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    義務(wù)教育階段數(shù)學教學中常見的數(shù)學思想

    2018-06-05 09:12:21董利軍
    關(guān)鍵詞:括號數(shù)形整體

    董利軍

    (琿春市板石鎮(zhèn)中學校 吉林琿春 133300)

    新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》中指出“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點,符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結(jié)果,也包括數(shù)學結(jié)果的形成和蘊含的數(shù)學思想方法”[1]。對教師的教學也提出了新的要求,指出“教師的教學應(yīng)該使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法,獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”[2]。這兩句話無論從教學內(nèi)容的設(shè)置上還是教學過程的實施上都強調(diào)了基礎(chǔ)教育階段數(shù)學思想培養(yǎng)的重要性。新課程標準把傳統(tǒng)的“雙基”擴充為“四基”,即在基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上增加了“基本的數(shù)學思想”和“基本的數(shù)學體驗”?;A(chǔ)教育強調(diào)“數(shù)學思想”教學的意義是什么呢?日本數(shù)學家米山國藏的一段話能給我們一些啟迪,他說“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了,唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思想、研究方法和著眼點等,這些隨時隨地發(fā)生作用,使人終身受益”[3]??梢?,數(shù)學思想是一種使人終生受益的世界觀和方法論。是指導(dǎo)我們探究和解決數(shù)學問題的思維方式和辦法。在基礎(chǔ)教育過程中蘊含哪些常見的數(shù)學思想呢,本文做了一下簡單的梳理。

    一、數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)與形是有聯(lián)系的,這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合,或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學思想方法,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形:借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,這種情形是“以數(shù)解形”;或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系,這種情形是“以形助數(shù)”。

    例如用圖形的面積來驗證平方差公式的正確性:

    可以用下面圖形的面積變形來表示。

    這是典型的“以形助數(shù)”的例子。

    數(shù)形結(jié)合的思想可以說是貫穿于數(shù)學教學的始終。利用線段圖分析數(shù)量關(guān)系、數(shù)軸、統(tǒng)計圖、圖形計算等等都是“數(shù)”與“形”的結(jié)合。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休”。足見數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的重要性。

    二、類比思想

    類比是在借鑒的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的創(chuàng)造性的思維過程。他研究的是兩個對象在某些方面相同或相似,從而推測出他們在其他方面也可能存在的相同或相似之處。這是學習數(shù)學新知一種常用的方法。

    例如學習分式基本性質(zhì)和計算時,可以類比小學階段學習的分數(shù)的基本性質(zhì)和計算法則來進行分式的基本性質(zhì)和計算法則學習。學習二次根式的運算可以類比整式運算的計算法則進行。還有,我們經(jīng)常會遇到一題多變的問題,通常也是運用類比的方法逐步來解決。

    三、方程的思想

    在解決數(shù)學問題時,有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元,設(shè)未知數(shù)。然后尋找已知與未知之間的等量關(guān)系,構(gòu)造方程或方程組,然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化,這種解決問題的思想稱為方程思想。

    例如:一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h,它沿江以最大航速順流航行90 km所用時間,與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等,江水的流速為多少?

    分析:這是一個實際問題,這類實際問題如果用算術(shù)方法解決數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜,很難解決。如果利用方程的思想,將江水的流速設(shè)為v km/h.依據(jù)輪船沿江以最大航速順流航行90 km所用時間,與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等為等量關(guān)系建立方程,數(shù)量關(guān)系就變得簡單明晰多了。

    即,依題意得,解得,v=6,問題得以解決。

    方程的思想,即是用方程解決問題的應(yīng)用,也是對方程概念本質(zhì)的認識,是通過分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系,構(gòu)建方程或方程組,建立方程模型的思維過程 。教學過程中要培養(yǎng)學生善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。

    四、分類討論思想

    任何一個數(shù)學結(jié)論都有其成立的條件,每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍,在我們所遇到的數(shù)學問題中,有些問題的結(jié)論不是唯一確定的,有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究,還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的,這樣字母的取值不同也會影響問題的解決,由上述幾類問題可知,解決這種類型的問題時,要把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求,分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決,這種按不同情況分類,然后再逐一研究解決的數(shù)學思想,稱之為分類討論思想。

    例如:圓與圓有怎樣的位置關(guān)系?

