分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

馮小倫

（達(dá)州市高級中學(xué)2015級三班 四川達(dá)州 635000）

引言

分類討論可實(shí)現(xiàn)解題的化繁為簡，還可對學(xué)生思維及其轉(zhuǎn)換能力進(jìn)行有效培養(yǎng)?，F(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)在內(nèi)容方面相對多且比較抽象，其理解難度愈加升高。而該思想應(yīng)用至諸如函數(shù)等問題當(dāng)中，可使解題思路更為明晰，將抽象向著形象思維推進(jìn)，進(jìn)而使解題速率得以有效增強(qiáng)。若想強(qiáng)化解題速率、效率，必然應(yīng)對分類討論具體運(yùn)用進(jìn)行分析。[1]

一、分類討論思想對數(shù)學(xué)解題的意義及其分類標(biāo)準(zhǔn)

1.分類討論對解題的重要性

數(shù)學(xué)問題往往含有多類情形，而分類討論則對其主要因素進(jìn)行關(guān)注，對其條件范圍以及發(fā)展方向進(jìn)行有效把握，從而緊抓各類情形特點(diǎn)來分類討論。該思想要求進(jìn)行分類意識的重點(diǎn)強(qiáng)化，并明確如何分類與研究，最終統(tǒng)一整合形成完整答案。以分類討論為導(dǎo)向，能夠有效對邏輯思維進(jìn)行強(qiáng)化，因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)通常比較抽象，解題時(shí)存有較大難度。而利用邏輯思維便可實(shí)現(xiàn)問題的有效把握，從而使解題不論是精度還是效率都得以提升。同時(shí)，分類討論有助于對實(shí)際問題進(jìn)行解決，能夠?qū)⑵浠麨榱愣髮?shí)現(xiàn)各個(gè)擊破，對于學(xué)生概括、條理以及邏輯等能力的強(qiáng)化有著重要意義。但教師需明確數(shù)學(xué)思想并非分類一種，實(shí)際解題需要與諸如數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等多種思想進(jìn)行有效結(jié)合，從而使解題更為迅速與精確。教學(xué)時(shí)切忌使學(xué)生對該方式進(jìn)行機(jī)械背誦或者是盲目地套用，必須以題目實(shí)際為基礎(chǔ)，選取正向思路。[2]

2.分類討論具體劃分標(biāo)準(zhǔn)

首先，分類需要保證科學(xué)與合理，在分類方面不可發(fā)生遺漏，而后避免分類重復(fù)現(xiàn)象的發(fā)生。以不重不漏為基準(zhǔn)與題目性質(zhì)、條件等進(jìn)行有效結(jié)合，降低分類數(shù)量。其次，需要對分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行明確。下面從多角度來明確標(biāo)準(zhǔn)：首先，可以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)來劃分，部分概念本身便以分類進(jìn)行定義，例如絕對值。其次，可以運(yùn)算法則或者相關(guān)定理來劃分。高中數(shù)學(xué)包含較多法則、定理，它們一般以分類形式來給出，比如等比數(shù)列相關(guān)求和、求積等便分成了q（公比）是否為1來介紹；還有指數(shù)函數(shù)在單調(diào)性方面，其以a的值為基準(zhǔn)分成大于1或者是介于0、1間兩類。第三，可以圖形位置為基準(zhǔn)來劃分。通常位置變化也會導(dǎo)致問題分類：兩點(diǎn)處于平面上的同側(cè)或者是異側(cè)；對稱軸就定義域的位置等等。第四，還能夠以特殊要求為導(dǎo)向來劃分，比如排列組合相關(guān)的計(jì)數(shù)、概率等問題。第五，可以根據(jù)參數(shù)量變來分類，若函數(shù)問題存有參數(shù)，其參數(shù)有時(shí)的“量變”會使其問題出現(xiàn)“質(zhì)變”，而這便需分類。[3]

二、高中數(shù)學(xué)對分類討論進(jìn)行有效運(yùn)用的具體策略

1.集合解題的應(yīng)用

集合題目一般要以元素和集合或者是集合間各類關(guān)系為導(dǎo)向進(jìn)行分類。在部分含參集合中，只有分類才可對其進(jìn)行解答。此類問題一般出現(xiàn)于選擇、填空等，應(yīng)對其進(jìn)行謹(jǐn)慎分類，切忌遺漏等問題的出現(xiàn)，進(jìn)而整合出正確結(jié)論。

