活用數(shù)形結(jié)合 巧解數(shù)學(xué)難題

數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法有助于學(xué)生理解能力及解題能力的提高，是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高效學(xué)習(xí)的一種重要數(shù)學(xué)思想。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過多種圖形的方法來幫助自己理解、分析數(shù)學(xué)知識，并借助相關(guān)數(shù)學(xué)知識來對圖形進(jìn)行正確詮釋，同時強化數(shù)形結(jié)合重要思想的有效滲透，從而促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維的發(fā)展及綜合素質(zhì)的提高。

一、數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)不再復(fù)雜

大多數(shù)簡單的數(shù)學(xué)題目都會隱藏著幾條干擾信息及小陷阱，再加上數(shù)學(xué)題目是通過語言與數(shù)字來表述的，不僅煩瑣冗長，枯燥煩悶，還容易讓很多學(xué)生在解題的過程中掉入陷阱當(dāng)中，從而導(dǎo)致一個個的錯誤，嚴(yán)重時還會讓學(xué)生對數(shù)學(xué)失去信心，產(chǎn)生厭學(xué)的不良心理。對此，教師可以采取數(shù)形結(jié)合法來進(jìn)行教學(xué)，讓圖形來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)題目，將無用的、具有干擾性的信息剔除掉，獲取具有價值的數(shù)學(xué)信息，從而幫助學(xué)生更容易、更全面地理解題目，并順利解答。

例如，在對 “圖形面積”進(jìn)行教學(xué)后，教師可以出示幾道練習(xí)題： “有一個大的正方形，邊長為a，減掉一個小的正方形 （邊長為 b且a＞b），將其余部分拼成一個梯形，請問大小正方形及梯形面積分別是多少？”這道題目是幾何題，題目的意思很明顯和圖形有聯(lián)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生邊閱讀題目邊根據(jù)題意在草稿本上將圖形畫出來。很快學(xué)生便發(fā)現(xiàn)，大的正方形被減掉一個小的正方形之后，剩下的是兩個梯形，且面積相等，將兩個梯形拼在一起之后就是一個等腰梯形，且梯形上底為2b，即小正方兩條邊長之和，而梯形下底則是2a，即大正方形兩條邊長之和，高則是a-b。利用圖形直觀地展現(xiàn)題意后，使題目變得不再復(fù)雜，學(xué)生更容易理解。很快，學(xué)生便紛紛列出了一個關(guān)系式，即a2-化解之后可得出a2-b2=（a+b）（a-b），從而得出了答案。

由上述例子可知，在對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行解答時，利用正確、合理的圖形有助于將復(fù)雜的題目簡單化，并有利于學(xué)生更快更準(zhǔn)確地獲取蘊藏在題目中的有用信息，從而促使學(xué)生順利找到解題思路及相關(guān)數(shù)量關(guān)系，并提高了學(xué)生的情感體驗。

二、數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)不再抽象

數(shù)學(xué)具有較強的邏輯性與抽象性。對于大部分學(xué)生而言，枯燥、沉悶的語言敘述并不能激發(fā)學(xué)生的興趣，而直觀、形象、感性的信息更有助于刺激學(xué)生的多個感官，并能成功激起學(xué)生的探究欲。同時，盡管處于初中階段的學(xué)生已經(jīng)具備了抽象思維的能力，但他們在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答時，仍然會感到一定難度，而如果他們能通過理解題目的意思，并正確地將問題中的文字和數(shù)字轉(zhuǎn)為直觀而簡單的圖形，那么將會幫助他們整理好蘊藏在題目中的有效信息及已知條件，從而更有利于其理解題目，順利找到突破口，高效解決問題。

例如，在對 《絕對值》進(jìn)行教學(xué)之后，教師可向?qū)W生出示相關(guān)練習(xí)題： “求||x+1+||x-3這個算式的最小值。”很多學(xué)生看到這個題目都覺得很簡單，然后都快速地在草稿紙上寫出自己的解法，但很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們好像無從下手。遇到這種情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先對題目進(jìn)行仔細(xì)地觀察，然后通過畫出數(shù)軸的方法來幫助自己理解問題。很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果要算出最小值，那么就需要考慮 x取值的不同情況，接著學(xué)生又將||x+1和 || x-3具體的情況表示在數(shù)軸上，即x至-1點、3點的距離，促使問題清楚地呈現(xiàn)于數(shù)軸上，即數(shù)軸上的x至-1、3兩點之間的距離，然后將兩點距離相加便等于題目要求的值了。很顯然，通過數(shù)軸可以更清晰地理解，當(dāng) x處于-1與 3之間的時候，x與-1、3兩個點之間的距離最短，值為4，其余比-1小或比3大的，x至-1、3兩個點之間的距離和總是大于 4。如此教學(xué)策略，不僅讓學(xué)生通過畫數(shù)軸圖及標(biāo)出求解問題的方法來實現(xiàn)軸向算式和具體圖形的轉(zhuǎn)化，還讓學(xué)生學(xué)會通過看圖的方式迅速找到解題突破口，從而促使學(xué)生快速理解題意，正確解出答案，并有效提高了解題速度。