    分析:圓與圓有相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)等多種位置關(guān)系,不同的位置關(guān)系時兩圓的圓心距l(xiāng)與兩圓半徑R和r有不同的數(shù)量關(guān)系,用分類的方法更容易厘清這些關(guān)系:

    ①外離?l>R+r; ②外切?l=R+r; ③相交?R-r<l<R+r;

    ④內(nèi)切?l= R-r ; ⑤內(nèi)含? l<R-r(當l=0時兩圓為同心圓)。

    如果再配合圖表進行分類,條理就更清晰了。

    分類討論的數(shù)學思想在日常教學中運用的比較廣泛。比如,常規(guī)判定三角形全等的方式有5種,在教學過程中要引導(dǎo)學生分類進行學習;商場為了促銷采取不同的打折方式營銷,你選擇哪個商場消費更省錢這類問題也要分類討論;進行復(fù)習的時候,我們通常也會采用分類進行專題復(fù)習等等,都是分類的思想在教學中的典型運用。分類討論的思想能使復(fù)雜的問題條理化,將一些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成若干簡單的小問題,便于對問題的理解和解決。

    五、化歸思想

    化歸思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種數(shù)學手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而達到解決的一種方法。通常是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未知的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已知的問題等等??傊?,化歸在數(shù)學解題中幾乎無處不在,化歸的基本功能是:生疏化成熟悉,復(fù)雜化成簡單,抽象化成直觀,含糊化成明朗,未知化已知。它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。

    例如:解方程:

    分析:這是一個分式方程,學生在一開始接觸解分式方程時,還不知道如何著手進行解答,教師要引導(dǎo)學生根據(jù)等式的基本性質(zhì)通過去分母的方法把分式方程轉(zhuǎn)化為含有括號的一元一次整式方程,再通過去括號法則將這個帶括號的一元一次方程轉(zhuǎn)化為不帶括號的一元一次方程,這樣逐級轉(zhuǎn)化,化未知為已知,完成了解方程的過程,也掌握了分式方程的解法。

    即:去分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程,,去括號轉(zhuǎn)化為不帶括號的一元一次方程,x+2=3解得,x=1

    化歸的實質(zhì)就是以及事物之間相互聯(lián)系,相互制約的觀點出發(fā),以運動變化發(fā)展的觀點看待問題,善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化,使問題得以解決。

    六、整體思想

    整體思想就是從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā),突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和研究,發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,善于用“總體”的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體的一部分,把握它們之間的關(guān)聯(lián),進行有目的、有意識的整體處理。

    例如,合并同類項(1)4(a+b)+2(a+b)-(a+b);(2)3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y),解題的時候不要打開括號,而是把(a+b)和(x+y)看作一個整體來合并就比較簡單了。

    整體的思想通常在教學整理復(fù)習的時候運用的比較廣泛,例如每一章章后小結(jié)的知識結(jié)構(gòu)圖,就是在本章的整體知識結(jié)構(gòu)下來說明每個知識點在所處的地位、作用和各知識點之間的相互聯(lián)系的,便于學生在整體上把握知識體系。與知識結(jié)構(gòu)圖相類似的還有知識樹,也是從整體上梳理知識結(jié)構(gòu),體現(xiàn)了整體的數(shù)學思想。

    七、函數(shù)的思想

    函數(shù)的思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。具體來說,函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系,刻畫了兩個變量之間的變化規(guī)律,函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征,建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型,從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地,函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題?;A(chǔ)教育階段常見的函數(shù)有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)。

    綜上所述,所有的數(shù)學思想都是培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的策略。這些策略有的運用的比較廣泛,比如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、分類的思想、類比的思想、方程的思想等,這些數(shù)學思想在一節(jié)課或一個學時的教學過程中反復(fù)多次運用或涉及。多數(shù)時候為解決一個問題會有幾種思想策略綜合運用的情況存在。有的策略運用的相對少些,比如整體的思想、函數(shù)的思想等。但不管這些數(shù)學思想在教育教學中運用的頻繁與否,都應(yīng)該潛移默化地植根于學生的思想中,成文他們思考問題和解決問題的一種行為方式,隨時隨地發(fā)生作用,使他們終身收益。

    [1]義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版).[M].北京師范大學出版社.2012年1月.

    [2]趙希斌.魅力課堂:高效與有趣的教學.[M].華東師范大學出版社.2013年6月.

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