2.函數(shù)解題的應(yīng)用

解題時(shí)，函數(shù)參數(shù)與其結(jié)果密切相關(guān)。因此，以分類討論形式來解決函數(shù)題目，必須對其參數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)分類，使學(xué)生可從多維度來剖析函數(shù)問題，強(qiáng)化其解題精度、效率。比如，在“若k=?時(shí)，函數(shù)y=（k+2）x2k+3+3x-4（x≠0）應(yīng)為一次函數(shù)”進(jìn)行解答，便可考慮分類進(jìn)行研究，綜合考慮其參數(shù)變化。首先，如果2k+3=1，同時(shí)k+2不為0，也就是k是-1時(shí)，那么此時(shí)y=4x-4，便成了一次函數(shù)；其次，如果2k+3=0，也就是k為-3/2時(shí)，這是函數(shù)就是y=3x-4，也成為一次函數(shù)；第三，如果k+2為0，即k為-2時(shí)，這時(shí)y=3x-4也為一次函數(shù)。由于該題在（k+2）x2k+3并不知道其具體形式，所以需要對該式子進(jìn)行分類。

3.概率解題的應(yīng)用

概率模對分類應(yīng)用較廣，該思想需從其本質(zhì)出發(fā)，以問題要求為導(dǎo)向進(jìn)行分類，從而整合求得最終結(jié)論。首先，需要對其概率類型進(jìn)行明確，而后對條件內(nèi)數(shù)字采取編號措施，最后通過分類來假設(shè)其變量數(shù)值，從而確定有效計(jì)算的方式。比如，某地對足球隊(duì)員進(jìn)行選拔，共有編號從1到16的隊(duì)員，若想從群體中選擇3人，前三人中必須選擇一個(gè)，并且他們的編號可以構(gòu)成公差是4的等差數(shù)列，那么概率應(yīng)為多少？該題就其類型而言，應(yīng)是古典概型。基本事件共有C163種，也就是16*5*7=560種，我們可設(shè)其編號是a=a1+4（n-1），如果a1是1的話，那么隊(duì)員便可從編號是1、5、9、13里面選擇3個(gè)，也就是4種選取方式；如果a1是2的話，那么隊(duì)員便可從編號是2、6、10、14里面選擇，也是4種；如果a1是3的話，那么隊(duì)員便可從3、7、11和15里面選擇，也是4種，所以綜上而言，其概率P=16/560=1/35。該種分類方式對概率問題而言至關(guān)重要，其不論是節(jié)約時(shí)間還是準(zhǔn)確度方面都較強(qiáng)。[4]

4.數(shù)列解題的應(yīng)用

數(shù)列解題對于分類的應(yīng)用主要表現(xiàn)于等比求和、數(shù)列周期等方面。學(xué)生以該思想為基準(zhǔn)來討論相關(guān)數(shù)列問題十分有效。比如，“若等比數(shù)列，其公比是q，并且前n項(xiàng)和需要大于0，其中n=1，2...對q范圍進(jìn)行計(jì)算”，因?yàn)榇祟}并未對q范圍進(jìn)行明確，因此解題應(yīng)對其分類來深入研究。解答時(shí)，可以q是否是1為導(dǎo)向來討論，對其取值范圍進(jìn)行合理確定。

結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)解題對分類討論進(jìn)行正向應(yīng)用，不但能夠使解題效率得以強(qiáng)化，還可使學(xué)生思維等得到有效拓寬與發(fā)散。此外，教師應(yīng)將該思想滲透至教學(xué)之中，指引學(xué)生以分類觀點(diǎn)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察，并掌握好相應(yīng)分類標(biāo)準(zhǔn)以及范圍，為其后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

[1]成壘.淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的運(yùn)用[J].科技風(fēng),2016(21):41.

[2]劉祝蕓.關(guān)于分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用思考[J].經(jīng)貿(mào)實(shí)踐,2016(19):80.

[3]王芳芳.淺談分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].亞太教育,2015(18):41.

[4]周劍.分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].求知導(dǎo)刊,2014(05):123-124.