由上述例子可知，通過認(rèn)真觀察題目，明確題意、理清思路以及畫出圖形，標(biāo)出數(shù)學(xué)符號的方法，促使題目更好、更清楚地呈現(xiàn)出來，不僅促進(jìn)了數(shù)和形、抽象和具體有效轉(zhuǎn)換，還讓學(xué)生充分了解到了題目中具體的已知與未知的信息，從而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的建立促使學(xué)生的解題效率得到提升。

三、數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)不再枯燥

通常情況下，數(shù)學(xué)語言具有一定的規(guī)范性，為了避免歧義、模棱兩可的問題出現(xiàn)，必須要求嚴(yán)謹(jǐn)、精準(zhǔn)的表達(dá)。同時，相對于歷史、語文等學(xué)科，數(shù)學(xué)就顯得相對無趣、呆板，極容易讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩的心理，再加上部分學(xué)生的理解能力相對較弱，導(dǎo)致其很容易就放棄了數(shù)學(xué)，并出現(xiàn)偏科的情況。對此，教師應(yīng)在學(xué)生解數(shù)學(xué)題目的時候充分結(jié)合學(xué)生的情況來給予指導(dǎo)，以強化學(xué)生的理解。此外，教師可以利用圖形符號來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，促使其能夠?qū)⒖菰餆灥奈淖洲D(zhuǎn)換為熟悉且容易理解的圖形符號，從而讓學(xué)生能有耳目一新、豁然開朗的感覺，并提高其解題的興趣。

例如，為了能夠促使學(xué)生學(xué)會將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于日常的生活中，并解決相關(guān)生活問題，教師可以出示這樣的題目： “池塘邊有一顆3米高的柳樹和6米高的榕樹，兩棵樹的實際距離為5米，假如樹上有一只小鳥，那么小鳥需要飛幾米才能從榕樹的樹梢上飛到的柳樹樹梢上？大部分學(xué)生在閱讀了這道題目之后都表示不懂該從哪里找突破口，然后就慢慢對這道題失去了解題熱情與興趣。對此，教師可以先在教室的黑板上簡單地畫出高矮不一的兩棵樹，距離為5米，并分別標(biāo)出6米和2米，接著再在樹梢上畫一只小鳥，從高的樹梢飛向低的樹梢，并在兩樹中間畫個文號，代表問題。當(dāng)學(xué)生看到教師畫的圖之后，都覺得非常有趣，并產(chǎn)生了求知探索欲。學(xué)生在觀察圖畫后也逐漸發(fā)現(xiàn)，這道數(shù)學(xué)題目其實就是求三角形 （直角）的斜邊長度，然后紛紛列出了解題算式： “52+（6-2）2=25+16=AB2”，從而求出了答案為可見，這樣的教學(xué)方式對激發(fā)學(xué)生的解題熱情，提高其解題的效率十分有效。

上述例子說明了，教師可以在學(xué)生解數(shù)學(xué)題目的過程中給予正確而有效的指導(dǎo)，即借助熟悉的圖形來理解題目，加強學(xué)生的理解能力及解題能力，有效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而使其感受到數(shù)學(xué)題目的無窮樂趣，并端正了他們對數(shù)學(xué)的態(tài)度。

總而言之，通過數(shù)形結(jié)合的方法將枯燥的數(shù)字變成有趣的圖形，不僅能促使學(xué)生更高效、確切、快捷地解題，還能讓學(xué)生充分掌握解題的相關(guān)技巧與方法，并學(xué)會歸納整理數(shù)形結(jié)合方法的解題規(guī)律及步驟，從而不斷積累大量的解題經(jīng)驗，這樣，不僅鍛煉了學(xué)生的解題能力，還促進(jìn)了他們的發(fā)散思維及數(shù)學(xué)品質(zhì)的發(fā)展。

［1］林惠章．?dāng)?shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016，（12）．

［2］居逸云．?dāng)?shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］．初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014，（6）．

［3］王鑫．?dāng)?shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用［J］．考試周刊，2015，（36）．