借助開放式題型提高初中生數(shù)學(xué)解題能力

【摘要】初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生解題能力是非常重要的內(nèi)容.而在培養(yǎng)學(xué)生解題能力的過程中，培養(yǎng)學(xué)生解題思維能力是非常重要的.開放式題型具有明顯的探索性質(zhì)，能夠有效激發(fā)學(xué)生的探索興趣，從而激發(fā)學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行更好的培養(yǎng).本文通過開放式例題對(duì)初中解題教學(xué)中提升學(xué)生解題能力的策略進(jìn)行說明.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；開放題型

開放式題型是相對(duì)閉合式題型而言的，開放式題型存在條件不完整或者結(jié)論不完整的情況，從而形成條件開放、結(jié)論開放或者策略開放的情況.同時(shí)，開放式題型解題過程中需要學(xué)生充分應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行問題的觀察、對(duì)比分析，從而得到結(jié)論，更加注重學(xué)生分析問題和解決問題的能力，所以通過開放式題型進(jìn)行解題教學(xué)對(duì)提升學(xué)生解題能力有非常重要的作用.

1 以條件探索型開放式題型提升學(xué)生的解題認(rèn)識(shí)

例1 已知圓O1與圓O2外切，圓O1的半徑為1cm，圓O2的半徑為3cm，一個(gè)半徑為5cm的圓O3與圓O1和圓O2都相切的情況下可以作出的圖形有多少種？

圖1

分析 本題對(duì)圓O3與圓O1和圓O2相切的情況并沒有進(jìn)行明確，所以在解題過程中就需要對(duì)圓O3分別和圓O1、圓O2屬于內(nèi)切還是外切進(jìn)行討論.當(dāng)圓O3與圓O1、圓O2都是內(nèi)切的情況時(shí)，因?yàn)閳AO1的半徑為1cm，8b9e5348406e216781dc551f3bfd489a圓O2的半徑為3cm，兩個(gè)圓的半徑之和小于圓O3的半徑，所以會(huì)形成兩種圖形；當(dāng)圓O3與圓O1、圓O2都是外切的情況下，也會(huì)形成兩種外切的圖形；當(dāng)圓O3與圓O1內(nèi)切，與圓O2外切，則會(huì)形成1種圖形，同理當(dāng)圓O3與圓O2內(nèi)切，與圓O1外切也會(huì)形成一種圖形，所以通過對(duì)上述不同相切方式形成的圖形進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，圓O3與圓O1和圓O2都相切的情況有6種.如圖2所示.

圖2

通過條件探索型開放式題型來對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題教學(xué)，可以讓學(xué)生更加深刻地理解解題條件在解題中的重要作用，從而讓學(xué)生明確初中數(shù)學(xué)解題就是根據(jù)已知條件來進(jìn)行相關(guān)問題求解的過程，讓學(xué)生對(duì)解題有更加準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，掌握解題的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生的解題能力.

2 以結(jié)論探索型開放式題型來培養(yǎng)學(xué)生解題思維的靈活性

例2 閱讀問題（1）的解答過程，然后進(jìn)行問題（2）的解答.

（1）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2=2－2a，b2=2－2b，且a≠b，求ab+ba.

解法1 由a2=2－2a，b2=2－2b，

可得a2+2a－2=0，b2+2b－2=0，且a≠b，

所以可以將a，b作為方程x2+2x－2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

根據(jù)韋達(dá)定理可知a+b=－2，ab=－2，

原式ab+ba=a2+b2ab=（a+b）2－2abab=（－2）2+4－2=－4.

解法2 將a2=2－2a，b2=2－2b兩式相減，

可得（a2－b2）+2（a－b）=0，

整理可得：（a－b）（a+b+2）=0.

因?yàn)閍≠b，

所以a+b+2=0，解得a+b=－2.

將兩式相乘可得a2b2=（2－2a）（2－2b）.

整理可得：（ab）2－4ab－12=0，

解得ab=6或ab=－2.

結(jié)合a+b=－2可知ab=6不成立，

所以a+b=－2，ab=－2.

原式ab+ba=a2+b2ab=（a+b）2－2abab=（－2）2+4－2=－4.

（2）已知實(shí)數(shù)p，q滿足p2－2p－5=0，5q2+2q－1=0，求p2+1q2.

分析 通過對(duì)（1）的兩種解題過程進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，解法1是通過構(gòu)建一元二次方程的方式，通過韋達(dá)定理來進(jìn)行問題的解決，相對(duì)于解法2更加簡單.同時(shí)通過對(duì)問題（1）和（2）進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)（1）中的條件在（2）中沒有存在類似的條件，所以解題過程中需要對(duì)p≠1q與p=1q兩種情況進(jìn)行分類討論.同時(shí)在解題過程中還需要對(duì)5q2+2q－1=0的格式進(jìn)行調(diào)整，轉(zhuǎn)化為（1q）2－2×1q－5=0.

解 根據(jù)題意可知q≠0，

可以將5q2+2q－1=0轉(zhuǎn)化為（1q）2－2×1q－5=0，

當(dāng)p≠1q時(shí)，可以將p，1q作為方程x2－2x－5=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

由韋達(dá)定理可得p·1q=－5，p+1q=2，

原式p2+1q2=（p+1q）2－2p·1q=22－2×（－5）=14.

當(dāng)p=1q時(shí)，則p，1q為方程x2－2x－5=0的一個(gè)根，

所以p=1q=1±6.

原式p2+1q2=2p2=2（1±6）2=14±46.

顯然，這類結(jié)論探索型開放式問題中會(huì)存在較多的思維方式，不同的思維方式情況下會(huì)形成不同的解題思路，從而實(shí)現(xiàn)通過不同解題方式來進(jìn)行問題的解決.教師在解題教學(xué)過程中可以通過這類試題來培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，通過拓展學(xué)生解題思路的方式來進(jìn)一步提升學(xué)生的解題能力.

3 結(jié)語

綜上所述，本文以初中數(shù)學(xué)中常見的條件探索型和結(jié)論探索型開放式題型的例題來對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中通過開放型試題來提升學(xué)生的解題策略進(jìn)行了說明.在解題教學(xué)中，通過條件探索型開放型試題能夠更加有效的提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生更好地掌握解題方法，而通過結(jié)論探索型開放型試題能夠有效激發(fā)學(xué)生的思維，從而通過不同方式來進(jìn)行試題求解，通過兩種方式的有效結(jié)合，有效的提升了學(xué)生的解題能力.

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