點(diǎn)間距離公式得|P F1|=1 4,|P F2|=1 0。

    設(shè)△P F1F2的內(nèi)切圓半徑為r,則1 6r。

    另一方面,S△PF1F2

    圖2

    (責(zé)任編輯 徐利杰)

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